Formules geometrie vectorielle PDF

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les formules de calcul en geometrie vectorielle...

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Coll`ege de Rosemont — Prof. : Paul Dumais

Formules de calcul en g´eom´etrie vectorielle Dans ce qui suit, on a : A : (a1 , a2 , . . . , an ) B : (b1 , b2 , . . . , bn ) sont des points → − = (w , w , . . . , w ) sont des vecteurs ~u = (u1 , u2 , . . . , un ) ~v = (v1 , v2 , . . . , vn ) w 1 2 n k ∈ R est un scalaire Somme affine du point A et du vecteur ~u (d´eplacement du point A par le vecteur ~u) : (1)

A ⊕ ~u = (a1 + u1 , a2 + u2 , . . . , an + un )

Somme des vecteurs ~u et ~v : (2)

~u + ~v = (u1 + v1 , u2 + v2 , . . . , un + vn )

Multiplication du vecteur ~u par le scalaire k : (3)

k~u = (ku1 , ku2 , . . . , kun )

Le vecteur dont l’origine est le point A et l’extr´ emit´ e est le point B : (4)

−→ AB = (b1 − a1 , b2 − a2 , . . . , bn − an )

Note : les formules (1), (2), (3) et (4) sont valides dans toute base, mˆeme dans une base non orthonormale. Les formules suivantes ne sont valides que dans une base orthonormale. Dans R2 , le perp de ~u : (5)

~u⊥ = (−u2 , u1 )

La norme de ~u : (6)

k~uk =

q

u12 + u22 + . . . + un2

1

Le produit scalaire de ~u et ~v : (7) (8)

~u • ~v = u1 v1 + u2 v2 + . . . + un vn = k~ukk~v k cos(θ)

o` u θ est l’angle entre ~u et ~v . La projection orthogonale de ~v sur ~u : ~v • ~u ~u ~u • ~u

~v~u =

(9)

La norme de la projection orthogonale de ~v sur ~u : (10)

k~v~u k =

|~v • ~u| k~uk

Dans R2 , le d´ eterminant de ~u et ~v :

(11)

   u1 u2    ∆h~u, ~v i =  v1 v2 

= u1 v2 − u2 v1

Dans R3 , le d´ eterminant de ~u, ~v et w ~ :    u1 u2 u3    ∆h~u, ~v , wi ~ =  v1 v2 v3   w1 w2 w3         v2 v3   v1 v3   v1 v2   − u2     = u1  (12)  w1 w3  + u3  w1 w2  w2 w3  Dans R3 , le produit vectoriel de ~u et ~v :      u2 u3   u1 u3      (13) ~u ∧ ~v =  v 2 v 3 , −  v 1 v 3  ,

   u1 u2     v1 v2 

Dans R3 , la norme du produit vectoriel de ~u et ~v : (14)

k~u ∧ ~v k = k~ukk~v k sin(θ)

o` u θ est l’angle entre ~u et ~v . 2...