Elemente Geometrie, Prof. Rezat PDF

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Wintersemester...

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KONGRUENZ Zwei Figuren F und G heißen kongruent (=deckungsgleich), wenn man den Punkten F so die Punkte von G zuordnen kann, dass alle Streckenlängen "erhalten" bleiben (und dabei alle Punkte von G "erfasst" werden) Was ist die Ebene? Eine Menge von (unendlich vielen) Punkten Was ist eine Figur? Eine Teilmenge der Menge von unendlichen Punkten, welche die Ebene ausmachen Einfache Metapher für die Kongruenz Vorstellung von Kongruenz VOR der Sek 1 Wenn man die eine Figur ausschneiden kann und sie komplett auf die andere passt dann sind die Figuren KONGRUENT. Spätere Vorstellung von der Kongruenz Wenn man die Punkte einer Figur zu den Punkten einer anderen Figur so zuordnen kann, dass die Figuren deckungsgleich sind, sind die Figuren kongruent. Kongruenz unter Vielecken (Polygone) Zwei Polygone sind kongruent, wenn man die Ecken des einen Polygons so den Ecken des anderen zuordnen kann, dass die entsprechenden Seiten und die entsprechenden Winkel gleichgroß sind. Kongruenz von Dreiecken (lang) Dreiecke sind zueinander kongruent, wenn sie 1. in den drei Seitenlängen übereinstimmen (SSS) 2. in zwei Seiten und der Größe des eingeschlossenen Innenwinkels übereinstimmen (SWS) 3. in einer Seitenlänge und der Größe der zwei anliegenden Innenwinkel übereinstimmen (WSW) 4. in zwei Seitenlängen und der Größe des Innenwinkels übereinstimmen, der der größeren Seite gegenüberliegt (SSWggs)

KONGRUENZABBILDUNGEN (Achsen- bzw. Gerade-) Spiegelung Definierendes Element: Spiegelachse bzw. Spiegelgerade Fälle das Lot vom Urpunkt auf die Achse und verdopple es. Am Ende liegt der Bildpunkt. Liegt der Urpunkt auf der Achse, dann ist er mit seinem Bildpunkt identisch. Alle Ur- und Bildpunkt-Verbindungsstrecken stehen senkrecht auf der Achse und werden von dieser halbiert; Achse = Mittelsenkrechte der Verbindungsstrecke. Jede Ur- und ihre Bildgerade schneiden sich auf der Achse.

Drehung (= Rotation)

+ linksherum; - rechtsherum; zw. -180° exkl. und 180° inkl.)

Definierendes Element: Drehzentrum & Drehwinkel (

Zeichne Halbgerade vom Drehzentrum durch den Urpunkt (= Erstschenkel). Zeichne Kreisbogen um das Drehzentrum. Trage an Erstschenkel den Drehwinkel an. Schnittpunkt mit Kreisbogen markiert Bildpunkt. Die Mittelsenkrechten aller Ur-Bildpunkt-Verbindungen schneiden sich im Drehzentrum Zwischen jeder Ur-Bildpunktgeraden ist der Winkel gleich dem Drehwinkel. Punktspiegelung (= Drehung um 180°) Definierendes Element: Spiegelzentrum (oder Drehzentrum & Drehwinkel 180°) Zeichne Strecke vom Urpunkt auf Spiegelzentrum und verdopple sie, am Ende liegt der Bildpunkt. Alle Ur-Bildpunktvektoren laufen durch das Spiegelzentrum und werden von diesem halbiert. Jede Ur- und ihre Bildgerade sind parallel. Verschiebung (Translation) Definierendes Element: Verschiebungsvektor (Länge, Richtung & Richtungssinn = Orientierung) Trage Vektor (𝑎𝑏 ) am Urpunkt an (a Schritte nach rechts, b Schritte nach oben), am Ende liegt der Bildpunkt. Alle Ur-Bildpunktvektoren sind untereinander und zum Verschiebungsvektor gleichlang, parallel und gleich orientiert. Jede Ur- und ihre Bildgerade sind parallel. Schubspiegelung Was muss gegeben sein? Spiegelachse & Verschiebungsvektor, parallel zur Spiegelachse! Urpunkt an der Achse spiegeln und dann gemäß Verschiebungsvektor verschieben (oder umgekehrt). Die Mittelpunkte aller Ur-Bildpunktvektoren liegen auf der Schubspiegelachse. Identität (= Drehung um beliebiges Zentrum um 0° = Verschiebung um Nullvektor) Jeder Punkt ist Bildpunkt. trivial Alle Kongruenzabbildungen aufzählen (Achsen- bzw. Geraden-)Spiegelung, Drehung (Rotation), Punktspiegelung, Verschiebung (Translation), Schubspiegelung, Identität (daraus: 3 Typen: Drehung, Verschiebung, Schubspiegelung + Identität) Eigenschaften von Kongruenzabbildungen abstandstreu bzw. längentreu (= gleicher Abstand zwischen zwei Urpunkten A‘ und B‘ und zwischen deren Bildpunkten A‘ und B‘), geradentreu (= wenn mehrere Urpunkte auf derselben Geraden (= Urgerade), dann liegen auch deren Bildpunkte auf einer Geraden (= Bildgerade), winkelmaßtreu (= Bildwinkel = Urwinkel mit Scheitel und zwei Schenkeln und demselben Winkelmaß (evtl. mit umgekehrten Vorzeichen), flächeninhaltstreu (= Ur- und Bildfigur haben den gleichen Flächeninhalt), parallelentreu (= parallele Urgeraden erzeugen parallele Bildgeraden), orientierungstreu (nur bei Drehungen und Verschiebungen, sowie Punktspiegelung), orientierungsverkehrend (bei Achsen- und Schubspiegelungen)

FIXFIGUREN – der Fixpunkt ändert seine Position unter einer Konkruenzabb. NICHT ! Definition Fixfigur Eine Fixfigur ist eine Figur, deren Bildfigur mit ihr überstimmt. Definition Fixpunktfigur Eine Fixpunktfigur ist eine Figur, bei der jeder Punkt Fixpunkt ist. Jede Fixpunktfigur ist zugleich Fixfigur. Bei Spiegelung Jeder Punkt der (Spiegel-)Achse ist ein Fixpunkt, die Achse ist Fixpunktgerade Fixfiguren: Geraden senkrecht zur Achse, Winkel, deren Winkelhalbierende die Achse ist, Strecken, deren Mittelsenkrechte die Achse ist, Kreise mit Zentrum auf der Achse Bei Drehung (nicht um 0°/180°) Fixpunktfigur: Drehzentrum Fixfiguren: Fixkreise mit Mittelpunkt im Drehzentrum Bei Punktspiegelung Fixpunktfigur: Spiegelzentrum Fixfiguren: Geraden durch das Spiegelzentrum, Strecken und Parallelogramme mit Mittelpunkt im Spiegelzentrum Bei Verschiebung (nicht um Nullvektor) Fixpunktfiguren: keine Fixfiguren: Gerade in Verschiebungsrichtung, Bandornamente Bei Schubspiegelung Fixpunktfiguren: keine Fixfiguren: Schubspiegelgerade, (bestimmte) Bandornamente Bei Identität Fixpunktfiguren: die ganze Ebene (trivial) Fixfiguren: jede Figur (trivial) Definition Deckabbildung/ Symmetrieabbildung Eine Abbildung, unter der eine bestimmte Figur Fixfigur ist, heißt Deck-/ Symmetrieabbildung für diese Figur. Eine Figur ist "achsensymmetrisch", … … wenn es mindestens eine Achsenspiegelung gibt, unter der diese Figur Fixfigur ist. Eine Figur ist "drehsymmetrisch", … … wenn es mindestens eine Drehung gibt, unter der diese Figur Fixfigur ist. Was ist eine Symmetriegruppe? Alle Deckabbildungen/ Symmetrieabbildungen einer Figur; beschreibt nicht nur die Symmetrie einer bestimmten Figur, sondern einen Symmetrietyp einer ganzen Klasse von Figuren, z. B. Haus der Vierecke

Wie viele Stücke müssen gegeben sein, damit ein Viereck eindeutig bestimmbar ist? Genau 5 Stücke, davon mind. 2 Seitenlängen und max. 3 Winkelmaße (das vierte kann rechnerisch bestimmt werden, Winkelsumme 360°) VERKNÜPFUNG VON KONGRUENZABBILDUNGEN (= HINTEREINANDERAUSFÜHRUNG (HAF)) Was ist eine Hintereinanderausführung/ Verknüpfung? Eine Hintereinanderausführung bzw. Verknüpfung von zwei Abbildungen A1 und A2 (geschrieben A2°A1) bedeutet, dass auf jedem Punkt P der Ebene zunächst die Abbildung A1 angewandt wird und auf den dabei erhaltenen Bildpunkt P´= A1(P) die Abbildung A2 angewandt wird, um den eigentlichen Bildpunkt P´´=A2(P´) = A2(A1(P), d. h. A2°A1=A2(A1(P)) zu erzeugen. ! Die Verknüpfung zweier Kongruenzabbildungen ist eine Kongruenzabbildung. ! Was ist die Grund-/Elementarfigur eines Bandornaments Die Grundfigur eines Bandornaments ist die Figur, aus der das Bandornament durch Verschiebung erzeugt werden kann (unendlich viele Möglichkeiten). Definition Bandornamente Eine geometrische Figur heißt Bandornament mit der Grundfigur F, wenn sie aus F auf die folgende Weise erzeugt wird: Gegeben ist ein Verschiebungsvektor W0. Das Bandornament besteht aus allen Bildern von F, die durch Verschiebung um ein ganzzahliges Vielfaches von W0 erzeugt werden. Bei einem negativen Vielfachem wird nach links verschoben, sonst nach rechts) Weitere Definition Bandornamente Der unendlich lange, mit einem Muster versehene Streifen zwischen zwei parallelen Geraden heißt Bandornament, wenn er verschiebungssymmetrisch ist Kontinuierliche Bandornamente Ein Bandornament, für das kontinuierliche Verschiebungen möglich sind, heißt kontinuierliches Bandornament. Diskrete Bandornamente Ein Bandornament, für das es eine kürzeste Symmetrieverschiebung mit dem Vektor W0 (d. h nicht identisch) gibt, heißt diskretes Bandornament. Diese kürzeste Verschiebung W0 heißt Elementardistanz bzw. Periode, die mit sich selbst zur Deckung kommt. Verschiebungssymmetrie die aus der Verschiebung (T) in Richtung der Mittelachse hervorgeht (beide Richtungen) Drehsymmetrie (D) als Punktsymmetrie zu Punkten auf der Mittelachse (+/- 180° - Mittellinie zwischen Parallelen) Querspiegelungssymetrie (Q) als Achsensymmetrie zu Loten auf die Mittelachse Längsspiegelungssymmetrie (L) als Achsensymmetrie zur Mittelachse des Streifens Schubspiegelungssymmetrie die aus Schubspiegelungen (S) längs der Mittelachse entsteht, 1. Vektorverschiebung, dann Spiegelung

NICHT KENNEN! IN BANDORNAMENTE FINDEN KÖNNEN! Eine je Typ! Bandornament Typ 1 Nur Verschiebungen mit Vektoren W0 Bandornament Typ 2 Verschiebungen mit Vektoren W0 Querspiegelungen mit Achsen im Abstand W0 Bandornament Typ 3 Verschiebungen mit Vektoren W0 Punktspiegelungen mit Zentren im Abstand W0 Bandornament Typ 4 Verschiebungen mit Vektoren W0 Längspiegelungen und Schubspiegelungen mit den Vektoren W0 Bandornament Typ 5 Verschiebungen mit Vektoren W0 Schubspiegelungen mit Vektoren nW0+v0=(2n+1)v0, also ungeraden Vielfachen von v0 Bandornament Typ 6 Verschiebungen mit Vektoren nw0 Längspiegelungen und Schubspiegelungen mit den Vektoren nw0 Querspiegelungen und Punktspiegelungen, deren Zentren auf den Querspiegelachsen liegen, alles im Abstand nv0 Bandornament Typ 7 Verschiebungen mit Vektoren nw0 Schubspiegelungen mit Vektoren nw0+v0=(2n+1)v0 (ungeradzahlig!) Querspiegelungen und Punktspiegelungen deren Zentren zwischen den Querspiegelachsen liegen, alles im Abstand nv0 !! Hat das Bandornament eine Längs- und Querspiegelsymmetrie, hat es auch eine Punktspiegelsymmetrie mit dem Schnittpunkt beider Achsen als Zentrum !! Hat es eine Längssymmetrie hat es auch unendlich viele Schubspiegelsymmetrien (aus der Verknüpfung aller Längsspiegelungen mit Verschiebungen ergeben) !! Definition 1 Parkettierungen (Parkett) (Skript Seite 62) Eine Parkettierung (Parkett) ist eine verschiebungssymmetrische Figur in der Ebene, unter deren Symmetrieverschiebungen es zwei kürzeste in zwei verschiedene Richtungen gibt, mit denen alle anderen Symmetrieverschiebungen erzeugt werden können

Definition 2: Parkettierungen (Parkett) Ein(e) Parkettierung (Parkett) ist eine verschiebungssymmetrische, vollständige, lückenlose und überlappungsfreie Überdeckung der Ebene mit (unendlich) vielen Polygonen, unter deren Symmetrieverschiebungen es zwei kürzeste in zwei verschiedene Richtungen gibt, mit denen alle anderen Symmetrieverschiebungen erzeugt werden können Regeln für Polygone in Parketten 2 Polygone haben genau eine Kante, genau eine Ecke oder nichts gemeinsam. Jede Kante gehört zu genau 2 Polygonen (die heißen dann benachbart). Für jede Ecke bilden die an sie anstoßenden Polygone eine Zyklus aus mindestens 3 paarweise benachbarten Polygonen, den Eckenkranz der aufgeschrieben wird als Zyklus der EckenAnzahlen der dieser Polygone, die sogenannte Charakteristik dieser Ecke Was ist ein Eckenkranz bei Parketten? Anzahl der Ecken-Anzahlen der Polygone die an einer Ecke zusammenstoßen. Kann bei jedem Polygon beginnen und in zwei verschiedene Richtungen um die Ecke laufen. Welche Regel gibt es bei der Parkettierung mit (regelmäßigen) n-Ecken? Eine Parkettierung aus Polygonen (n-Ecken) ist nur dann realisierbar, wenn die Summe aller Winkel an jeder Ecke jeweils 360° beträgt Formel für das Errechnen des Innenwinkels eines regelmäßigen n-Ecks w=180°-(360°)/n ;n∈N ("Natürliche Zahlen") Regeln für Eckenkränze in Parketten Die Innenwinkel der Polygone w sind größer oder gleich 60° und kleiner als 180°. An jeder Ecke stoßen mindestens 3 Polygone zusammen. An jeder Ecke stoßen höchstens 6 Polygone zusammen. Wie ermittelt man Deckabbildung in einem Parkett 1. Grundfigur auf Symmetrie untersuchen 2. Am Rand der Grundfigur- an Ecken und Seiten- Abbildungen suchen, die die Grundfigur auf ihre Umgebung abbilden Symmetrie von Penrose Parketten Penrose Parkette sind nicht periodische Muster, die die Ebene lückenlos und überlappungsfrei überdecken. Lokal können Symmetrien entstehen. Als Ganzes hat ein Penrose-Muster keine symmetrische Anordnung. Es gibt unendlich viele Möglichkeiten Penrose-Muster zu erzeugen Definition Platonische Parkettierung Eine Parkettierung, die ausschließlich aus paarweise kongruenten, regelmäßigen n-Ecken besteht, die so aneinander liegen, dass jeder Eckpunkt eines n-Ecks nur an andere Ecken anderer n-Ecke anschließt. Wie viele Platonische Parkettierungen gibt es 3 mit Dreiecken, Vierecken und Sechsecken Definition Archimedische Parkettierung Eine Parkettierung, die ausschließlich aus regelmäßigen n-Ecken (mindestens zwei Arten) besteht, die so aneinander liegen, dass jeder Eckpunkt eines n-Ecks nur an andere Ecken anderer n-Ecke anschließt und an jeder Ecke die n-Ecke stets in derselben Reihenfolge aufeinandertreffen.

Definition Parkettierung (Skript Seite 12) Eine Parkettierung (Parkett) ist eine Zerlegung der Ebene in (unendlich) viele Polygone, und zwar ohne Lücken oder Überlappungen. Definition Polyeder Ein Polyeder (Vielflächner) ist eine endlich, zusammenhängende Vereinigung der Flächen einfacher Polygone (Vielecke), deren Ecken und Kanten zu den seinen erklärt werden, mit folgenden Eigenschaften: i) 2 Polygone haben genau eine Kante, genau eine Ecke oder nichts gemeinsam ii) Jeden Kante gehört zu genau 2 Polygonen iii) Für jede Ecke bilden die an sie anstoßenden Polygone genau einen Zyklus aus mindestens 3 paarweise benachbarten Polygone, den Eckenkranz, der aufgeschrieben wird als Zyklus der Ecken-Anzahlen dieser Polygone die sog. Charakteristik dieser Ebene iv) Ein Polyeder hat "Löcher", wenn man eine geschlossene Linie so in sein Äußeres legen kann, dass sie nicht auf einen Punkt zusammengezogen werden kann, ohne das Polyeder zu durchschneiden v) Ein Polyeder heißt "konvex" wenn es keine Einbuchtungen (und erst recht keine Löcher) hat d.h. wenn für jeder seiner Polygone gilt: Das Polyeder liegt komplett in einem der beiden durch das Polygon bestimmten Halbräume Wann ist ein Polyeder konvex? (allgemein gesagt) Wenn es mit jeder seiner Flächen auf einem Tisch zu liegen kommen kann (es hat keine Einbuchtungen oder Löcher) Wann hat ein Polyeder Löcher? (allgemein gesagt) Wenn man eine geschlossene Linie so in den Körper legen kann, dass man den Körper zerschneiden müsste, um sie wieder rauszubekommen Was gilt für den Eckenkranz a,b,c wenn a ungerade ist? Dann müssen b und c gleich sein: wenn a ungerade, dann b=c Formel der Eulerschen Zahl z=e-k+f z die Eulersche Zahl e die Anzahl der Ecken k die Anzahl der Kanten f die Anzahl der Polygonflächen Für jedes Polyeder ohne Löcher ist die Eulersche Zahl: z=2

Definition Archimedische Polyeder Ein konvexes Polyeder heißt "archimedisch", wenn i) alle seine Polygone regelmäßig sind ii) alle seine Eckenkränze kongruent sind iii) Dann wird die Charakteristik seiner Ecken zu der seinen erklärt Definition Platonische Polyeder Ein Polyeder heißt "platonisch", wenn es nur eine Sorte von Polygonen hat Definition Duale Körper Zwei Körper heißen "dual" zueinander (der eine dual zum anderen), wenn die Ecken des ersten den Flächen des zweiten und die Flächen des ersten des zweiten so bijektiv zugeordnet werden können, dass die Nachbarschaftsbeziehungen erhalten bleiben. Jeder Ecke des ersten ist genau eine Fläche des zweiten zugeordnet. Immer 2 verschiedene Ecken sind 2 verschiedenen Flächen zugeordnet. Sind 2 Ecken durch eine Kante verbunden, dann sind die beiden zugeordneten Flächen durch eine Kante "verbunden". Liegen 2 Ecken an derselben (Ausgangs-) Fläche, dann liegen ihre beiden zugeordneten Flächen an derselben Ecke (im selben Eckenkranz). Sind 2 Ecken nicht durch eine Kante verbunden, dann auch nicht ihre zugeordneten Flächen. Gehören 2 Ecken nicht zur selben (Ausgangs-)Fläche, dann liegen ihre beiden zugeordneten Flächen nicht im selben Eckenkranz. Dasselbe muss gelten, wenn man die Rollen von Ecken und Flächen vertauscht und wenn man die Rollen der beiden Körper vertauscht Innenwinkel eines regelmäßigen Dreiecks 60° Innenwinkel eines regelmäßigen Vierecks 90° Innenwinkel eines regelmäßigen Fünfecks 108° Innenwinkel eines regelmäßigen Sechsecks 120° Formel zum Errechnen der Innenwinkel eines n-Ecks: 180°- (360°/n) Wie heißen die platonischen Körper? (aufzählen) Tetraeder, Hexaeder, Oktaeder, Dodekaeder, Ikosaeder Duale Körper Hat der 1. Körper n Ecken, hat der 2. Körper n Polygone im Eckenkranz Hat ein platonischer Körper p Polygone im Eckenkranz, dann besteht der duale Körper aus p Ecken Die Platonischen Körper sind dual zu anderen Platonischen Körpern Wenn der 1. Eckenkranz n unterschiedliche Polygone hat, dann hat der 2. Körper n unterschiedliche Eckenkränze Kurze Definition von dualen Körpern (Skript Seite 19) Zwei Körper sind dual zueinander, wenn man den einen in den anderen so einschieben kann, dass die Ecken auf den Seitenflächen liegen. Dualität Besonderheit beim Teatraeder Das Tetraeder ist zu sich selbst dual

Deckabbildung & Symmetrie im Raum Sei F eine geometrische Figur im Raum (Körper, Fläche, Winkel, Eckenkranz, Gerade usw.). Eine Drehung (Spiegelung, Schiebung usw.; allg.: Abbildung) im Raum heißt Deckdrehung (-spiegelung; -schiebung usw.; allg. -abbildung) bezüglich F, wenn nach ihrer Ausführung (verstanden als physikalische Bewegung oder als konstituierte Spiegelung) F als Ganzes dieselbe Stelle im Raum wie vorher einnimmt. Hat die Figur F außer der Identität (=Nulldrehung = Nullschiebung) noch wenigstens eine weitere Deckabbildung, dann heißt sie symmetrisch (bezüglich dieser Deckabbildung) (und, je nach dem, dreh-, spiegel-, schubsymmetrisch usw.) Wichtig: Jede Figur hat mindestens eine Deckabbildung nämlich die Nulldrehung (=Nullverschiebung=Identität) Drehungen werden nur mit Drehwinkeln im Bereich + oder - 180° betrachtet Wie viele Deckdrehungen hat ein Würfel? 24 3 4-zählige Flächenachsen +6 2-zählige Kantenachsen +4 3-zählige Eckenachsen + einmal die Nulldrehung Euklids Elemente - Definitionen Was keine Teile hat, ist ein Punkt. Eine Länge ohne Breite ist eine Linie. Die Enden einer Linie sind Punkte. Eine Linie ist gerade, wenn sie gegen die in ihr befindlichen Punkte auf einerlei Art gelegen ist. Was nur Länge und Breite hat, ist eine Fläche. Das Enden einer Fläche sind Linien. Ein ebener Winkel ist die Neigung zweier Linien in einer Ebene gegeneinander, die einander treffen, ohne einander gerade fortzusetzen. Wenn eine gerade Linie, auf eine gerade Linie gestellt, einander gleiche Nebenwinkel bildet, dann ist jeder der beiden gleichen Winkel ein Rechter, und die stehende gerade Linie heißt senkrecht zu (Lot auf) der, auf der sie steht. „stumpf“ ist ein Winkel, wenn er größer als ein Rechter ist, „spitz“ wenn er kleiner als ein Rechter ist. Eine Figur ist, was von einer oder mehreren Grenzen umfasst wird. Ein Kreis ist eine Ebene, von einer einzigen Linie [die Umfang (Bogen) heißt] umfasste Figur mit der Eigenschaft, dass alle von einem innerhalb der Figur gelegenen Punkte bis zur Linie [zum Umfang des Kreises] laufende Strecken einander gleich sind; Mittelpunkt des Kreises heißt dieser Punkt. Ein Durchmesser des Kreises ist jede durch den Mittelpunkt gezogene, auf beiden Seiten vom Kreisumfang begrenzte Strecke; eine solche hat auch die Eigenschaft, den Kreis zu halbieren

Euklids Elemente - Postulate Es soll gefordert werden, … … dass sich von jedem Punkte nach jedem Punkte eine gerade Linie ziehen lasse. … dass sich eine begrenzte Gerade stetig in gerader Linie verlängern lasse. … dass sich mit jedem Mittelpunkt und Halbmesser ein Kreis beschreiben lasse. … dass alle rechten Winkel einander gleich seien. … wenn eine Gerade zwei Geraden trifft und mit ihnen auf derselben Seite innere Winkel bildet, die zusammen kleiner sind als zwei Rechte, so sollen die beiden Geraden, ins Unendliche verlängert, schließlich auf der Seite zusammentreffen, auf der die Winkel liegen, die zusammen kleiner sind als zwei Rechte. Euklids Elemente - Axiome Dinge, die demselben Dinge gleich sind, sind einander gleich. Fügt man zu Gleichem Gleiches hinzu, so sind die Summe gleich. Nimmt man von Gleichem Gleiches hinweg, so sind die Reste gleich. Was zur Deckung miteinander gebracht werden k...