Geometrie Zusammenfassung Oberstufe PDF

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Zusammenfassung Geometrie Oberstufe Bayern...

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Zusammenfassung - Mathe – Geometrie

III. Geometrie 1. Koordinatensystem

x3 x2-x3- Ebene x1 = 0

x1-x3- Ebene x2 = 0 x2 x1-x2- Ebene x3 = 0 x1

Ist eine Koordinate eines Punktes 0  Punkt liegt in einer Koordinatenebene Sind zwei Koordinaten eines Punktes 0  liegt auf einer Koordinatenachse Spiegelungen: Bsp.: P (4|3|1)  x1x2- Ebene  P‘ (4|3|-1) senkrechte Projektion (Schatten): P (4|3|1)  x1x2- Ebene  P‘ (4|3|0) 2. Vektoren → vom Ursprung zum entsprechenden Punkt: Ortsvektoren 𝑎

→ = → - → : Verbindungsvektor 𝐴𝐵

𝑏

𝑎

3. Multiplikation Zahl  Vektor r * → = r * ( 𝑎 2 ) = ( 𝑟∗𝑎 2) 𝑟∗𝑎 1

𝑎1

𝑎

𝑎3

𝑟∗𝑎 3

4. Mittelpunkt eines Vektors = → 𝑚 [𝐴𝐵 ]

1 2

* (→ + → ) 𝑎 𝑏

A → 𝑎

→ 𝑚

0

B → 𝑏

5. Betrag (Länge) von Vektoren | → | = | (𝑏𝑎) | = √(𝑎)2 + (𝑏)2 + (𝑐)² 𝑎 𝑐

6. Winkel und Skalarprodukt C

A

→ ∘→

𝐴𝐵 cos 𝛼 = | →𝐴𝐶 |∗|→ | 𝐴𝐶

𝛼

𝐴𝐵

B → 𝑎

Winkel zwischen 2 Vektoren

cos 𝛼 =

𝛼

0

→ 𝑏

→∘ → 𝑎

𝑏

| → |∗| → | 𝑎

𝑏

Skalarprodukt: → ∘ → = ( 𝑎 2 ) ∘ ( 𝑏 2) = a1 * b1 + a2 * b2 + a3 * b3 = Zahl 𝑎

𝑎1

𝑏

𝑎3

𝑏1

𝑏3

Das Skalarprodukt zweier Vektoren liefert eine Zahl und damit einen Winkel.  Besonderheit: → ∘ → = 0  → ⊥ → (senkrecht orthogonal) 𝑎

𝑏

𝑎

𝑏

7. Kreuzprodukt 𝑎 2∗𝑏 3−𝑎 3∗𝑏 2

1−𝑎 1∗𝑏 3) = Koordinate → = → × → = ( 𝑎 2) × ( 𝑏 2) = ( 𝑎𝑎 3∗𝑏 1∗𝑏 2−𝑎 2∗𝑏 1 𝑛

𝑎

𝑏

𝑎1

𝑎3

𝑏1

𝑏3

Das Vektorprodukt zweier Vektoren liefert einen Vektor, der orthogonal auf den beiden Seiten steht.

8. Geometrische Eigenschaften des Vektorprodukts 1) Parallelogramm: A = |→ × → | 𝐴𝐷

𝐴𝐵

(Mittelstufe: A = g * h) 2) Dreieck

A = 2 * |→ ×→ | 1

𝐴𝐵

𝐴𝐷

1

(Mittelstufe: 2 * g * h)

3) VSpat = | (→ × → ) ∘ → | 𝐴𝐵

𝐴𝐷

𝐴𝐸

(Mittelstufe: VQ = G * h)

4) V4-seitige Pyramide= 3 * | ( → × → ) × → | 1

𝐴𝐵

1 3

𝐴𝐷

(Mittelstufe: VPyramide= * G * h) 1

𝐴𝐸

5) V3-seitige Pyramide= * | ( → × → ) ∗ → | 6 𝐴𝐵

𝐴𝐷

𝐴𝐸

9. Kreise und Kugeln Kreis: Koordinatendarstellung: (x1 – m1)2 + (x2 – m2)2 = r2 Vektordarstellung: (X – M)² = r² erfüllt  → ∈ Kreis 𝑋 Kugel: Koordinatendarstellung: (x1 – m1)2 + (x2 – m2)2 + (x3 – m3)2 = r2 Vektordarstellung: (X-M)2 = r2 10. Geraden g: → = → + 𝜆 * → 𝑋 𝐴

𝐴𝐵

→ = Alle Punkte 𝑋

→ = Aufpunkt 𝐴

→ = Richtung

𝐴𝐵

11. Geraden / Ebenen im Raum 11.1. Lineare Unabhängigkeit → und → zeigen in die gleiche Richtung (vielfache voneinander) 𝑎 𝑏

 → und → sind linear abhängig (kollinear) 𝑎

𝑏

3 Vektoren, die linear abhängig sind können eine geschlossene Vektorkette bilden  liegen in einer Ebene 3 Vektoren, die linear unabhängig (l.u.) sind spannen einen Raum auf

12. Besondere Lagen von Geraden Ist beim Richtungsvektor eine Koordinate 0  ist es parallel zur Koordinatenebene Bsp.: h: → = (24) + 𝜆 * (21)  Richtung: x3 = 0  parallel x1x2- Ebene 𝑋

3

0

Sind zwei Koordinaten 0  ist es parallel zu einer Koordinatenachse Bsp.: g: → = (31) + 𝜆 * ( 4)  Richtung: x1 = x3 = 0  parallel x2- Achse 𝑋

2

0

0

Schnittpunkte von Geraden mit Koordinatenebenen (Spurpunkten) 1 1 Bsp.: g: → = (−4 ) + 𝜆 * ( 2) 𝑋

4

−1

SP mit x2x3- Ebene: x1 = 0 I. 0=1+2 𝜆  𝜆 = −1

II. x2 = -4+2 𝜆  x2 = -6 III. x3 = 4- 𝜆  x3 = 5  SPx2x3 (0|-6|5)

g liegt im Raum

13. Lage zweier Geraden (Bsp. siehe Ordner) 1) Parallel g: → = → + 𝜆 * → 𝑋 𝑎

𝑢

𝑏

𝑣

h: → = → + 𝜇 * → 𝑋

a) Richtung: → ; →  l.a. 𝑢

b) A ∉ h; B ∉ g

𝑣

2) Identisch

a) Richtung: → ; →  l.a. 𝑢

b) A ∈ h; B ∈ g

𝑣

3) Schnittpunkt

a) Richtung: → ; →  l.u. 𝑢

𝑣

b) Auf SP überprüfen g = h

4) Windschief

a) Richtung: → ; →  l.u. 𝑢 b) kein SP

𝑣

14. Lotfußpunkt 1) Allgemeiner Geradenpunkt aufstellen

2) → bilden (Verbindungsvektor Punkt  Gerade) 𝑃𝑋 3) → ∘ → = 0  𝜆 ausrechnen 𝑃𝑋

𝑢

4) 𝜆 in g einsetzen  Lotfußpunkt

Bsp.: g: → = (−31) + 𝜆 * ( 𝑋

2

→ 𝑢

2 2 ) −1

h: → = (07) + 𝜇 * (−− 44) 𝑋

 allgemeiner Geradenpunkt: (−1+2𝜆) 3+2𝜆 2−𝜆

2

3

→ 𝑣

Richtung: → = 𝝀 ∗ → 𝒖

𝒗

( 22 ) = 𝜆 * (−−44 ) −1

2

I. II. III.

2 = -4 𝜆  𝜆 = − 2 1

2 = -4 𝜆  𝜆 = − 2

1

Linear abhängig  identisch oder parallel

-1 = 2 𝜆  𝜆 = − 2 1

−4 Punktprobe: (− 1 ) = (07) + 𝜇 (− 4) 3

2

 nach 𝜇 auflösen I.

II. III.

2

3

3=7–4𝜇𝜇=1 –1=-4𝜇𝜇=

1

4

2=3+2𝜇𝜇=-

1

2

 parallel

Abstand g zu h: → = (− 1+2 𝜆) ; → = (07) 𝑋 3+2 𝜆 2− 𝜆

𝑃

3

4+2 𝜆 → = → − → = ( −1+2𝜆) - ( 0) = (−− 1+2 𝜆) 𝑃𝑋

𝑋

𝑃

3+2𝜆

7

3

2−𝜆

− 1− 𝜆

→ ° →=𝟎 𝑷𝑿

𝒖

−4+2𝜆 2 (− 1 + 2 𝜆 ) ° ( 2 ) = 0 −1 −1− 𝜆

= (-4+2𝜆)*2+(-1+2 𝜆)*2+(-1- 𝜆)*(-1) = 0

= -8+4 𝜆+(-2)+4 𝜆+1+ 𝜆 = 0 =9𝜆–9=0 𝜆=1

𝜆 = 1 in g einsetzen

3 2 𝑔: →: ( − 1 ) + 1 ∗ ( 2 ) 𝑋 −1 2

(−31) + ( 2 ) = (15)  F (5|1|1) 2

2

1

−1

Lotgerade: L: →: (70) + 𝜇 ∗ → 𝑋

𝑃𝐹

3

7  → − → = (15) − ( 0) = ( 𝐹

𝑃

1

3

−2 7 →: ( 0) + 𝜇 ∗ ( 1 ) 𝑋 3 −2

−2 1 ) −2

Abstand von B zu g: |→ | = |( 𝐵𝐹

−2 1 )| −2

= √22 + 12 + 2² = 3

15. Vektorielle Darstellung von Ebenen

→ 𝑣

+ 𝜆 ∗→ + 𝜇 ∗→ E:→= → 𝑢 𝑣 𝐴 𝑋

→ ; →  linear unabhängig

→

𝑢

𝑢

𝑣

→ 𝑎

Möglichkeiten eine Ebene aufzustellen: a) 3 Punkte 𝐸: → = → + 𝜆 ∗ → + 𝜇 ∗ → 𝑋

𝐴

𝐴𝐵

𝐴𝐶

b) 2 schneidende Geraden

𝐸: → = → + 𝜆 ∗ → + 𝜇 ∗ → 𝑋

𝐴

𝑢

𝑣

c) 2 parallele Geraden  → ; → linear abhängig ! 𝑢

𝐸: → = → + 𝜆 ∗ → + 𝜇 ∗ → 𝑋

𝐴

𝑢

𝐴𝐵

𝑣

16. Normalenform E: n1*x1+n2*x2+n3*x3+n0 = 0

→ ° ( → − →) = 0 𝑛

n⊥E

𝑋

𝑎

→=→×→ 𝑛

𝑢

𝑣

17. Gegenseitige Lage Gerade  Ebene 1. g schneidet E A (8|3|6)

B (9|3|7)

8+𝜆 3 ) 6+𝜆

1 g: → = (3) + 𝜆 ∗ (0)  allgemeiner Geradenpunkt: ( 8

𝑋

6

𝑋

0

1

2 E: → = ( 0) + 𝜆 ∗ (− 1) + 𝜇 ∗ ( −01) 8

0

→ = → × →= (−− 21) 𝒏

𝑢

𝑣

1

−2

Bisher: E: -1*x1 – 2*x2 – 2*x3 +n0 = 0 Aufpunkt in E: -1*8+n0 = 0 | +8 n0 = 8  E: -1*x1-2x2-2x3+8=0 Allgemeiner Geradenpunkt in E: g in E: -(8+𝜆)-2*3-2(6+ 𝜆)+8 = 0  𝜆 = -6

𝝀 = -6 in g einsetzen: S (2|3|0) 2. g || E 2 g: → = (3) + 𝜆 ∗ (−2) 𝑋

8

6

1

E: -x1-2x2-2x3+8 = 0

Aufpunkt in E: -8-2*3-2*6+8 = 0  -18=0  identisch, wenn gleiches Ergebnis! 18. Lage von Ebenen im Raum E: n1*x1+n2*x2+n3*x3+n0 = 0  Sind 2 Koeffizienten = 0  parallel zu einer Koordinatenebene  Ist nur ein Koeffizient = 0  parallel zu einer Koordinatenachse

Bsp.: E: x2+3x3-6 = 0

→ = (10)  n = 0  parallel x - Achse 𝑛 1 1 3

E: 3x3-6 = 0

→ = (0)  n1; n2 = 0  parallel x1- x2- Ebene 0

𝑛

3

19. Spiegelungen 1) Punkte  Gerade P (1|-1|1) 2 → = ( 2 + )𝜆 𝑃𝑋 2𝜆

1

2 0 (2 + 𝜆 ) ° ( 1) = 0 2𝜆 2

2+𝜆+4*𝜆=0 𝜆= −

2 5

𝜆 in g: F (3|0,6|0,2)

→= → + → 𝑷

𝒇

𝑷𝑭

= ( 0,6) + ( 3

0,2

0

3 g: → = (13) + 𝜆 ∗ ( 1)  allgemeiner Geradenpunkt: ( 1+𝜆 ) 2 𝑋

2 1,6 ) −0,8

= (

5 2,2 ) −0,6

2) Punkt  Ebene P (0|6|-6) E: x1+4x2-3x3+10 = 0

1+2𝜆

L ⊥ E: Lotgerade:

L: → = ( 6 ) + 𝜆 ∗ ( 41 ) = ( 𝑋 0

−6

−3

1𝜆 6+4𝜆

−6−3𝜆

)

L ∩ E: 𝜆 + 4*(6+4 𝜆)-3*(-6-3 𝜆)+10 = 0 26 𝜆 + 52 = 0 𝜆 = -2

Lotfußpunkt: F (-2|-2|0)  →= → + → 𝑷

𝒇

𝑷𝑭

20. Lage von Ebenen 1) E und F sind parallel

a) → ; → sind linear abhängig 𝑛𝐸

𝑛𝐹

→ = 𝜆∗→ 𝑛𝐸

𝑛𝐹

b) Punktprobe Bsp.: E: -12x1+4x23-x3+7 = 0  →= (−12 4 ) 𝑛𝐸

−1

12 ) F: 12x1-4x2+x3-17 = 0  → = (−4

I. II. III.

-12 = 𝜆 * 12  𝜆 = -1

4 = 𝜆 * (-4)  𝜆 = - 1 –1=𝜆*1𝜆=-1

Punkt aus E: x1=x2=0  x3=7  P (0|0|7) P in F: 7-17= 0  E || F

𝑛𝐹

1

→ ; → sind linear abhängig 𝑛𝐸 𝑛𝐹

2) E und F sind identisch

a) → ; → sind linear abhängig 𝑛𝐸 𝑛𝐹

→ = 𝜆∗→

𝑛𝐸

𝑛𝐹

b) Punktprobe  W enn kein Schmarrn raus kommt sind die Ebenen identisch!

3) E und F schneiden sich

a) → ; → sind linear unabhängig 𝑛𝐸

𝑛𝐹

b) Schnittgerade aufstellen

Bsp.: E: x1+2x2+4x3-12 = 0 F: 6x1-3x2+4x3-12 = 0 → = (21) 𝑛𝐸

6 ) → = ( −3 𝑛𝐹

4

I.

1 = 𝜆*6  𝜆 =

1

4

6

II.

2 = 𝜆 * (-3)  𝜆 = - 3

I.

X1+2x2+4x3-12 = 0

II.

6x1-3x2+4x3-12 = 0

2

 2 Gleichungen mit 3 Unbekannten I. II.

𝜆+2x2+4x3-12 = 0  x2 = 6-2x3- 2 * 𝜆

6 𝜆-3x2+4x3-12 = 0

I in II. 6 𝜆-3(6-2x3- 2 𝜆) + 4x3-12 = 0 1

 x3 = 3 – 0,75 𝜆

1

X1 = 𝜆

einsetzen in x2 :

x2 = 6-2*(3-0,75 𝜆) -

x2 = 𝜆

𝑥1 ( 𝑥2) = ( 𝑥3

𝜆 𝜆

3 − 0,75𝜆

1

2

𝜆

1 00 )+ 𝜆∗ ( 1 ) )= ( 3 −0,75...