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Detaillierte digitale Zusammenfassung der Vorlesung zu VWL Mikroökonomie vom WS 2017/2018...

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Das Konzept der Präferenz De gustibus non est disputandum (Über Geschmack streitet man nicht) →Mündigkeit des Agenten →Verzicht auf Bewertung der Präferenzen Aber: Annahme an die Konsistenz der Präferenzen und Annahmen, die sicherstellen, dass unsere Optimierung unter Nebenbedingungen "funktioniert" Konsumpläne 2-Güterfall (Gut 1 und Gut 2) Konsumpläne: x, y ∈ X • •

x = (𝑥1 , 𝑥2 ) = (3,1) (3 Einheiten von Gut 1 und 1 Einheit von Gut 2) y = (𝑦1 , 𝑦2 ) = (1,2) (1 Einheit von Gut 1 und 2 Einheiten von Gut 2)

Notationen: x ≻ y = x wird gegenüber y strikt präferiert (Konsum wählt im Entscheidungsfall x) x ∼ y = beide sind gleich gut, der Agent ist indifferent (Entscheidung ist ihm egal) x

y = x ist mind. genauso gut wie y (x wird schwach präferiert)

Ordinale Präferenzrelation ! Präferenzrelation ist ordinal, nicht kardinal (Agent kann nur sagen, dass ihm x lieber ist, aber nicht um wieviel lieber es ihm ist) → Präferenzen geben eine Ordnung über alle Konsumpläne (vom schlechtesten zum besten) Annahme an die Präferenzrelation (Axiome) Präferenzen sind

... vollständig ("Ich kann mich immer entscheiden) ... transitiv (eine Konsistenzbedingung) ... fast immer monoton ("mehr ist nie schlechter")

Vollständige Präferenzen Vollständigkeit = Konsument kann die beliebigen Konsumpläne x und y vergleichen und klare Aussagen machen (Entscheidungsunsicherheit ist ausgeschlossen) Definition Vollständigkeit: Eine Präferenzrelations ist vollständig, wenn x Reflexivität = Konsumplan ist mind. genauso gut wie er selbst Transitive Präferenzen Eine Präferenzrelation

auf X ist transitiv, wenn gilt:

Transitivität gilt als auf für Präferenz und Indifferenz 1

y oder y

x

Beispiel: Partnerwahl von Daniela: Partner haben unterschiedliche Vorteile, weswegen zirkuläre Präferenzen entstehen. → von Transitivität ausgeschlossen vollständige und transitive Präferenzrelation = Präferenzordnung Monotone Präferenzen Annahme der Monotonie: "mehr ist nie schlechter" → bei Konsumplänen x = (2,3) und y = (1,2) impliziert Monotonie: x ≻y, da x echt mehr enthält als y Streng monotone Präferenzen bei Konsumpläne x′ = (1,3) und y′ = (1,2) impliziert strenge Monotonie: x′ ≻y′, da x' von jedem der Güter mind. so viel enthält wie y' und von mind. einem Gut sogar echt mehr Grafische Darstellung von Konsumplänen Konsumpläne: x = (3,3), y = (2,4) und z = (5,5) Hat Agent monotone Präferenzen, so sieh man an Grafik: z ≻ y und z ≻ x Es gilt: (bei Monotonie ist man den Grenzen gegenüber noch indifferent, bei stre.Mon. findet man sie schon besser/schlechter) Monotonie: I(x) ist Kurve mit nichtpositiver Steigung Strenge Monotonie: I(x) besitzt negative Steigung

Menge Indifferenzmenge Besser-Menge Schlechter-Menge

Beschreibung Alle Konsumpläne, die man als genauso gut erachtet wie Konsumplan x I(x) = {y ∈X |y ∼x} Alle Konsumpläne, die man als besser erachtet als Konsumplan x B(x) = {y ∈X |y ≻x} Alle Kosumpläne, die man als schlechter erachtet als Konsumplan x S(x) = {y ∈X |x ≻y}

Wenn Präferenzen transitiv sind, können sich zwei Indifferenzkurven nicht schneiden Präferenzordnungen kann man als System von Indifferenzkurven darstellen: • •

Bessere Konsumpläne liegen weiter oben Schlechtere Konsumpläne liegen weiter unten

2

Konvexität der Präferenzen Strenge Konvexität = Mischung indifferenter Konsumpläne ist echt besser als die zugrundeliegenden Konsumpläne Beispiel: Konsument ist indifferent zwischen x = (2,10) und y = (11,1) Betrachte Mischung z = 0.5x +0.5y = (6.5,5.5) aus x = (2,10) und y = (11,1) → z ≻ x und z ≻ y Definition: Eine Präferenzordnung für alle λ ∈ [0,1].

auf X ist konvex, wenn für jedes Paar x, y ∈X gilt: x ∼y =⇒ λx + (1−λ) y

x

Eine Präferenzordnung auf X ist streng konvex, wenn für jedes Paar x, y ∈X gilt: x ∼ y =⇒ λx + (1−λ) y ≻x für alle λ ∈ (0,1)

Konvexität = Verbindung zw. zwei Punkten auf Indifferenzkurve liegt immer auf Indifferenzkurve oder in der Bessermenge (strenge Konvexität: Komplette Lage in der Bessermenge (incl. Randpunkte) Beispiel für nichtkonvexe Präferenzrelation:

Beispiele: • •

nichtkonvexe Präferenz: Indifferenz zw. Glas Rotwein oder Weißwein, aber keine Mischung konvexe Präferenz: Lieber Wurstbrot als Brot oder Wurst alleine

meist ist Konvexitätsannahme vertretbar, ABER: Grund für Annahme der Konvexität liegt nicht in der Realitätsnähe, sondern: • •

Optimierung für konvexe Präferenzen einfacher im Fall von streng konvexen Präferenzen sogar eindeutiges Optimum garantiert

Verschiedene Typen von Präferenzen 1. 2. 3. 4. 5. 6.

Perfekte Substitute Perfekte Komplemente Präferenzen mit Sättigungspunkt Neutrale Güter "Bads" Lexikographische Präferenzen

1. Perfekte Substitute Konsument ist bezüglich jeder Mischung zweier indifferenter Konsumpläne wiederum indifferent 3

Beispiele: schwarze und blaue Kugelschreiber, dicke und dünne Pullover im Verhältnis 1:2 Indifferenz"kurven" sind im 2-Güterfall Geraden Indifferenzkurvensystem: • •

streng monoton konvexe Präferenzen

2. Perfekte Komplimente Konsument möchte immer in einem bestimmten Verhältnis konsumieren (1:1, 1:2, usw.) Beispiele: rechte und linkte Schuhe, Tasse Kaffee und ein Löffel Zucker Indifferenzkurvensystem: • •

monoton konvex

3. Präferenzen mit Sättigungspunkt Sättigungspunkt (bliss point) ist Konsumplan, den Konsument allen anderen Konsumplänen vorzieht Beispiel: Bier, Schnaps, Torte Verletzt Axiom der Monotonie → Annahme bei Monotonie: Konsument operiert wegen Budgetrestriktion im Bereich der Nichtsättigung

4. Neutrale Güter Gut ist für Konsument neutrales Gut, wenn seine Menge in einem Konsumplan keinen Einfluss auf seine Beurteilung hat in Grafik: Gut 2 als neutrales Gut (Menge von Gut 2 ist egal) 5. Bads Good und Bad-Indifferenzkurven mit positiver Steigung • •

höhere Menge von Gut 2 wird als negativ empfunden bei Erhöhung der Menge von Gut 2 vom Bündel y aus: Erreichen eines Güterbündels, das Konsument als gleich gut beurteilt

→ Gut 2 = Bad (z.B. Müll oder Lärm) 6. Lexikografische Präferenzen Lexikographische Präferenzen lassen sich nicht durch Indifferenzkurven-System darstellen  keine Nutzenfunktion aufstellbar, da jede Indifferenzkurve aus genau einem Punkt besteht 4

Idee: Konsument bewertet Konsumpläne so, wie Worte in Lexikon angeordnet sind (erst zählt nur Anfangsbuchstabe, danach zählt nur zweiter Buchstabe Beispiel: Konsument liebt Schokolade und präferiert den Konsumplan, der mehr Schokolade enthält → Anzahl der anderen Gütermenge ist egal, nur wenn Konsumpläne gleich viel Schokolade enthalten, zieht er die anderen Güter in Betracht Konsumpläne (KP) oberhalb von x sind besser als x, da sie genauso viel Schokolade enthalten wie x, aber mehr von anderen Gütern.

KP unterhalb von x sind schlechter als x, da sie genauso viel Schokolade enthalten wie x, aber weniger andere Güter.

KP rechts von x sind besser als x, da sie mehr Schokolade enthalten als x

KP links von x sind schlechter als x, da sie weniger Schokolade enthalten

Weitere Annahme: Stetigkeit (lexikografische Präferenzen sind nicht stetig) Definition:

Verhältnis, in dem Konsument gerade noch zu einem Tausch bereit ist, ∆x2

kann geschrieben werden als: ∆x1 = − 4 : 1 = - 4 (Für eine zusätzliche

Einheit von Gut 1 ist Konsument bereit, 4 Einheiten von Gut 2 herzugeben Er ist indifferent zwischen den Konsumplänen (1,6) und (2,2) •

Tauschverhältnis = Steigung der orangenen Geraden (Steigung immer negativ!)

• •

Abhängigkeit des Tauschverhältnisses von Größe von 𝑥1 Von 𝑥1 unabhängiges Tauschverhältnis:

Grenzwertbetrachtung liefert Grenzrate der Substitution (marginal rate of substitution, MRS) Steigung der Indifferenzkurve und damit MRS sind vom Punkt der Steigungsbetrachtung abhängig Nutzenfunktion •

Nutzenfunktion dient numerischer Darstellung der Präferenzordnung: o höhere Zahl bei präferiertem Gut o gleiche Zahl bei indifferentem Gut o Zahl selbst ist unwichtig, nur Reihenfolge von Bedeutung → nur Vergleich aussagekräftig!

5

•

Nutzen verschiedener Konsumpläne: Konsumplan X ist gegenüber Konsumplan y strikt präferiert, wenn der "Nutzen" von x größer ist als der "Nutzen" von y (Nutzen = ordinales Konzept!)

Beispiel Präferenzordnung: (3,2) ∼ (2,3) ≻ (2,2) ≻ (1,2) ≻ (1,1) Nutzenfunktion u(𝑥1 , 𝑥2 ) = 𝑥1 · 𝑥2 beschreibt folgende Präferenzordnung: Positiv monotone Transformation Definition: Muss eine monoton steigende Funktion sein (f′(x) > 0) Beispiele von positiv monotonen Transformationen: •

Multiplikation mit einer positiven Konstanten

• •

Addition einer positiven oder negativen Zahl Potenzieren mit einem ungeraden (!) Exponenten

→ Rangordnung darf nicht verändert werden, sonst darf beliebig transformiert werden Beobachtung: •

Positiv monotone Transformation ändert Reihenfolge der Konsumpläne nicht

•

Jede positiv monotone Transformation stellt die selbe Präferenzordnung dar wie die Nutzenfunktion → Für eine gegebene Präferenzordnung gibt es keine eindeutige Nutzenfunktion

Satz (Äquivalente Nutzenfunktion): Jede positiv monotone Transformation einer Nutzenfunktion ist eine äquivalente Nutzenfunktion mit der gleichen Präferenzordnung → Nutzenfunktionen sind nur ein analytisches Werkzeug ohne Bedeutung an sich Existenz von Nutzenfunktionen Satze: Jede stetige Präferenzordnung kann durch eine Nutzenfunktion repräsentiert werden (gilt ohne Monotonie, nur Stetigkeit wichtig) Bei Monotonie und Stetigkeit ist Konstruktion einer Nutzenfunktion einfach → Schnittpunkt der Winkelhalbierenden mit Indifferenzkurve: Nutzendarstellung verschiedener Präferenzen 1. 2. 3. 4.

Nutzen aller Bündel auf der Indifferenzkurve von x

Perfekte Substitute Perfekte Komplemente "Cobb-Douglas"-Präferenzen Quasi-Lineare Präferenzen

Nutzen aller Bündel auf der 2. Indifferenzkurve

1. Perfekte Substitute (z.B. Apfelsaft oder Orangensaft ist egal) Beschreibung durch lineare Nutzenfunktion mit der Form u(𝑥1 , 𝑥2 ) = a · 𝑥1 + b · 𝑥2 mit a,b > 0 Bestimmung der MRS: Auflösen nach 𝑥2 ergibt die Gleichung der Indifferenzkurve zum Nutzenniveau u: → Gerade mit 𝑥2 -Achsenabschnitt

𝑢

𝑏

und Steigung (MRS) −

6

𝑎

𝑏

2. Perfekte Komplemente (Güter, die immer gemeinsam konsumiert werden) • •

Konsum der Güter im Verhältnis 1:1 → 𝑥1 = 𝑥2 Nutzen wird durch die kleinere Menge der beiden Güter bestimmt: u(𝑥1 , 𝑥2 ) = min{b · 𝑥1 ,a · 𝑥2 }

•

Minimum beschreibt z.B. Anzahl an ganzen Schuhpaaren → Nutzen ist kleinere Menge

3. "Cobb-Douglas" Nutzenfunktion Form: •

Erfüllung der gestellten Annahmen: Für 𝑥1 ,𝑥2 > 0 repräsentiert sie streng monotone und streng konvexe Präferenzen (mind. mehr ist besser, Mischung ist echt besser)

• •

Erfüllung weiterer angenehmer Eigenschaften, die in nächsten Kapiteln erläutert werden Positive Transformation in folgende Form möglich:

Indifferenzkurvenschar der CD: Steigung (MRS) der Indifferenzkurve (Nutzenfunktion): Entlang Indifferenzkurve ist Nutzen konstant, d.h. es gilt: 𝑥1 · 𝑥2 = u  Auflösen nach 𝑥2 ergibt: 𝑥2 (𝑥1 ) =

u

Steigung = 1.Ableitung

x1

MRS der CD-Nutzenfunktion Frage: Zusammenhang zwischen Nutzenfunktion, Indifferenzkurve und der Grenzrate der Substitution? • •

MRS in einem Punkt ist Steigung der Indifferenzkurve in diesem Punkt Indifferenzkurve liefert zu jedem Wert von 𝑥1 den dazugehörigen Punkt 𝑥2 , sodass (𝑥1 ,𝑥2 ) ebenfalls auf der Indifferenzkurve liegt → 𝑥2 als Funktion von 𝑥1

•

Grenzrate der Substitution ist Steigung der Funktion: MRS =

𝑑𝑥2 𝑑𝑥1

Indifferenzkurve und MRS sei 𝑢 = 100 und 𝑥1 = 5, die MRS in diesem Punkt beträgt also: −

𝑢

𝑥1 2

=−

100 25

= -4

→ Wenn Konsument 5 Einheiten von Gut 1 besitzt, ist er bereit, eine zusätzliche Einheit (die 6. Einheit) von Gut 1 gegen vier Einheiten von Gut 2 zu tauschen 4. Quasilineare Präferenzen Darstellung als Nutzenfunktion in folgender Form:

Indifferenzkurven ergeben sich als : 𝑥2 = 𝑢 − 𝑣(𝑥1 ) Grenznutzen (marginal utility, MU) Frage: Nutzenänderung des Konsumenten, wenn er eine kleine Menge von Gut 1 dazubekommt? • •

Grenznutzen von Gut 1 (𝑀𝑈1 ) gibt an, um wieviel Wert der Nutzenfunktion steigt, wenn 𝑥1 marginal erhöht wird Grenznutzen von Gut 1 wird durch partielle Ableitung der Nutzenfunktion nach 𝑥1 berechnet Schreibweise:

7

Bei partieller Ableitung nach 𝑥1 wird die Ableitung der Funktion nach 𝑥1 gebildet, wobei Menge von Gut 2 konstant gehalten wird → 𝑥2 als Konstante bei partieller Ableitung Grenznutzen verschiedener Nutzenfunktionen:

→ sind am Knickpunkt der "Kurve"

Berechnung der Optima bei Cobb-Douglas: 𝑚 𝑚 𝑥2 = (1 − 𝛼) ∙ 𝑥1 = 𝛼 ∙ 𝑝 1

𝑝2

Grenznutzen und MRS MRS = −

𝑀𝑈1

𝑀𝑈2

=

𝑑𝑥2

𝑑𝑥1

=−

𝑝1

𝑝2

→ Berechnung der MRS am Beispiel der Cobb-Douglas Nutzenfunktion

Partielle Ableitung der Nutzenfunktion berechnen und MRS ausrechnen → MRS an Stelle 𝑥 = (5,20): −

20 5

= -4 (siehe Folie (2) 97)

Positiv monotone Transformation → MRS ist invariant bzgl. positiv monotoner Transformationen

Beispiele für nicht definierte MRS

Präferenzen mit Sättigungspunkt: MRS nicht definiert in Punkt A und positiv in Punkt B (→ keine Indifferenzkurve vorhanden!)

Präferenzen mit dicken Indifferenzkurven: MRS ist nicht definiert in Punkt A

8

Perfekte-KomplementePräferenzen: "Kurve" hat in C einen Knick und dort nicht differenzierbar, MRS(A)=0 und MRS(B)=→ ∞

Stetig differenzierbare Nutzenfunktion Damit Grenzrate der Substitution überall definiert ist: Annahme, dass Indifferenzkurve weder Knicke noch senkrechte Stücke hat → Nutzenfunktion, die Präferenz beschreibt, sei differenzierbar (durch Ableitung der Nutzenfunktion abgeklärt)

nicht stetig differenzierbare Nutzenfunktion

• •

Monotonie schließt Sättigung und dicke Indifferenzkurve aus (Strenge) Konvexität hilft nichts

•

Nutzenfunktion muss differenzierbar sein (dh. darf keine Knickstellen haben)

Optimale Entscheidung Frage: Welcher Konsumplan maximiert den Nutzen eines Konsumenten? Monotone Präferenzen: Punkt x innerhalb der Budgetmenge kann nicht optimal sein (gem. Monotonie wäre Konsumplan weiter rechts und oben vorzuziehen, ABER: nicht realisierbar) → optimaler Konsumplan für monotone Präferenzen liegt auf der Budgetgeraden Optimaler Konsumplan (= der beste Konsumplan, den sich Konsument leisten kann) •

liegt auf der höchsten erreichbaren Indifferenzkurve, die die Budgetgerade noch berührt

• •

Budgetgerade bildet im Punkt x eine Tangente zur Indifferenzkurve Steigung der Indifferenzkurve = Steigung der Budgetgerade im Punkt x

•

ist Optimalitätsbedingung für "gutartige" Nutzenfunktionen

Implikation der Optimalitätsbedingung 𝑝1

Daher gilt im Punkt x*: MRS = − 𝑝2

(d.h. Tauschrate des Konsumenten ist gleich der Tauschrate am Markt)

Ist diese Bedingung verletzt, kann der ursprüngliche Konsumplan x nicht optimal gewesen sein! Bedingung ist sehr berühmt, gilt aber nur bei monotonen und streng konvexen Präferenzen Was kann schief gehen? • •

Indifferenzkurve ist nicht konvex bei perfekten Substituten kann es zu Randoptima und multiplen inneren Optima kommen

• •

Steigung einer streng konvexen Indifferenzkurve ist in keinem Punkt gleich Steigung der Budgetgerade Nutzenfunktion ist nicht differenzierbar, zum Beispiel bei... ...unteilbaren Gütern (haben keine stetigen Indifferenzkurven) ...perfekten Komplementen (haben konvexe nicht differenzierbare Indifferenzkurven) ...streng konvexen, nicht differenzierbaren Indifferenzkurven

1. Nicht-konvexe Indifferenzkurven

oder streng monotone, konkave Präferenzen:

𝑝1

•

Für Güterbündel x, y und z gilt je: MRS = −

•

Bündel y liegt auf einer Indifferenzkurve mit niedrigerem Nutzenniveau (d.h. ist nicht optimal)

•

x und z sind Nutzenmaximierer (Mehrdeutigkeit)

𝑝2

9

2. Randlösung trotz streng konvexer Präferenzen hier: MRS ist immer flacher als Steigung der Budgetgeraden (d.h. es ist keine Gleichsetzung möglich und das Optimum muss an einem der beiden Ränder liegen) (Oft vorkommend bei quasilinearen Nutzenfunktionen) 3. Nicht differenzierbare Indifferenzkurven 3.1 Optimale Entscheidung bei unteilbaren Gütern Beispiel: z.B. Kühlschrank (Dinge, bei denen nur ein Kauf nötig ist) Indifferenzkurven besteht aus Punkten (nur deren Konsum ist möglich) →MRS nicht festzulegen (keine Differenzierbarkeit), aber grafische Analyse möglich 3.2 "Geknickte" Indifferenzkurve keine Differenzierbarkeit bei optimalem Punkt x vorhanden → nur grafische Analyse möglich 3.3 Perfekte Komplemente durch folgende, nicht differenzierbare Nutzenfunktion darstellbar: Oft ist a=b=1 nicht anwendbar, da perfekte Komplemente nicht zwingend im Verhältnis 1:1 konsumiert werden Optimum liegt immer an der Ecke der Indifferenzkurve, unabhängig vom Preisverhältnis (unabhängig vom Preisunterschied der Güter nimmt man immer ein bestimmtes Verhältnis) → keine MRS im Optimum Für a = b = 1 liegt die optimalen Güterbündel auf der Winkelhalbierenden Konsument fragt von beiden Gütern für diesen Fall immer die gleiche Menge nach → Optimalitätsbedingung: 𝑥1 = 𝑥2 4. Lineare Nutzenfunktion - perfekte Substitute Betrachtung perfekter Substitute mit der Nutzenfunktion u(𝑥1 , 𝑥2 )= 𝑥1 + 𝑥2 Gilt a=b=1, sind die Indifferenzkurven Geraden mit der Steigung -1 Drei mögliche Fälle: •

Budgetgerade ist steiler als Indifferenzkurve: Alleiniger Konsum vom billigeren Gut 2 (1)

•

Budgetgerade ist flacher als Indifferenzkurve: Alleiniger Konsum von billigerem Gut 1 (2)

•

Budgetgerade ist gleich steil wie Indifferenzkurve: Alle Konsumpläne auf Gerade sind Optima (3)

(1)

(2)

10

(3)

"Gutartige" Nutzenfunktionen Optimalitätsbedingung MRS = −

𝑝1

𝑝2

gilt bei streng konvexen Indifferenzkurven,

deren Steigung hinreichend "variabel" ist (Beispiel dafür: Cobb-Douglas-Nutzenfunktion) mit Einkommen vs. Mengensteuer Mengensteuer: gleiche Indifferenzkurve, die aber niedriger liegt = Steuereinnahmen (𝑥1 * mal Steuersatz) Achtung: Einführung der Steuer verändern Konsumenten ihr Verhalten → bei Berechnung des Konsumverhaltens Steuern beachten Einkommenssteuer: flachere Budgetgerade → höher liegende Indifferenzkurve → Mengensteuer ist im Modell ineffizient • •

Besserstellung aller Marktteilnehmer durch Einkommenssteuer (gleiche Steuereinnahmen, aber Besserstellung des Konsumenten) Erklärung: Bei Mengensteuer wird der Konsum von Gut 1 bzw. 2 gesenkt bzw. erhöht Bei Einkommenssteuer wird der "Verlust" durch die Steuer auf den Konsum beider Güter verteilt

→ Konsequenzen: keine alleinige Rechtfertigung der Tabak- oder Mineralölsteuer durch gewollte Steuereinnahmen, sondern durch Willen des Staates zur Konsumentenbeeinflussung (denn: Mengensteuer ineffizient und damit wirtschaftlich nicht zu rechtfertigen)

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