Wuolah free Tema 5 - gfhfhh PDF

Preview

Summary

gfhfhh...

Description

Tema-5.pdf

Beatriizsoriano Bioestadística 2º Grado en Medicina Facultad de Medicina Universidad de Sevilla

Reservados todos los derechos. No se permite la explotación económica ni la transformación de esta obra. Queda permitida la impresión en su totalidad.

TEMA 5. DISTRIBUCIONES DISCRETAS Y CONTINUAS.  I.

DISTRIBUCIONES DISCRETAS

A. DISTRIBUCIÓN DE BERNOULLI Bernoulli introduce una distribución denominada distribución de Bernoulli, que se obtiene al realizar el espacio muestral es Ω={e,f}. Por lo tanto, la variable aleatoria sólo toma dos valores que son 0 (fracaso) y 1 (éxito). A la probabilidad de obtener un éxito la denotamos por “p”, llamado parámetro de la distribución de Bernoulli y, por tanto, la probabilidad de obtener un fracaso, denotada por q, será igual a (1-p).  La distribución de Bernoulli, Be (p), al ser una variable discreta se caracteriza por su función de probabilidad o función que asocia a cada valor de la variable una probabilidad de ocurrencia de dicho valor. Si la probabilidad de éxito es p y la de fracaso 1-p=q, su función de probabilidad asociada será: P(X=0)=q=1-p P(X=1)=p La media define por: 𝜇 = ∑𝑥𝑖 · 𝑃(𝑋 = 𝑥𝑖 ) = 0 · 𝑞 + 1 · 𝑝 = 𝑝. Luego, la media de la variable aleatoria Bernoulli  es p. La varianza de una variable aleatoria discreta viene dada por: 𝜎 2 = ∑(𝑥𝑖 − 𝜇) 2 · 𝑃(𝑋 = 𝑥𝑖 ) = (0 − 𝑝) 2 · 𝑞  + (1 − 𝑝)2 𝑝 = 𝑝2 · 𝑞 + 𝑞2 · 𝑝 = 𝑝 · 𝑞[𝑝 + 𝑞] = 𝑝 · 𝑞. Por tanto, la varianza es p por q.   B. DISTRIBUCIÓN BINOMIAL El experimento aleatorio binomial se obtiene al repetir de forma independiente n veces el experimento de Bernoulli. Por lo tanto, se tiene: ➔ El experimento consiste en repetir n veces el experimento de Bernoulli. ➔ Cada vez que se realiza el experimento da un resultado que puede ser clasificado como un éxito o un fracaso (de ahí el nombre, binomial). ➔ Los resultados son independientes entre sí. La variable aleatoria binomial se define como: X=“número de éxitos al realizar n veces el experimento de Bernoulli”. Los valores posibles de la variable son x=0,1,2,…,n. Es decir, puede no observarse ningún éxito o puede obtenerse éxito las n veces que se realiza el experimento.  La distribución de probabilidad de la variable aleatoria X se llama Distribución Binomial de probabilidad, B (n, p) y se expresa mediante la siguiente fórmula:

 La media de una variable binomial es 𝜇 = 𝑛 · 𝑝. Es decir, es el producto del número de veces que el experimento se repite, por la probabilidad de éxito. La varianza de la binomial es igual a 𝜎2 = 𝑛 · 𝑝 · 𝑞. Es  decir, es el producto del número de veces que repetimos el experimento, por la probabilidad de éxito y por la probabilidad de fracaso.   

Elimina toda la publicidad por 4,95€. Hazte PRO.

Reservados todos los derechos. No se permite la explotación económica ni la transformación de esta obra. Queda permitida la impresión en su totalidad.

experimento de Bernoulli, experimento aleatorio con solo dos resultados posibles: éxito (e) y fracaso (f). Su

C. DISTRIBUCIÓN DE POISSON Una variable aleatoria X, que cuenta el número de veces que un determinado suceso ocurre en una unidad de tiempo o de espacio, sigue una distribución de Poisson. Entonces X será: X = ”número de sucesos que ocurre en una unidad de tiempo o espacio”. Por lo tanto, los valores que toma son 0,1,2,… La distribución de probabilidad de la variable aleatoria X se llama Distribución Poisson de probabilidad, P (

 La media de una variable Poisson es 𝜇 = 𝜆. Es decir, es el valor de su parámetro. La varianza de la Poisson es igual a 𝜎 2 = 𝜆. Es decir, es el valor de su parámetro.  La distribución de Poisson debe de cumplir los siguientes requisitos: ➔ La variable discreta X es el número de ocurrencias de un suceso durante un intervalo. ➔ El número de veces que ocurre un suceso durante la unidad de tiempo o espacio considerada es independiente del número de veces que ocurre dicho suceso en otra unidad. ➔ Las ocurrencias deben estar uniformemente distribuidas dentro del intervalo de tiempo o de espacio que se emplee. ¿Cómo identificamos una variable Poisson? 1. Número de sucesos ocurriendo en un intervalo de tiempo. 2. Número de sucesos ocurriendo en una porción de un medio. 3. Como aproximación de una distribución binomial. La distribución de Poisson se puede considerar como el límite al que tiende la distribución binomial cuando n tiende a ∞ y p tiende a 0, siendo np constante. En la práctica basta con que n≥20, p≤0,05 y np≤5. La aproximación se hace a una Poisson de parámetro λ=np. Es decir, las probabilidades de la B(n,p) se terminarán con una P(λ=np).  NOTA. Los cálculos se realizan mediante las tablas.  II.

DISTRIBUCIONES CONTINUAS

A. DISTRIBUCIÓN NORMAL La distribución normal, también llamada Gussiana o de Laplace-Gauss, es la distribución continua más importante, por la frecuencia con que se encuentra en la investigación y por sus aplicaciones teóricas. Está caracterizada por dos parámetros μ y σ . La función de densidad viene dada por:

 Dado que tanto μ como σ pueden asumir infinitos valores, es impracticable tabular las probabilidades para todas las posibles distribuciones normales. Para solucionarlo, se utiliza la distribución normal tipificada o estandarizada. Dada una variable de media μ y

Elimina toda la publicidad por 4,95€. Hazte PRO.

Reservados todos los derechos. No se permite la explotación económica ni la transformación de esta obra. Queda permitida la impresión en su totalidad.

λ ), y se expresa mediante la siguiente fórmula:

 La normal N(µ, σ) verifica lo siguiente: ➔ Entre la media y una desviación típica tenemos siempre la misma probabilidad: aproximadamente el 0,68 (68%). ➔ Entre la media y dos desviaciones típicas aproximadamente el 0,95 (95%). ➔ Entre la media y 3 desviaciones típicas aproximadamente el 0,99 (99%).  NOTA. Los cálculos se realizan mediante la tabla, si bien únicamente proporciona áreas por encima de un valor.  B. TEOREMA CENTRAL DEL LÍMITE Si una variable aleatoria Sn puede expresarse como suma de n variables aleatorias X1,X2,…,Xn independientes e idénticamente distribuidas con media μ y desviación típica σ, entonces bajo ciertas condiciones Sn=X1+X2+…+Xn sigue aproximadamente una distribución normal de media nμ y desviación típica σ √n , si n es suficientemente grande. Se aplica como: ➔ Aproximación a la normal de la distribución binomial (tiene un considerable valor teórico y práctico). Si X tiene una distribución B(n,p) con n≥20 y p>0,05 ó np>5, entonces, X se puede aproximar a una distribución 𝑁(𝑛𝑝, √𝑛𝑝𝑞). ➔ Aproximación a la normal de la distribución Poisson Si X tiene una distribución P(λ) con λ>5, entonces, X se puede aproximar a una distribución 𝑁(𝜆, √𝜆).                  Para el uso de las tablas ver uso  de tablas de Ana Fernández Palacín.

Reservados todos los derechos. No se permite la explotación económica ni la transformación de esta obra. Queda permitida la impresión en su totalidad.

desviación típica σ, se denomina valor tipificado z, de una observación x, al obtenido como:...