Wurzeln und Potenzen Übersicht PDF

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Wurzeln und Potenzen Übersicht...

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4. Potenzgesetze, Wurzelgesetze, Logarithmengesetze Potenzen a n=b n-te Potenz von a ∈R a n b

Basis Exponent ( n∈N ) Potenzwert

Potenzgesetze: ∗

a ,b ∈R, m ,n∈N∗

a n∗bn= a∗bn an a n a :b = n =  ,b ≠ 0 b b n

n

a n∗am =a nm n

a n−m , a ≠ 0,n≥m a :a = m =a a n

m

a n m= a m n =a n∗m −n 1 a⁰ =1 a = n a

, a≠0

Spezielle Basen:

0n =0 , n≠ 0

n

1 =1

Beispiel:



−3

4a b⁰ −1

x²y

−2



= 4a−3 b⁰x−2 y−2 =4−2 a⁶x⁴y−2 a⁶x⁴ = 16y²

abxy ≠0

ACHTUNG: Nur Potenzen mit gleicher Basis und gleichem Exponenten können bei Addition und Subtraktion zusammengefasst werden!

Beispiel: 3a n 2a n =5a n ,a ≠0 oder n 0

Vorzeichenregelung: a 2n=a2n 2n1 2n1 a  =a

−a 2n=a2n 2n1 2n1 −a  =−a ,n ∈Z, a 0

Wurzeln n

n∈N , a≥ 0,b ≥0

b= a a n b

n-te Wurzel aus einer nichtnegativen Zahl a ist die nichtnegative Zahl b

Radikand Wurzelexponent Wurzelwert (Wurzel)

ACHTUNG: 1) Für n=2,4,6,... bei a0 hat die Wurzel zwei reelle Lösungen ⇒ Vorzug für positive Lösungen für a ≥0  a²=∣a∣= a −a für a 0 3) Für n=1,3,5,... bei a≥0 hat die Wurzel eine eindeutige nichtnegative Lösung b≥0 4) Für ungerades n und a0, b>0, a≠b Z   a∓ b Z  a∓ b  Z Z = = = a−b N  a± b  a± b  a∓ b Alle Potenzgesetze gelten auch für reelle Exponenten! Logarithmen

c=logb a c b =a

a>0, b>0, b≠1

a ∈R , a  0 b ∈R , b0,b ≠ 1 c ∈R Beispiele: 2 x=16 2=logx 36

=>

FRAGE:

Warum ist nicht auch x=-6 eine Lösung?

x=4 x²=36 =>

x=6

=> c=logb a , b=-6 ≯ 0 −5=log2 x

2 =x => −5

x=

1 1 = 2⁵ 32

Logarithmengesetze: b0,b ≠ 1, x 0, y 0 log  x∗y  = log x + log y x log  = log x – log y y log a a =b logb 1= 0 logb b=1

a

log x = a∗log x 1 log n x = log x n

, a ∈R , n∈N

b

log10 a = lg a dekadischer L.

loge a = ln a natürlicher L.

Beispiele: 2 ab a³b² 3 =log  2  ab a³b² −log  c ac ² log 3  c ac ² 3 =log2log  a b loga³ log b²− log c−log ac  ² 1 1 =log2 log  ab 3log a 2 log b− logc − 2 log ac  3 2 1 log ab2 log a −b − log  a² −b²  2 = log ab  log  a−b ²− log a² −b² aba −b  ²  a²−b²  a−b  =log =log  a²−b²  a²−b² = loga − b  a² −b²  ACHTUNG: Man muss immer darauf achten, unter welchen Bedingungen diese Beziehungen gelten! Basisumrechnung: b0,b ≠ 1, d0, d≠1, a 0

a =b =>

logb a

logd a=logd b

nach Umstellung:

logb a

= logb a  logd b

log a logb a= d logd b

Die Basisumrechnung ist besonders nützlich, wenn b≠10,e , dann wird d = 10,e gesetzt....