Wyklad 1 druk PDF

Preview

Summary

wyklady...

Description

Plan prezentacji

Wprowadzenie

Mechanika teoretyczna

Rachunek wektorowy

Wykład 1: Statyka Działania na wektorach

Piotr Nazarko pnazarko.v.prz.edu.pl

Podstawowe pojęcia i zasady statyki

Rzeszów 2019

Warunki zaliczenia

Strona przedmiotu i karta modułu http://kmk.portal.prz.edu.pl/dydaktyka/budownictwo/mechanikateoretyczna/ WPROWADZENIE

Materiały pomocnicze i przykładowe zadania T. Filip, P. Nazarko, Mechanika teoretyczna. Statyka, OW PRz, 2013 P. Nazarko, T. Filip, Mechanics for civil engineers. Statics, OW PRz, 2015

Literatura pomocnicza

J. Leyko, Mechanika ogólna. J. Leyko, J. Szmelter, Zbiór zadań z mechaniki. M. Klasztorny, Mechanika. Statyka, Kinematyka, Dynamika. J. Misiak, Mechanika ogólna. J. Misiak, Zadania z mechaniki ogólnej. J. Nizioł, Metodyka rozwiązywania zadań z mechaniki. S. Kasprzyk, W. Łakota, K. Sobol, Mechanika teoretyczna.

Wstęp do mechaniki

Mechanika dzieli się na następujące działy: ◮ statyka — zajmuje się przekształcaniem układów sił w inne, równoważne układy oraz ustaleniem warunków równowagi układów sił, ◮ kinematyka — zajmuje się badaniem ruchu punktów materialnych i ciał sztywnych nie uwzględniając przyczyn tego ruchu, ◮ dynamika — zajmuje się badaniem ruchu punktów materialnych i ciał sztywnych analizując przyczyny wywołujące dany ruch.

Wektor zaczepiony

Wektor zaczepiony (związany z punktem) — do jego określenia potrzebne są:

RACHUNEK WEKTOROWY

◮ linia działania l ,    ◮ moduł a, |¯ a|, AB, AB , ◮ zwrot, ◮ położenie początku wektora A (punkt zaczepienia, lokacyjny).

Wektor związany z prostą

Wektor związany z prostą (ślizgający się po prostej) — do jego określenia potrzebne są: ◮ linia działania l , ◮ moduł a, ◮ zwrot.

Rodzaje wektorów swobodnych

Wektory równoległe to wektory, które mają ten sam kierunek w przestrzeni.

Wektor swobodny

Wektor swobodny — do jego określenia potrzebne są: ◮ moduł a, ◮ zwrot, ◮ kierunek równoległy do linii działania.

Rodzaje wektorów swobodnych (cd)

Wektory równe to wektory równoległe, które mają te same zwroty i równe moduły.

a¯ = b¯

a=b

Rodzaje wektorów swobodnych (cd)

Rodzaje wektorów swobodnych (cd)

Wektory przeciwne to dwa wektory równoległe, które mają równe moduły i przeciwne zwroty.

a¯ = −b¯

a¯ ≡ b¯

a=b

Wektory kolinearne to wektory, które leża na jednej prostej. Wektory komplanarne to wektory, równoległe do tej samej prostej. Wektor zerowy to wektor, którego moduł jest równy zero. Wektor jednostkowy (wersor) to wektor, którego moduł jest równy jedności. Wersorem wektora a¯ jest taki wektor e¯a , że: a¯ a

a¯ = a · e¯a

a=b

Rzut prostokątny wektora na prostą

Rodzaje wektorów swobodnych (cd)

e¯a =

Wektory równoważne to wektory równe mające wspólną linię działania.

ea = 1

Rzutem prostokątnym wektora AB na prostą l nazywamy wektor A′ B′ taki, że A′ jest rzutem prostokątnym punktu A na prostą l , a B ′ jest rzutem prostokątnym punktu B na prostą l .

al = a · cos α lub al = a¯·¯ el = a ·1·cos α = a ·cos α a¯l = al · e¯l

Przypadki szczególne (cd)

Przypadki szczególne

◮ gdy α = 0◦

◮ gdy α = 90◦

◮ gdy α > 90◦

al = a

al = 0

◮ gdy α = 180◦

Współrzędne wektora w układzie kartezjańskim a¯ = a¯x + a¯y + a¯z a¯ = ax i¯+ ay j¯+ az ¯k a¯ = [ax , ay , az ] gdzie: a¯x , a¯y , a¯z – składowe wektora a¯, ax , ay , az – współrzędne wektora a¯ w układzie x, y, z. a=

q

ax2 + ay2 + az2

ax = a · cos αx ay = a · cos αy az = a · cos αz cos αx = aax cos αy = aay cos αz = aaz cos2 αx + cos2 αy + cos2 αz = 1

al < 0

al = −a

Współrzędne wektora w układzie kartezjańskim (cd)

Współrzędna wersora dowolnego wektora a¯ równe są cosinusom kątów jakie ten wektor tworzy z osiami układu współrzędnych x, y, z. Uzasadnienie: a¯ = a e¯a

a¯ = axi¯+ ay j¯+ az k¯

a e¯a = ax i¯+ ay ¯j + az k¯ / : a e¯a = cos αxi¯+ cos αy j¯+ cos αzk¯

Suma wektorów

DZIAŁANIA NA WEKTORACH c¯ = a¯ + b¯ c=

Suma wektorów (cd)

p

a2 + b 2 + 2ab cos α

Własności działań (1): ◮ przemienność: a¯ + b¯ = b¯ + a¯

Suma wektorów (cd) Wektor sumy dwóch wektorów ma współrzędne równe sumom współrzędnych wektorów składowych. a¯ = ax i¯+ ay j¯ + az k¯ b¯ = bx i¯ + by j¯+ bz k¯ c¯ = a¯ + b¯ = cx ¯i + cy j¯+ cz k¯

Własności działań (2): ◮ łączność: ¯ + c¯ = a¯ + (b¯ + c¯) a¯ + b¯ + c¯ = (¯ a + b)

gdzie: cx = ax + bx cy = ay + by cz = az + bz

Mnożenie wektora przez skalar

Różnica wektorów

Iloczynem wektora a¯ przez skalar α nazywamy wektor ¯b kolinearny z wektorem a¯ i mający moduł b = α · a, a zwrot zgodny z wektorem a¯ gdy α > 0, a przeciwny gdy α < 0.

d¯ = a¯ − b¯ ¯ d¯ = a¯ + (−b)

a¯ − a¯ = ¯0

Aby od wektora a¯ odjąć wektor b¯ dodajemy do wektora a¯ wektor −b¯ (przeciwny do ¯b).

Mnożenie wektora przez skalar (cd) Własności wektora mnożenia przez skalar: ◮ α · a¯ = a¯ · α ◮ α · (β · a¯) = (α · β) · a¯ ◮ (α + β) · a¯ = α · a¯ + β · a¯ ¯ = α · a¯ + α · ¯b ◮ α(¯ a + b)

a¯ = ax i¯+ ay j¯+ az k¯ gdzie bx = α · ax

b¯ = bx i¯+ by ¯j + bz k¯ by = α · a y

bz = α · a z

Iloczyn skalarny wektorów Iloczyn skalarny dwóch wektorów jest skalarem równym iloczynowi modułów tych wektorów i cosinusa kąta zwartego między nimi. Można go zinterpretować jako iloczyn modułu jednego wektora i modułu rzutu drugiego wektora na kierunek pierwszego. a¯ · b¯ = a · b · cos α

Wektory a¯ i b¯ są liniowo zależne, jeśli α · a¯ = b¯ . Jeżeli trzy wektory a¯, ¯b , c¯ są komplanarne to każdy z nich może być przedstawiony jako kombinacja liniowa wektorów pozostałych, np.: a¯ = αb¯ + β c¯

ba = b · cos α a¯ · b¯ = a · (b · cos α) = (a · cos α) · b

ab = a · cos α

Iloczyn skalarny wektorów (cd)

Iloczyn skalarny wektorów (cd) Mnożąc wektory skalarnie mnożymy przez siebie odpowiednie współrzędne tych wektorów:

Własności iloczynu skalarnego: ◮ a¯ · b¯ = b¯ · a¯ ¯ · c¯ = a¯ · c¯ + b¯ · c¯ ◮ (¯ a + b)

a¯ · b¯ = ax ¯i + ay j¯+ az ¯k · bx ¯i + by j¯+ bz k¯ = 

Przypadki szczególne:

◮ α = 90◦ a¯ ⊥ b¯

a¯ · b¯ = a · b a¯ · a¯ = a2 a¯ · b¯ = 0 – jest to warunek prostopadłości dwóch wektorów. ¯ = −a · b a¯ · b

◮ α = 180◦



= a x bx + a y by + a z bz

¯ = (m a¯) · b¯ = a¯ · (m b¯) ◮ m(¯ a · b)

◮ α = 0◦

 

ponieważ ¯i · ¯i = j¯· ¯j = k¯ · k¯ = 1

¯i · ¯j = i¯· ¯k = j¯· k¯ = 0

Ciekawostka: Przykładem wielkości fizycznej definiowanej za pomocą iloczynu skalarnego jest praca mechaniczna W będąca iloczynem skalarnym siły F¯ i przemieszczenia r¯.

Iloczyn wektorowy wektorów (cd)

Iloczyn wektorowy wektorów Iloczyn wektorowy dwóch wektorów a¯ i ¯b jest wektorem prostopadłym do płaszczyzny wyznaczonej przez te wektory, o zwrocie zgodnym z regułą śruby prawoskrętnej i module równym iloczynowi modułów tych wektorów i sinusa kąta zawartego pomiędzy nimi.

c¯ = a¯ × b¯ = ax ¯i + ay ¯j + az k¯ × bx i¯+ by ¯j + bz k¯ = 

 ¯ i  = ax  bx

cx = ay bz − az by

¯j ay by





 k¯   az  = cx ¯i + cy j¯+ cz k¯  bz 

cy = az bx − ax bz

cz = ax by − ay bx

ponieważ a¯ × b¯ = c¯ c = a · b · sin α

b¯ × a¯ = −¯ c



i¯× ¯i = ¯j × j¯ = k¯ × k¯ = 0 ¯i × ¯j = ¯k j¯× k¯ = ¯i k¯ × ¯i = j¯ j¯× ¯i = − k¯ k¯ × ¯j = −i¯ i¯ × k¯ = −j¯

Iloczyn wektorowy wektorów (cd)

Iloczyn mieszany wektorów 



  Moduł iloczynu wektorowego c = a¯ × ¯b  można interpretować jako pole powierzchni równoległoboku o bokach długości a i b.

c = a · b · sin α h = b · sin α

stąd c = a · h

Własności iloczynu wektorowego: ◮ a¯ × b¯ = − b¯ × a¯

¯ × c¯ = a¯ × c¯ + b¯ × c¯ ◮ (¯ a + b) ◮ a¯ k b¯ ⇔ a¯ × b¯ = ¯0 – warunek równoległości dwóch wektorów

¯ · c¯ = V (±) (¯ a × b)

 a  x ¯ · c¯ = a¯ · ( b¯ × c¯) = bx (¯ a × b)  cx V to skalar równy objętości równoległościanu zbudowanego na ¯ c¯. wektorach a¯, b, h = c · cos α – wysokość równoległościanu   a¯ × b¯ to pole równoległoboku ¯ zbudowanego na wektorach a¯ i b.

ay by cy

V = 0 gdy: ◮ a¯ = 0¯ lub b¯ = ¯0 lub c¯ = 0¯ ◮ a¯ k b¯ lub a¯ k c¯ lub b¯ k c¯

Iloczyn wektorów

Trzy wektory są komplanarne jeśli iloczyn mieszany tych wektorów jest równy zeru – warunek konieczny i wystarczający.

PODSTAWOWE POJĘCIA I ZASADY STATYKI

Podwójny iloczyn wektorowy  b¯ c¯  a¯ × (b¯ × c¯) = b¯ · (¯ a · c¯) − c¯ · (¯ a · ¯b) =  ¯  a¯ · b a¯ · c¯ 



Wynikiem jest wektor leżący w płaszczyźnie wektorów ¯b i c¯.



az   bz   cz 

Siła (cd)

Siła Siła jest wielkością wektorową, wyraża wzajemne oddziaływanie ciał ◮ P = |P| – moduł (wartość)

Przykład siły – ciężar ciała G¯ jest siłą z jaką ziemia przyciąga ciało. G¯ = m · g¯ czyli G = mg gdzie: m to masa ciała, g przyśpieszenie ziemskie. Zatem podstawiając m = 1kg i g = 9, 81m/s 2 wynika, że ciężar ciała o masie jednego kilograma równy jest 9,81 N.

◮ ξ – prosta działania siły (kierunek) ◮ A – punkt zaczepienia (lokacyjny) ◮ zwrot siły

Jednostką siły w układzie SI jest Niuton: [N] = [ 1 kN = 1000 N

kg · m ] s2 6

1 MN = 1000 kN = 10 N

Modele ciał rzeczywistych ◮ Punkt materialny – ciało, którego wymiary można pominąć uważa się za punkt materialny, w którym skupiona jest masa. ◮ Ciało sztywne – jest to zbiór punktów materialnych o stałych odległościach między nimi; ciało sztywne jest zatem nieodkształcalnym ciałem stałym. ◮ Układ mechaniczny – jest to zbiór punktów materialnych, w którym położenie i ruch każdego z nich zależą od położenia i ruchu pozostałych punktów. ◮ Ciało swobodne – ciało, na które nie są nałożone żadne ograniczenia jego przemieszczenia (może dowolnie poruszać się w przestrzeni). ◮ Więzy – to warunki ograniczające ruch danego ciała.

Ciekawostka: przyjmuje się, że średnia wartość przyśpieszenia ziemskiego dla naszej szerokości geograficznej wynosi 9,81 m/s2 , natomiast największe wartości osiąga w okolicach bieguna.

Aksjomaty statyki (1)

Aksjomat 1: Dwie siły przyłożone do ciała sztywnego równoważą się wtedy i tylko wtedy, gdy działają wzdłuż jednej prostej, mają równe wartości i przeciwne zwroty (dwójka zerowa).

P = −P ′ P = P′

Aksjomaty statyki (2)

Aksjomaty statyki (2)

Siła działająca na ciało sztywne jest wektorem ślizgającym się wzdłuż jednej prostej.

Aksjomat 2: Działanie układu sił przyłożonych do ciała sztywnego nie ulegnie zmianie, jeżeli do niego dołączymy lub odłączymy układ zerowy (wzajemnie równoważący się). Wniosek wynikający z aksjomatów 1 i 2: działanie siły nie zmieni się, jeżeli punkt zaczepienia przeniesiony zostanie do innego punktu leżącego na linii działania tej siły (oznacza to, że siłę można przesunąć wzdłuż jej linii działania).

≡

P A

≡

!

P = −P ′ ≡

P = P′

P P P′ A B B

!

≡

P B

!

Siła działająca na ciało odkształcalne jest wektorem zaczepionym do określonego punktu.

Aksjomaty statyki (3)

Aksjomaty statyki (4)

Aksjomat 3 (dodawania, składania sił):

Aksjomat 4 (wzajemnego oddziaływania, akcji i reakcji):

Dwie siły P1 , P2 działające na punkt A można zastąpić siłą wypadkową W , będącą przekątną równoległoboku zbudowanego na wektorach sił P1 i P2 .

Każdemu działaniu towarzyszy przeciwdziałanie równe co do wartości, o przeciwnym zwrocie i leżące na tej samej prostej.

W =

q

P 12 + P22 + 2P1 P2 cos α

Uwaga: dotyczy to tylko punktu zaczepienia wektorów! Oczywiście wektory można przesunąć wzdłuż osi działania.

Aksjomaty statyki (5)

Aksjomaty statyki (6)

Aksjomat 5 (zasada uwalniania od więzów): Każde ciało nieswobodne można myślowo uwolnić z nałożonych więzów, zastępując ich działanie silami przenoszonymi przez te więzy, a następnie rozpatrywać jako ciało swobodne, znajdujące się pod działaniem sił czynnych i biernych (reakcji więzów).

Aksjomat 6 (zasada zesztywnienia): Równowaga sił działających na ciało odkształcalne nie zostanie naruszona przez zesztywnienie tego ciała, tzn. jeżeli ciało odkształcalne znajduje się w równowadze pod działaniem jakiegoś układu sił, to również będzie w równowadze ciało sztywne identyczne z poprzednim, pod działaniem tego samego układu sił. Uwaga: są sytuacje, w których zasadę zesztywnienia odrzucamy, np. gdy rozpatrujemy utratę stateczności.

Współrzędne wektorów sił Zadanie: Wyznacz współrzędne wektorów sił w układach przedstawionych na poniższych rysunkach. b) a)

Zadanie 1a

Zad. 1a: Rozwiązanie. P 1 = [0, 0, 2] P 2 = [0, −6, 0]

3 = 6N 5 4 = P3 ·sin α = ⊖10 · = −8N 5

P3y = P3 · cos α = 10 · P3z

P 3 = [0, 6, −8]

Zadanie 1b

Zadanie 1b Zad. 1b: Sposób 1.

Zad. 1b: Sposób 2. Px lx lx = ⇒ Px = ⊕ P = 4 P d d

P 4 = P4 · e AB e AB

AB = AB

AB = [2−0, 0−3, 6−0] = [2, −3, 6] p √ AB = 22 + 32 + 62 = 49 = 7   2 3 6 e AB = , − , 7 7 7   2 3 6 P 4 = 14· , − , = [4, −6, 12] 7 7 7

Zadanie 1b

Zad. 1b: Sposób 3. P4z = P4 · cos α = 14 ·

√ √ 13 = 2 13 7 √ 2 = P ′4 ·cos β = 2 13· √ = 4 13 √ 3 ′ = P 4 ·sin β = 2 13·√ = ⊖6 13 p √ d1 = 22 + 32 = 13

P4′ = P4 ·sin α = 14· P4x P4y

6 = 12 7

Py ly ly = ⇒ Py = ⊖ P = −6 d P d Pz lz lz = ⇒ Pz = ⊕ P = 12 P d d q d = lx2 + l y2 + l z2 = 7 m Uwaga: Gdy zauważymy, że moduł siły jest wielokrotnością długości przekątnej, wówczas od razu możemy podać współrzędne wektora mnożąc boki prostopadłościanu przez tę wielokrotność. Znaki współrzędnych ustalamy z rysunku!...