Zorzi e Sella 2018 - sviluppo tipico e atipico delle abilità numeriche preprint PDF

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Zorzi, M., Sella, F., Traiettorie di sviluppo tipico ed atipico della abilità numeriche di base. In: Disturbi del calcolo e dei numeri (a cura di A. Biancardi, E. Mariani, M. Peretti), Erickson, 2018.

Traiettorie di sviluppo tipico e atipico delle abilità numeriche di base Marco Zorzi1,2 e Francesco Sella3 1 Dipartimento

di Psicologia Generale, Università di Padova 2 IRCCS Ospedale San Camillo, Venezia-Lido 3 Department of Experimental Pscyhology, University of Oxford, UK

Riassunto. Le recenti ricerche sullo sviluppo della cognizione numerica hanno messo in luce una relazione tra senso dei numeri, inteso come abilità di percepire e manipolare internamente la numerosità, e successo in matematica. Nei disturbi dell’apprendimento della matematica, e in particolare nella discalculia, sono state osservate traiettorie di sviluppo atipico sia per le numerosità grandi (acuità numerica) che per quelle piccole (subitizing). A queste abilità di tipo non-simbolico e non-verbale si affiancano successivamente altre abilità di base che permettono di andare oltre il rudimentale senso dei numeri. Un passaggio fondamentale è l’acquisizione dei principi di cardinalità e di mapping spaziale dei numeri, che portano allo sviluppo di una rappresentazione numerica più matura ed adatta per l’apprendimento dell’aritmetica.

Nota: Questo capitolo riprende ed amplia i contenuti di “Senso dei numeri e discalculia” (di M. Zorzi) pubblicato in “Discalculia e altre difficoltà in aritmetica a scuola”, Ed. Erickson, 2017.

Introduzione L’apprendimento di competenze numeriche e matematiche è una componente essenziale dei programmi educativi. Nella società contemporanea una difficoltà nell’uso dei numeri risulta più invalidante di una scarsa alfabetizzazione, soprattutto nell’ambito lavorativo. Diagnosi ed intervento nelle difficoltà in matematica si basano sempre più sull’individuazione di deficit nelle abilità numeriche e aritmetiche di base, nonché delle disfunzioni dei sottostanti meccanismi neurocognitivi. In questo capitolo esamineremo lo sviluppo sia tipico che atipico delle abilità numeriche di base. La prima parte del capitolo si focalizza su abilità numeriche basali che hanno una natura pre-verbale e non-simbolica, un vero e proprio “senso dei numeri” che rappresenta le fondamenta su cui poggia l’apprendimento matematico e che dipende da circuiti neurali specializzati. Come vedremo in seguito, il senso dei numeri può essere compromesso nei bambini discalculici. Nella seconda parte vedremo come l’apprendimento di un sistema simbolico di rappresentazione numerica permetta di andare molto oltre il senso dei numeri. Un passaggio fondamentale è l’acquisizione dei principi di cardinalità e di mapping spaziale dei numeri, che portano allo sviluppo di una rappresentazione numerica più matura ed adatta per l’apprendimento dell’aritmetica.

Sviluppo tipico ed atipico del senso dei numeri Il senso dei numeri è la capacità di riconoscere la numerosità e di manipolarla internamente. Questa capacità è presente in numerosissime specie animali anche senza alcun addestramento. Le ricerche più recenti hanno studiato e confrontato queste capacità in varie specie e c’è consenso sul fatto che quanto meno tutti i vertebrati, scendendo fino ai pesci, possiedono delle rudimentali abilità numeriche (Agrillo et al., 2012; Cantlon e Brannon, 2006). Al contrario della lettura, che è un’invenzione culturale della specie umana, il senso dei numeri è il risultato dell’evoluzione e per questo si basa su specifici meccanismi neurali dedicati alla percezione della numerosità (Stoianov e Zorzi, 2012). Si accorda bene con questa prospettiva evoluzionistica l’osservazione che capacità simili a quelle animali si riscontrano a stadi precoci dello sviluppo umano, addirittura a poche ore dalla nascita. Questi studi hanno suggerito l’esistenza di due sistemi pre-verbali che ci permettono

di comprendere l’ambiente in termini di numerosità (Feigenson, Dehaene, e Spelke, 2004; Piazza, 2010). Il primo sistema non è specificamente numerico perché è quello che ci permette di mantenere in memoria le caratteristiche spazio-temporali di un numero limitato di stimoli, solitamente tra 3 e 4. Questo sistema, noto come Object Tracking System (OTS), viene impiegato quando dobbiamo enumerare un insieme di elementi e non ci viene concesso il tempo sufficiente per contarli. Se l'insieme che dobbiamo enumerare è piccolo, fino a 3-4 elementi, riusciamo a determinarne la numerosità in modo rapido ed accurato, un fenomeno noto come subitizing (Trick e Pylyshyn, 1994). Se la numerosità dell'insieme eccede i limiti dell’OTS allora dobbiamo necessariamente fornire una stima che, per definizione, sarà meno precisa. Il meccanismo di OTS sembra essere fortemente connesso alla memoria visiva a breve termine (Knops et al, , 2014) per questo motivo è considerato un sistema dominiogenerale che viene impiegato anche per l’enumerazione. E' interessante notare che la capacità di subitizing sembra essere ridotta in bambini con discalculia evolutiva (Schleifer e Landerl, 2011). Similmente, bambini con Sindrome di Down, che sono caratterizzati da notevoli difficoltà di apprendimento matematico, mostrano un grave deficit nel subitizing rispetto a soggetti a sviluppo tipico di pari età mentale (Sella, Lanfranchi, e Zorzi, 2013). Il secondo sistema, detto Approximate Number System (ANS), ci permette di cogliere le differenze in termini di numerosità oltre il limite del subitizing. Il compito più utilizzato per ottenere una misura oggettiva della funzionalità di ANS richiede di confrontare la numerosità di due insiemi di oggetti o più semplicemente di pallini (si veda la Figura 1) per decidere quale dei due è il più numeroso. L’aspetto visivo dei pallini cambia ad ogni prova (la disposizione spaziale è casuale e la dimensione è variabile in modo che non ci siano indizi percettivi riguardo alla numerosità degli stimoli) in modo che l’esecuzione di questo compito si possa basare solo su una rappresentazione astratta del numero. Se manipoliamo sistematicamente le numerosità da confrontare osserviamo che l’accuratezza è determinata dal rapporto numerico tra i due insiemi. Ad esempio, il confronto tra 8 e 12 oggetti è più facile di quello tra 8 e 10 perché nel primo caso il rapporto numerico è di 2:3 (8/12=2/3) mentre nel secondo caso è di 4:5 (8/10=4/5). Tanto più questo rapporto si avvicina ad 1 tanto più è difficile confrontare due quantità numeriche. Un’analisi più raffinata di questi dati permette di stimare un indice di discriminabilità tra due numerositá che, come per altre misure psicofisiche, è chiamato “frazione di Weber”. Questo indice (w)

rappresenta in modo sintetico l’acuità numerica di un individuo (Piazza et al., 2010; Halberda et al., 2008). Valori più piccoli di w indicano migliore discriminazione. L’ effetto del rapporto numerico è stato osservato anche negli studi su bambini, già nel corso del primo anno di vita. I neonati sono in grado di discriminare quantità numeriche con un rapporto di 1:3 (ad esempio 6 vs. 18; Izard et al., 2009) ma non un rapporto di 1:2. A sei mesi invece il rapporto 1:2 (6 verso 12 o 8 verso 16) diventa discriminabile (Xu e Spelke, 2000) e qualche mese dopo lo è anche il rapporto di 2/3. Questa maturazione continua attraverso tutta l’infanzia fino alla prima adolescenza (Halberda e Feigenson, 2008; Piazza et al., 2010). Va infine notato che la percezione di numerosità si manifesta anche quando gli oggetti vengono presentati uno ad uno, in modo sequenziale: questa abilità è stata riscontrata anche in bambini di due anni, ad un’età in cui non hanno ancora imparato a contare in modo verbale (Sella et al., 2016a). L’ acuità numerica non si limita a fornire una misura di efficienza del sistema ANS, ma si è rivelato predittivo del successo nell'apprendimento matematico (Halberda, Mazzocco, e Feigenson, 2008; Libertus, Feigenson, e Halberda, 2011; Mazzocco, Feigenson, e Halberda, 2011b; per una metanalisi si veda Schneider et al., 2016). La traiettoria di sviluppo tipico dell’acuità numerica può inoltre servire da riferimento per i bambini discalculici. Nel primo studio sull’acuità numerica condotto su bambini discalculici con età media di 10 anni abbiamo riscontrato un grave deficit rispetto ai coetanei non discalculici ed il valore medio di acuità numerica corrispondeva a quello di bambini di 5 anni (Piazza et al., 2010), quindi con un ritardo quantificabile in 5 anni rispetto alla traiettoria di sviluppo tipico (figura 1). Inoltre l’acuità numerica correlava con la prestazione in varie prove della batteria per la valutazione della discalculia, in particolare con quelle che misurano la semantica del numero (manipolazione di quantità numeriche e calcolo mentale complesso), nonostante il fatto che tutte queste prove si basassero sull’utilizzo di numeri arabici o parole-numero mentre il test di acuità numerica fosse non-simbolico e non-verbale. L’osservazione di deficit di acuità numerica nella discalculia è stata replicata in numerosi studi (ad es. si veda Mazzocco, Feigenson, e Halberda, 2011a). E’ stato inoltre osservato che i discalculici sono particolarmente in difficoltà nelle prove in cui la numerosità è incongruente con indizi visivi non numerici, ad esempio quando l’insieme più numeroso è composto da oggetti più piccoli di quelli che formano l’insieme meno numeroso (Budgen e Ansari, 2016). Questi risultati sono in accordo con l’ipotesi che il confronto di numerosità

implichi processi inibitori (Cappelletti, Didino, Soianov e Zorzi, 2014; Stoianov e Zorzi, 2017).

Figura 1: Il confronto di numerosità. A sinistra una prova del test di acuità numerica, in cui il bambino deve indicare quale dei due cerchi contiene più pallini. Il grafico a destra mostra l’acuità numerica di un gruppo di bambini discalculici rapportato alla traiettoria di sviluppo tipico (adattato da Piazza et al., 2010).

Oltre il senso dei numeri: dalle parole numero al principio di cardinalità La percezione della numerosità ci fornisce una rappresentazione approssimata ed intuitiva della grandezza numerica, ma gli esseri umani hanno inventato sistemi simbolici di rappresentazione (quelli a noi più familiari sono i numeri arabi e le parole numero) che servono a quantificare in modo esatto. Senza questa invenzione culturale non saremmo in grado di comprendere che 23 e 24 sono due quantità differenti tanto quanto lo sono 3 e 4 (Zorzi e Butterworth, 1999) e non potremmo manipolarle attraverso algoritmi di calcolo. Il conteggio rappresenta il collegamento fra le capacità innate pre-verbali ed il sistema numerico culturalmente determinato. Secondo Gelman e Gallistel (1978) per contare correttamente devono essere rispettati tre principi del conteggio: 1. Ordine stabile, le parole-numero devono essere ordinate secondo una sequenza fissa e inalterabile; 2. Corrispondenza biunivoca, ad ogni elemento dell'insieme contato deve corrispondere una sola parola-numero;

3. Cardinalità, l'ultima parola-numero utilizzata nella conta indica la numerosità dell'insieme. L'acquisizione del principio di cardinalità è particolarmente imporante perché denota lo stadio finale dello sviluppo delle abilità di conteggio. Uno dei compiti maggiormente utilizzati per valutare le capacità di conteggio è la prova Give-anumber (GaN; Wynn, 1990, 1992). Il compito é presentato come un gioco in cui il bambino deve dare da mangiare ad un pupazzo mettendo una certo numero di oggetti in un piattino. Solitamente il cibo è rappresentato da oggetti identici e facilmente manipolabili come dei tappi di bottiglia. Ad esempio, lo sperimentatore chiede al bambino di dare 3 banane (i tappi di bottiglia) ad una scimmietta di peluche. Appena il bambino ha finito di dare il cibo, lo sperimentatore chiede al bambino di confermare che la numerositá sia quella richiesta ("Sono tre banane queste?"). In caso di conferma si passa alla numerositá successiva, altrimenti viene data la possibilitá al bambino di modificare l’insieme. La somministrazione di questo compito a bambini prescolari, solitamente tra i 2 ed i 5 anni di etá, ha evidenziato che lo sviluppo delle capacità di conteggio passa attraverso una serie di stadi definiti. I bambini piú piccoli non conoscono il significato delle parole numero e quindi, quando viene richesta una certa numerosità, mettono nel piattino una manciata di tappi oppure tutti i tappi a disposizione. I bambini in questa fase vengono definiti "pre-numerical-knower" o "0knower" perché non hanno ancora creato una connessione tra le parole-numero e le numerosità corrispondenti. Successivamente, i bambini comprendono il significato di "uno", quindi sanno dare correttamente uno oggetto quando richiesto. Tuttavia, i 1knower forniscono numerositá errate quando vengono richieste numerosità maggiori (es., cinque). Similmente, bambini che raggiungono il livello di 2-knower sanno dare correttamente un oggetto e due oggetti quando vengono richiesti ma sbagliano con numerosità più grandi. Successivamente, i bambini passano dallo stadio di 3-knower e da quello di 4-knower. Arrivati allo stadio di 4-knower i bambini comprendono che aggiungere un oggetto all'insieme si lega alla successiva parola-numero nella sequenza numerica (n+1). I bambini che hanno raggiunto questo livello vengono definiti cardinal-principle-knowers (CP-Knower) in quanto mostrano di aver esteso il principio di cardinalità a tutti i numeri che conoscono. I bambini negli stadi predenti (da 1-knower a 4-knower), invece, vengono definiti Subset-knowers perché la loro conoscenza del significato cardinale delle parole numero è limitata ad un sottoinsieme della stringa numerica.

I livelli di conoscenza individuati da Wynn sono stati confermati anche da altre ricerche successive. In figura 2 si può osservare la distribuzione dei livelli di knowerlevel in un campione di bambini prescolari italiani (Sella, Lucangeli & Zorzi, 2017). Sarneka e Carey (2008) hanno evidenziato come, nello svolgere il compito, i bambini commettano due principali tipologie di errore: errori di esecuzione o errori per supposizione. I primi sono essenzialmente errori nella procedura del conteggio che si verificano nonostante il bambino conosca il significato cardinale della parola-numero richiesta. Gli errori di esecuzione tendono ad essere vicini alla numerosità richiesta e ad aumentare quando vengono richieste numerosità alte (es. 10). Le supposizioni, invece, si manifestano quando il bambino non conosce il significato cardinale della parola-numero e cerca di indovinare la numerosità richiesta. Le supposizioni sono gli errori solitamente commessi dai Subset-knowers i quali cercano di indovinare la numerosità corrispondente ad una parola numero che è al di fuori del loro livello di conoscenza.

Figura 2. Il compito Give-a-Number viene utilizzato per indagare lo sviluppo delle abilità di conteggio, qui evidenziato dalla relazione tra accuratezza nel compito ed età, e permette di classificare ciascun bambino secondo il knower-level (dati su bambini italiani da Sella et al, 2017).

Saper contare correttamente é un requisito cruciale per lo sviluppo delle successive capacità numeriche e matematiche. Uno studio condotto su bambini prescolari ha dimostrato come l'abilità di conteggio misurata con il GaN sia un potente mediatore fra le capacità numeriche innate e l'apprendimento matematico (van Marle, Chu, Li, e Geary, 2014). Le capacità di conteggio misurate alla scuola dell'infanzia con il GaN sembrano essere significativamente correlate alle prime competenze aritmetiche anche controllando statisticamente l'effetto dell'età (Soltész, Szucs, e Szucs, 2010). Inoltre, compiti che misurano il conteggio possono essere utilizzati come prove di screening per individuare tempestivamente bambini con difficoltà e/o disturbo del calcolo (Desoete, Ceulemans, Roeyers, e Huylebroeck, 2009). Nel panorama italiano, il contare correttamente numerosità fino a 5 ed il possesso del principio di cardinalità sono considerati prerequisiti minimi fondamentali che i bambini dovrebbero possedere al termine della scuola dell'infanzia (Consensus Conference, 2007). E' per questo fondamentale adottare una prova che possa misurare in maniera efficace il conteggio e la comprensione del principio di cardinalità.

Oltre il senso dei numeri: dai numeri arabi al principio di mapping spaziale Utilizzare una rappresentazione simbolica comporta una ristrutturazione concettuale del modo in cui pensiamo ai numeri. Nei compiti in cui stimiamo la numerosità di insiemi di oggetti la quantità numerica è approssimata ed intuitiva, mentre in un sistema simbolico le quantità sono esatte e valgono una serie di proprietà formali che caratterizzano i numeri naturali. Una proprietà importante è che la distanza tra un certo numero (N) ed il suo successore (N+1) è sempre uguale, indipendentemente da quanto grande è il numero. Questo è il tipo di rappresentazione che serve anche per l’aritmetica (Zorzi e Butterworth, 1999; Zorzi, Stoianov, e Umiltà, 2005). Il confronto di numeri arabi è il compito più utilizzato per studiare il sistema simbolico di rappresentazione dei numeri e la comprensione della quantità numerica. Viene presentata una coppia di numeri, per esempio 4 e 6, e il bambino deve indicare il numero più grande (nel nostro esempio il 6). Esistono diverse varianti di questo compito, ma in generale si osserva un effetto della distanza numerica che assomiglia molto a quello precedentemente illustrato in relazione al rapporto numerico. In

questo caso non osserviamo grandi differenze di accuratezza nei bambini con sviluppo tipico ma una forte modulazione della velocità di risposta; perfino gli adulti sono più rapidi nel giudicare che 6 è più grande di 4 piuttosto che giudicare che 6 è più grande di 5 e sono ancora più rapidi a dire che 6 è più grande di 2. In generale, più due numeri sono vicini più il compito risulta difficoltoso, un fenomeno noto come “effetto distanza” (si veda Zorzi, 2004, per ulteriore discussione). L’ effetto distanza diventa progressivamente meno forte all’aumentare dell’età nei bambini della scuola primaria (Lucangeli et al., 2006). Si ritiene che questo indichi un miglioramento di precisione della rappresentazione numerica. Come per l’acuità numerica, anche l’effetto distanza correla con le abilità matematiche (Holloway e Ansari, 2009). I soggetti discalculici hanno un’accuratezza più bassa e tempi di risposta maggiori rispetto ai soggetti di pari età senza discalculia (Landerl e Butterworth, 2004; Rouselle e Noel, 2006). Inoltre l’effetto distanza è più forte rispetto al gruppo di controllo (Ashkenazi et al., 2009). La rappresentazione dei numeri è anche caratterizzata da una natura visuospaziale, spesso riassunta nella metafora della “linea numerica mentale”. Questa è una linea immaginaria in cui i numeri sono disposti su una linea orizzontale, ordinati per grandezza crescente lungo la direzione da sinistra verso destra (Dehaene et al., 1993; Zorzi et al., 2002). Già nel periodo prescolare i bambini mostrano la capacità di mettere in corrispondenza i numeri con una linea fisica orizzontale ed il modo in cui lo fanno è diagnostico della qualità della rappresentazione numerica mentale. Il compito utilizzato prevede di presentare una linea su un foglio con il numero 0 all’estremità sinistra della linea e un numero più grande (20, 100 o 1000) che definisce l’intervallo numerico all’estremità destra (figura 3). Viene chiesto al bambino di posizionare alcuni numeri facendo un segno a matita su dove pensa che il valore possa cadere. I bambini più piccoli non posizionano i numeri in modo lineare ma dedicano maggiore spazio sulla linea ai numeri piccoli dell’intervallo e minore spazio a quelli più grandi. Si osserva quindi una compressione dei numeri verso il lato destro della linea, come in una scala logaritmica. Questo mapping si modifica radicalmente non appena i bambini acquisiscono familiarità con l’intervallo numerico. Ad esempio, i bambini della seconda classe della scuola primaria sono lineari sull’intervallo 0-100 ma sono ancora logaritmici sull’intervallo 0-1000 (Berteletti et al., 2010; Siegler & Opfer, 2003) e raggiungono la linearità nel corso dei due anni successivi. Si noti che la linearità nella ...