Zusammenfassung - Vorlesung - Transformationsmatrizen und Basiswechsel PDF

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Transformationsmatrizen und Basiswechsel...

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Transformationsmatrizen und Basiswechsel Wir betrachten nun einen Spezialfall der Darstellungsmatrizen: . (Diese Dazu sei und die Abbildung : gegeben durch Identitätsabbildung bildet also jeden Vektor auf sich selbst ab.) Wir bilden als von einem Vektorraum in diesen selber ab. Dies nennt man auch einen Endomorphismus. Definition: Sei V ein endlich dimensionaler K-Vektorraum, und seien zwei Basen von V. Dann heißt : ( ) dim die , ( ) [quadratische Matrix], Transformationsmatrix des Basiswechsels von

nach

.

Beispiel: Gegeben sei der Vektorraum der euklidischen Standardebene Weiterhin seien die beiden Basen gegeben: 1   0 ( 1, 2 ), wobei 1   , 2   0 1 

ℝ² .

 1  1 (  ,  )  1  1  Nun wollen wir rechnerisch die Transformationsmatrix bestimmen, also den Basiswechsel zwischen den beiden Basen. Basiswechseln von B nach E: Wir stellen dazu die Vektoren der Basis B als Linearkombination der Basis E dar. Also: 1  1 1 1 2 1:   1  1

 1 :   1 

1

1

1

2

Damit lautet die Transformationsmatrix

1  1

1 . 1 

Basiswechseln von E nach B: Wir stellen dazu die Vektoren der Basis E als Linearkombination der Basis B dar. Also: 1 1 1 1 :   1 2 2  0 2 1

0 :   1 

1 2

1

1 2

2

Damit lautet die Transformationsmatrix

     

1 2 1 2

1 2 .  1  2

Es gibt noch weitere wichtige Sätze zu einer Transformationsmatrix: Im Folgenden Seien A, B, C drei Basen eines K-Vektorraums V. Mit Hilfe der Kettenregel kann man zeigen, dass

gilt.

Insbesondere gelten die folgenden Formeln:

und

Eine Transformationsmatrix ist also immer invertierbar und es gilt (

. )1

.

Allgemein zum Basiswechsel: Sei

eine lineare Abbildung zwischen endlich dimensionalen K-Vektorräumen.

:

Seien A, A‘ Basen von V und B, B‘ Basen von W. Dann gilt

' '

( )

'

( )

'

.

Wir führen weitere Beispiele an: Wir wollen den Standardvektorraum der Dimension 3 betrachten. Dabei sei  1   2   0       ( 1 ,  2  ,  1  ) eine Basis. Weiterhin sei die kanonische Einheitsbasis gegeben.  2   4  0       Wir berechnen die Basiswechselmatrizen und . Bevor man wild drauf losrechnet, sollte man sich erstmal überlegen, welche Transformationsmatrix wir zuerst berechnen wollen. Da bietet sich natürlich an, denn dort können wir die Basisvektoren aus B ganz leicht als Linearkombinationen der Einheitsbasis darstellen. Hier ist kein Rechnen erforderlich:

1     1 1 2    2  2  2    4   0 1  0   0  

1

1

2

1

1

1

Also ergibt sich:

2

2

4

2

2

3

0

3

3

1  1  2 

2 0 2 1  4 0 

Die Basiswechselmatrix

kann auf zwei Arten berechnet werden:

1. Möglichkeit: Wir stellen die Vektoren aus E als Linearkombination der Basisvektoren aus B dar. Dies führt aber auf die Untersuchung dreier linearer Gleichungssysteme, die wir mit dem Gauß-Algorithmus lösen müssten. Denn durch bloßes Hinschauen gelingt man wohl eher nicht an die Lösung. Da dies aber zu umständlich ist, schlagen wir einen einfacheren und kürzeren Weg ein, bei dem die Gefahr des Rechenfehlers nicht so groß erscheint, wie bei der ersten Möglichkeit. 2. Möglichkeit: Jede Basiswechselmatrix (Transformationsmatrix) ist invertierbar und es gilt (siehe „Sätze zu Transformationsmatrizen“)

(

)

1

 1 2 0   Wir brauchen die Matrix  1 2 1  also nur zu invertieren. Dies machen wir nach 2 4 0   dem in der Vorlesung bekannten Algorithmus:  1 2 01 0   1 2 10 1 2 4 00 0  1 2 0 1  0 8 0 2 0 0 2 0 

Damit ist

0  0 1  0 0 2

1 2 0  1 4 0 0 1 

1  0 0  0  1 1 

0 0  1 2   1 0  0 4 0 1   0 0 0 02 0 1  1   8 0 2 0 1  0 0 20 2 1  0

2 01 4 11 8 0 2 4  0 0 

14   1 8 . 1 2 

0 0  1 0 2 1  0 01 2 0 1 01 4 0 0 10 1 01 11 20

14   1 8 1 2 

Eine weitere Aufgabe: Sei

ℚ³ und sei

Standardbasis von

1   0   0  ( 2  , 1  , 1  ) eine Basis von V. Weiterhin sei  3   2  1       

( 1, 2 , 3 ) die

ℚ³ .

Wir berechnen die Transformationsmatrizen

und

.

Hier verfährt man analog wie oben. Die Basiswechselmatrix (Transformationsmatrix) angegeben werden:

kann direkt ohne Nachzudenken

1 0 0   2 1 1 3 2 1   ( ) 1 berechnen, aber da wir dies schon oben getan haben, wollen wir noch einmal den umständlichen Weg zeigen. Wir stellen also die Vektoren der Basis E als Linearkombination von den Basisvektoren aus B dar. Dies führt auf insgesamt drei lineare Gleichungssysteme, die wir mittels des Gauß-Verfahren lösen wollen.

Nun können wir

1  1       0  2  0      3  1 0 0 1    2 1 1 0  3 2 1 0  

wieder über

 0  0     1  1  2      1 1 0 01     0 1 1 2  0 2 1 3  

Hieraus ergibt sich

1 0  0 1 0 0 

1 ⇒

0 1   1 2 1 1 

1 ⇒ 1.

Analog ergibt sich entsprechend:

 0 1 1   2      0      3  1 0 0 0    2 1 1 1  3 2 1 0   ⇒ 2 1

 0  0 1  1       2     1  1 0 0 0    0 1 1 1  0 2 1 0   ⇒ 0

1 0  0 1 0 0 

0 0   1 1  1 2

Und zu guter letzt:

 0 1      0  2 1       3  1 0 0 0    2 1 1 0  3 2 1 1   1 ⇒ 1

 0   1    2

 0    1   1   1 0 0 0    0 1 1 0  0 2 1 1   ⇒ 0

1 0  0 1 0 0 

0 0  1 0 11 

Also erhalten wir:

1   1  1 

0 1 2

0  1 1

Nun sollte alles klar sein. Oder? Dann können wir ja weitermachen.

Sei

:

gegeben durch die Darstellungsmatrix

Wir berechnen die Matrix

( )

 1 0 0 0 1 0 .    0 0 2  

( ).

Dies machen wir mit der „Basismatrizenwechselformel“ ( ) ( ) . Dazu müssen wir einfach nur zwei Matrizenprodukte ausrechnen und sei dem interessierten Leser als Übungsaufgabe auferlegt. Wir geben die Rechnung trotzdem mal an:

( )  1 ( )  1  1 

( ) 0 1 2

0  1 0 0 1 0 0  1    1   0 1 0 2 1 1  1    1  0 0 2  3 2 1  1

0 1 2

0  1 0 0  2   2 1 1  3 2 1 2 

 1  5    1

0 0 3 1 2 0...