01 A Matrices Sumatoria PDF

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MATRICES...

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MATRICES 

m× ×n

Una matriz A real es una ordenación rectangular de m×n números pertenecientes al campo  ( A ∈m×n ); dispuestos en m filas y n columnas. a12 ⋯ a1 j a22 ⋯ a2 j ⋮ ⋱ ⋮ ai 2 ⋯ aij ⋮ ⋱ ⋮ a m2 ⋯ a mj

 a11 a  21  ⋮ A =  ai 1  ⋮   a m1 

⋯ a1n   ⋯ a2n  ⋱ ⋮   = (aij ) = (aij )m×n ⋯ ain  ⋱ ⋮   ⋯ a mn 

Un elemento general aij de A es un elemento de la i-ésima fila y la j-ésima columna. La dimensión de una matriz de m filas y n columnas es m×n, que se lee “m por n”. Una matriz Am×n se escribe también como A = (aij ) y la dimensión puede indicarse escribiendo A = ( aij ) m n . × IGUALDAD Sean A = ( aij ) y B = ( bij ) matrices de tamaño m×n, entonces: 

A = B ⇔ a ij = bij

,

1≤ i ≤m 1≤ j ≤n

ADICIÓN Sean A, B matrices de tamaño m×n, entonces A + B se define así: 1≤ i ≤m , (A +B )ij =a ij +b ij 1≤ j ≤n PRODUCTO POR ESCALAR Sean A una matriz de tamaño m×n y k ∈ , la matriz kA es: 1≤i ≤m ( kA )ij = kaij , 1 ≤ j ≤n Fácilmente se verifican las leyes de espacio vectorial:  m×n y sus elementos son vectores. TRASPOSICIÓN T

:  m×n → n×m A ֏ AT

Definida así:

(A ) T

= aji ij

,

1 ≤ i ≤ n ← columnas de A 1 ≤ j ≤ m ← filas de A

TRAZA tr :  n× n →  A ֏ tr ( A) n

Definida así:

tr (A ) = a11 + a 22 +…+ a nn = ∑ a ii i =1

Matrices - Sumatoria

1

SUMATORIA Sea a :  →  i ֏ ai Se define sumatoria de una función de ai desde i = m hasta i = n ( m , n ∈  ) así:

 am + am +1 + am +2 + …+ an  ai ≜  am ∑ i=m  0  n

mn

Donde: m = limite inferior n = limite superior i = índice de sumación ∑ = símbolo de sumatoria (sigma) A partir de ahora tomaremos m =1 , en consecuencia: La suma de n términos a1 , a2 , …, an será representada por: n

a1 +a2 +… +an = ∑ ai i=1

SUMATORIAS NOTABLES Se deja como ejercicio probar que: n



∑ ri = i =1 n



n rn +1 −r r (r −1 ) = r −1 r −1

1

∑ i = 2 n( n+ 1 ) i =1 n



∑i

2

i =1 n



∑i

3

i =1

1 = n ( n + 1 )(2n + 1 ) 6 =

1 2 2 n (n + 1) 4

Ejemplo: Probaremos la segunda sumatoria n

∑i ≜ 1 + 2 + 3 +… + n i= 1

Gauss encontró el valor de la sumatoria anterior en función de n operando como se muestra: S n = 1 + 2 + … + (n − 1) + n Sn =

n

+ (n − 1) + … +

+

2

1

la suma en  es conmutativa, entonces sumando m. a m.

2Sn = (n + 1)+ (n + 1) + … + (n + 1) + (n + 1)   n sumandos

2Sn = n ( n + 1) ⇒

1 S n = n (n + 1) 2

Ahora: n

1

∑i = 1 + 2 + 3 +… +n = 2 n (n + 1) i =1

Matrices - Sumatoria

2

PROPIEDADES S1: Propiedad Aditiva n

∑ (a

en 

k

+ bk ) ≜ (a1 + b1 )+ (a 2 + b2 )+ …+ (a n + b n ) =

k =1

n

n

k=1

k =1

= ( a1 + a2 +… + an ) +( b1 + b2 +… + bn ) = ∑ ak + ∑ bk n

n

n

∑(a + b ) = ∑ a +∑ b

⇒

k

k

k

k= 1

k= 1

k

k=1

La sumatoria de una suma es igual a la suma de las sumatorias. S2: Propiedad Homogénea en 

n

∑ ha

k

k =1

n

≜ ha1 + ha 2 +… + han = h (a 1 + a 2 +… + an ) = h∑ ak k =1

n

∑ha

⇒

n

k

k= 1

= h ∑a k k=1

Una constante en una sumatoria puede salir de la misma, o también entrar. OBSERVACIÓN Automáticamente vale la Propiedad Lineal n

S1 n

n

n

n

k =1

k =1

k =1

⇒

∑(αa

S2

∑ (α ak + β bk ) = ∑α ak + ∑ β bk =α ∑ ak + β ∑ bk k =1

k =1

n

k= 1

k

n

n

k= 1

k= 1

+ β bk ) = α ∑ak + β ∑bk

La sumatoria de una combinación lineal es igual a la combinación lineal de las sumatorias. S3: Independencia del Orden de Sumación

Por ejemplo: 2

3

2

∑∑ a = ∑ ( a ij

1j

j=1 i =1

j=1

+ a2 j + a3 j ) =( a11 + a21 + a31 ) + ( a12 + a 22 + a 32 ) =

en 

3

3

2

= ( a11 + a12 ) + ( a 21 + a 22) + ( a 31 + a 32) = ∑ ( ai 1 + ai 2) =∑∑ aij i =1

⇒

2

3

i =1 j =1

3

2

∑∑ a = ∑∑ a ij

j=1 i=1

ij

i=1 j=1

OBSERVACIÓN Sumatoria de una constante n



∑ h ≜ h +h +… +h = h (n −m +1 )

k =m

Si m = 1 : n



∑ h ≜ h+ h +… + h = n⋅ h k =1

Matrices - Sumatoria

3

APLICACIONES DE LA SUMATORIA AL ÁLGEBRA MATRICIAL PRODUCTO DE MATRICES Ejemplo 1: Producto de dos matrices.

Sea A = (a ij ) una matriz de m × n , y sea B = ( bij ) una matriz de n × p . Entonces el producto de A y B es una matriz de m × p , C = ( c ij ) , en donde: c ij = ( fila i de A )  ( columna j de B ) = A i B (j )

(1.1)

Es decir, el elemento ij de AB es el producto punto de la fila i de A y la columna j de B. Si esto se extiende, se obtiene: c ij = a 1i b1 j + a i2b2 j + ⋯ + a ikb kj +⋯ + a inb nj

(1.2)

Si el número de columnas de A es igual al número de filas de B, entonces se dice que A y B son compatibles bajo la multiplicación. columna j de B

 a11   a21  ⋮  fila i de A →  ai 1  ⋮   a m1

a12 a22 ⋮ ai 2 ⋮ a m2

⋯ a1n  ⋯ a2n   b11 ⋱ ⋮   b21  ⋯ ain   ⋮  ⋱ ⋮   bn1  ⋯ a mn 

↓



b12 ⋯ b1j ⋯ b1p  b22 ⋯ b2j ⋯ b2p  ⋮ ⋱ ⋮ ⋱ ⋮   bn2 ⋯ bnj ⋯ bnp 

Observación: Los vectores fila y columna sombreados deben tener el mismo número de componentes. Introduciendo la notación de sumatoria podemos decir que:

( AB) ij = Ai B ( j ) = ( ai 1

ai 2 ⋯ aik

⇒

 b1 j  b   2j  n  ⋮  ⋯ ain )   = ai 1b1 j + a i 2b 2j +…+a ikb kj + … +a inb nj = ∑a ikb kj  b kj  k =1  ⋮     b nj    n

( AB )ij = ∑a ikb kj

(*)

k =1

 PRODUCTO DE MATRICES: PROPIEDADES Ejercicio: Mediante sumatoria demuestre las propiedades del producto de matrices (asociativa, bilineal, elemento neutro, versus transposición) • Propiedad asociativa para el producto de matrices

Sea A = (a ij ) una matriz de m ×n , B = ( b ij) una matriz de n × p y C = (cij ) una matriz p ×q . Entonces la propiedad asociativa

( AB )C = A (BC )

(1.3)

se cumple y ABC , definida por cualesquiera de los lados de la ecuación (1.3), es una matriz de n × q . La prueba de este teorema no es difícil, pero es laboriosa. Se desarrolla mejor usando la notación de sumatoria. Matrices - Sumatoria

4

Demostración:

Como A es de m × n y B es de n × p , AB es de m × p . Entonces (AB )C = (m× p )× ( p × q ) es una matriz de m × q . De manera similar, BC es de n ×q y A( BC ) es de m ×q de manera que ( AB )C y A ( BC ) son ambas del mismo tamaño.  ( A m× nB n× p ) C p× q  = A m× n(B n× pC p× q )  m× p n× q  m× p   m× p 

Debe demostrarse que la componente ij de (AB )C es igual a la componente ij de A ( BC ) . (*) p (*) p  n  ( AB) C ij = ∑ ( AB) il clj = ∑ ∑ aik bkl c lj = l =1 l =1  k =1  p

n

S3 n

p

= ∑∑ aik bkl clj = ∑∑ aik bkl clj l =1 k =1

k =1 l =1

(*)   n = ∑ a ik  ∑ b klc lj  = ∑a ik (BC ) kj = A (BC ) ij  l =1  k =1 k =1 n

p

Así, la componente ij de ( AB )C es igual a la componente ij de A (BC ) . Esto completa la 

demostración de la propiedad asociativa. • Propiedades distributivas para el producto de matrices Si todas las sumas y todos los productos siguientes están definidos, entonces A( B + C ) = AB + AC

Distributiva a izquierda

(1.4)

( A + B) C = AC + BC

Distributiva a derecha

(1.5)

y Demostración: Se demuestra la primera propiedad distributiva [relación (1.4)]. La demostración de la segunda [ecuación (1.5)] es idéntica y por lo mismo se omite. Sea A una matriz de m × n y sean B y C matrices de n × p . 1°) Analizamos la dimensión de los productos:  Am× n ( Bn× p + Cn× p )  = ( Am× nBn× p ) + ( Am× nC n× p )   m ×p  m× p m× p  m× p

2°) Analizamos los elementos correspondientes: La componente kj de B + C es bkj + ckj y la

componente ij de A ( B + C ) es: (*) n

A (B +C )ij = ∑a ik (B +C k =1

n

)kj ≜ ∑a ik (b kj +c kj ) k =1

en  n

=

∑(a

k =1

S1 n

n

b +a ikb kj ) = ∑a ikb kj + ∑a ikc kj =

ik kj

k =1

k =1

(*)

= ( AB ) ij + ( AC ) ij ≜ [ AB + AC ]ij

Igual a la componente ij de AB más la componente ij de AC. Como las matrices tienen igual dimensión y los elementos correspondientes son iguales, entonces queda demostrada la relación (1.4). A (B + C ) = AB + AC

 Tarea: Demostrar la relación (1.5)

Matrices - Sumatoria

5

• Propiedad asociativa mixta

( α A) B = α ( AB) = A( αB )

(1.6)

Demostración:

Sea A = (aij ) una matriz de m ×n , B = (b ij ) una matriz de n × p y α un escalar real. Con las matrices adoptadas se verifica la igualdad de dimensiones de las matrices. Analizaremos los elementos correspondientes de las matrices (kA )B , A ( kB ) y k ( AB ) : (*) n

n

n

S2

(*)

( α A ) B  ij = ∑ ( α A )ik bkj ≜ ∑ αaik bkj = α∑ aik bkj = α ( AB )ij ≜ α ( AB )  ij k= 1

k= 1

k= 1

en 

=

n

n

∑ a α b ≜ ∑ a ( αB ) ik

kj

k=1

Con lo cual:

ik

k =1

kj

(*)

=  A ( αB )ij

 (α A ) B ij =  A ( α B)  ij =  α ( AB)  ij y se completa la demostración.

 • Propiedad bilineal Tarea: Demostrar la propiedad bilineal a saber: A ( β B + γ C ) = β AB + γ AC

Lineal en el segundo factor

(1.7)

( α A + β B )C = α AC + βBC

Lineal en el primer factor

(1.8)

MATRIZ UNIDAD (IDENTIDAD)

En  n× n la matriz I cuyo elemento genérico es δij (delta de Kroneker), cumple que: 1 si i = j In× n = δ ij =  0 si i ≠ j

(1.9)

Esta matriz es el elemento neutro para el producto de matrices. La matriz In×n = In se llama matriz unidad n ×n , y verifica: AI = IA = A cualquiera sea A ∈ n× n . • Elemento neutro para el producto de matrices

Es la matriz unidad correspondiente, si A es m × n entonces: A m×nI n = A m×n i) Im Am× n = Am× n

ii)

(1.10) (1.11)

Es decir, “el producto de una matriz cualquiera por la identidad es igual a la misma matriz” Demostración: Probaremos la relación i) Am×nIn ×n = Am×n

Se verifica la igualdad de dimensiones, y los elementos correspondientes n

n

k=1

k =1

[ AI ] ij ≜ ∑a ikI kj = ∑a ikδ kj = 0 + 0 +… +a ij.1 +… + 0 + 0 =a ij son iguales O sea que: AI = A . Análogamente se prueba ii). 

Matrices - Sumatoria

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• Versus transposición

( AB )

T

= B TA T

(1.12)

“La traspuesta de un producto de matrices es igual al producto de las traspuestas en orden inverso” Demostración: Supongamos que A = (aij ) es una matriz de m × n y B = (b ij) es una matriz de n × p .

( AB )

Probaremos que

T

= BT AT .

1°) Analizamos la dimensión de los productos:

Primero, se observa que AB es una matriz de m × p , de manera que (AB ) es de p × m . T

También BT es de p× n y A T es de n × m , de manera que B TA T es de p × m . De esta forma, ambas matrices en la relación (1.12) tienen el mismo tamaño. 2°) Analizamos los elementos correspondientes de las matrices ( AB ) y BT AT : T

(*) n

en  n

( AB)T  ≜ ( AB) = ∑ ajk bki = ji  ij k =1

n

∑( B ) ( A )

∑b a ki

jk ≜

T

k =1

k =1

(*)

T

ik

kj

=  BT AT 

ij

Con lo cual se completa la demostración.  Demostraciones de propiedades de la traza de una matriz Si todas las sumas y todos los productos siguientes están definidos, entonces • Propiedad Lineal: ( A + B ) = AT + BT “La traspuesta de la suma matrices es igual a la suma de las traspuestas” T

Demostración: ( A + B ) T  ≜ (A + B ) ≜ A ji + B ji ≜ (A T ) + (B T ) ≜ A T +B T   ij ji ij ij   ij T Como: ( A + B )  =  AT +B T ij los elementos correspondientes de las matrices son iguales,   ij entonces

(A + B )

T

= AT + BT

 • Propiedad Homogénea: ( kA ) = kAT “La traspuesta de una matriz por un escalar es igual al escalar por la traspuesta de la matriz” T

Demostración: ( kA ) T  ≜ ( kA ) = kA ji = k ( A T ) ji ij   ij T Como: (kA )  =k ( AT  ij entonces

)

ij

los elementos correspondientes de las matrices son iguales,

( kA)

T

= kAT

 Matrices - Sumatoria

7

• Propiedad: tr (AB ) = tr (BA ) con Am×n , Bn×m

Si analizamos la dimensión de los productos:

( Am× n Bn× m )m×m ≠ (Bn× m Am× n ) n×n Pero si se cumple que: tr ( Am× n Bn× m )m× m = tr ( Bn× m Am× n ) n× n

Demostración: m

tr ( AB ) ≜ ∑ ( AB ) ii i =1

 n  = ∑  ∑a ijb ji  i =1  j =1 

(*) m

m

n

= ∑∑ a ijb ji i =1 j =1

en  m

=

n

∑∑b a

ji ij

=

i =1 j =1 S3 n

m

= ∑∑ b jia ij j =1 i =1

n  m  = ∑  ∑ bji aij   j =1  i =1 (*) n

= ∑ ( BA ) jj ≜ tr (BA ) j =1

Por lo tanto tr (AB ) = tr (BA ) .  Ejemplo: Demuestre que si A y B son matrices de n ×n y semejantes, entonces tr ( A ) = tr (B ) . Solución:

Si A es semejante a B, existe una matriz inversible P tal que P −1AP = B . Entonces,

( ) = tr( P [ AP ]) = tr( [ AP] P ) = tr( APP )

tr ( B) = tr P− 1 AP −1

−1

de acuerdo a la propiedad anterior

−1

= tr( AI) tr ( A)

 

Matrices - Sumatoria

8...