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Fundamentos de algebra...

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Versión 2012.

Exponentes Por: Sandra Elvira Pérez Márquez

Expresiones algebraicas

Expresión algebraica: es una combinación de variables, números, letras y símbolos que pueden estar conectados con signos operativos: +, -, x, /, entre otros.

Algunos ejemplos de expresiones algebraicas son:

a, 2 x,

7 y,

( x  y) z,

 3a  2b  2 2 x , 2x 5x 2,  c  

2x 8x 3 3

Término algebraico: es una de las partes de una expresión algebraica separadas por un signo más (+) o menos (-), nunca por el signo de multiplicación o división.

1 ©UVEG. Derechos reservados. Esta obra no puede ser reproducida, modificada, distribuida, ni transmitida, parcial o totalmente, mediante cualquier medio, método o sistema impreso, electrónico, magnético, incluyendo el fotocopiado, la fotografía, la grabación o un sistema de recuperación de la información, sin la autorización por escrito de la Universidad Virtual del Estado de Guanajuato.

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En la tabla 1 se muestran expresiones algebraicas y el número de términos que las componen:

Expresión algebraica

Número de términos

a

1 término

2x

1 término 1 término

7x

La raíz cuadrada

es el signo operativo que conecta el término

(x  y )z

1 término El paréntesis es el signo operativo que conecta el término

 3a  2b  2 x    c

1 término

2x2  5x  2

3 términos

2x  8x 3 3

2 términos

2x2  5x  2

3 términos

 4x  2  ( 2 x  3) 2     3 

2 términos

Tabla1. Elementos de una expresión algebraica.

2 ©UVEG. Derechos reservados. Esta obra no puede ser reproducida, modificada, distribuida, ni transmitida, parcial o totalmente, mediante cualquier medio, método o sistema impreso, electrónico, magnético, incluyendo el fotocopiado, la fotografía, la grabación o un sistema de recuperación de la información, sin la autorización por escrito de la Universidad Virtual del Estado de Guanajuato.

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Los elementos de un término son 4:

Figura. 1 Elementos de un término.

De acuerdo a lo anterior, se tiene la expresión algebraica:

4x3 6x2  x Puedes concluir que tiene tres términos, a continuación se menciona cada uno. Término

Signo

Coeficiente

Literal

Exponente

4x3

Positivo (+)

4

x

3

-6x2

Negativo (-)

6

x

2

x

Positivo (+)

1

x

1

Reglas de los exponentes Como observaste anteriormente, los exponentes se utilizan para indicar el número de veces que se repite un factor en un producto. Por ejemplo: Si quieres encontrar una expresión que indique el área de cualquier cuadrado, representa el lado de éste con la letra x , y recuerda que el área de un cuadrado es: lado por lado. 3 ©UVEG. Derechos reservados. Esta obra no puede ser reproducida, modificada, distribuida, ni transmitida, parcial o totalmente, mediante cualquier medio, método o sistema impreso, electrónico, magnético, incluyendo el fotocopiado, la fotografía, la grabación o un sistema de recuperación de la información, sin la autorización por escrito de la Universidad Virtual del Estado de Guanajuato.

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Área cuadrado = x∙x = x2

Entonces:

El exponente 2 indica que la x se utiliza dos veces como factor.

De manera similar, el volumen de un cubo será:

Volumen cubo = x∙x∙x = x3.

En este caso, el exponente 3 indica que la encuentra tres veces como factor.

x se

x (denominada base) va emplearse n veces como factor, la expresión final x n se le denomina

Cuando una variable potencia.

5

Si tenemos una potencia x significa que:

x5  x  x  x  x  x De la misma forma se puede decir que:

y  y  y  y3 a  a  a  a a a  a6 ¿Qué pasará cuando se multiplican dos potencias diferentes con la misma base? Veamos los siguientes ejemplos. 2 4 1) a  a 

2

Si a  a  a y

a4 aaaa

Entonces: a 2  a 4  a  a a  a  a  a  a 6 4 ©UVEG. Derechos reservados. Esta obra no puede ser reproducida, modificada, distribuida, ni transmitida, parcial o totalmente, mediante cualquier medio, método o sistema impreso, electrónico, magnético, incluyendo el fotocopiado, la fotografía, la grabación o un sistema de recuperación de la información, sin la autorización por escrito de la Universidad Virtual del Estado de Guanajuato.

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De la misma forma: 3 7 10 2) x  x  x  x  x   x  x  x  x  x  x  x   x 5 2 7 3) y  y  y  y  y  y  y  y y y

¿Te diste cuenta de lo que sucedió con los exponentes? Respuesta: en todos los casos, la base permanece igual y los exponentes se suman. Tomando como base lo que observaste, puedes enunciar la primera regla de los exponentes:

Regla del producto para los exponentes En el producto de dos potencias de la misma base, la base se mantiene y los exponentes se suman.

am an amn Veamos el siguiente ejemplo.

1) 25∙27 = Aplicando la regla del producto para los exponentes, recuerda que la base se mantiene igual, es decir, en el ejemplo el número 2 es la base, pasa igual y sólo los exponentes 5 y 7 se suman.

25 27  257  21 2 Revisemos otros ejemplos:  2) 32  35  32 5  37  3) m 3 m 1 0 m 3 1 0 m 1

3

 4) a 7 .a 2  a 7 2  a 9

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¿Te diste cuenta de que la regla se aplica sólo a bases iguales? Entonces, ¿qué pasa cuando las bases son diferentes? Solamente se deja expresada la operación como se muestra a continuación:

1) a5  b3  a5 b3 2) 32  57  32 57 3) x 3  y 3  x 3 y 3

Recuerda que si dos potencias se encuentran juntas significa que se están multiplicando.

De la misma forma, observa cómo se realizaría el cociente de dos potencias de la misma base.

En el caso de la división, ¿te diste cuenta de qué le pasó a los exponentes? Respuesta: las bases se mantienen igual y los exponentes se restan. Es importante que recuerdes que cualquier número dividido entre sí mismo es uno; es por ello que

x 1 y x

a 1 a Y cualquier número multiplicado y dividido entre uno es el mismo número.

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Tomando en cuenta los ejercicios anteriores se puede enunciar la siguiente regla:

Regla del cociente para los exponentes En el cociente de dos potencias de la misma base, la base se mantiene y los exponentes se restan.

am  a m n n a

Los siguientes ejercicios utilizan la regla del cociente de los exponentes.

1)

47  42

En este caso, lo primero que debes identificar es que la operación que tienes es una división de potencias, para la cual la base es 4. La regla indica que la base se mantiene y sólo los exponentes se restan. Debes tener muy presente que la resta es el exponente del numerador menos el exponente del denominador:

47  4 7 2  4 5 42

Observa que el exponente es positivo.

De manera similar:

86  86 3  83 83 n4 3) 3  n 43  n n

2)

Observa que el exponente es 1, sin embargo, cuando el exponente es 1, no se escribe.

4)

m3  m37  m4 m7 7

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Observa que el exponente es negativo, ya que la resta de 3 – 7 = -4.

Realiza el mismo ejemplo desarrollando las potencias:

De esta forma, tienes dos resultados diferentes, pero que puedes relacionar. Si

m3 1 m3 3 7 4  4 y  m  m 7 7 m m m

Puedes concluir que:

m 4 

1 m4

Con base en los resultados anteriores se pueden enunciar las siguientes reglas:

Reglas de los exponentes negativos 1) Una base elevada a un exponente negativo, se pasa al denominador con el mismo exponente positivo.

a m 

1 am

De forma similar: 2) Si en un denominador una base está elevada a un exponente negativo, se pasa al numerador con el mismo exponente positivo.

1 a m m a La regla indica que no debe haber exponentes negativos en un resultado. Cuando el exponente negativo lo tiene en el numerador, entonces se cambia la base al denominador con el exponente positivo y si el exponente negativo está en el denominador, pasa al numerador con exponente positivo. 8 ©UVEG. Derechos reservados. Esta obra no puede ser reproducida, modificada, distribuida, ni transmitida, parcial o totalmente, mediante cualquier medio, método o sistema impreso, electrónico, magnético, incluyendo el fotocopiado, la fotografía, la grabación o un sistema de recuperación de la información, sin la autorización por escrito de la Universidad Virtual del Estado de Guanajuato.

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En los siguientes ejemplos, el exponente negativo está en el numerador, por tal motivo pasa la base al denominador con el exponente positivo:

1 3 1) a  3 a

2) 52 

1 52

3) m6 

1 m6

De manera similar, los siguientes ejemplos muestran el exponente negativo en el denominador, por tal motivo pasa la base al numerador con el exponente positivo: 4)

5)

1 a

6

 a6

1 3 7 73

¿Qué pasará con la siguiente expresión?

a 3  b5 En este caso, tanto en el numerador como en el denominador existen exponentes negativos y al aplicar las reglas solamente se cambia de posición la base y se cambia el signo de los exponentes, como se muestra a continuación: a 3 b5  3 b5 a

Ejemplo: Ve ahora un ejercicio del cociente de dos potencias con el mismo exponente.

32 32 Lo puedes resolver de dos formas diferentes:

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Forma 1

Forma 2

La primera, considerando que siempre La segunda, aplicando la regla del que exista en el numerador y el cociente para los exponentes: denominador el mismo número, su resultado es uno; de esta forma tenemos: 32  3 2 2  3 0 2 2 3 3 3 3 9  1  2 3 3 3 9 Se concluye lo siguiente: Si

32 32 y  1  3 0 , entonces: 32 32

130

Con base en el ejercicio anterior se enuncia la siguiente regla:

Regla del exponente cero En una potencia, toda base elevada al exponente cero es igual a uno.

a0 1

Ve algunos ejemplos donde se puede aplicar la regla anterior.

1) x 0  1 2) m0  1

Recuerda que un paréntesis unifica un término, por lo que, si una expresión algebraica está elevada a la potencia cero, el resultado es uno.

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3) (x  y )0  1 0

 2x  3 y  4)   1  2  5) 12890  1 Resuelve los siguientes ejercicios y después verifica tu resultado con las respuestas.

1) 2x 0  2) (4  5)0  2  3) 4560  Respuestas: 1) 2 x0

x está elevada a la potencia cero y el 2 está multiplicando a la x , por lo tanto 2x0 2(1) 2 . Observa como solo la

2) (4  5)0  2 

En este caso, el paréntesis indica que la suma del 4 y 5 está elevada a la potencia cero, así que el resultado de la expresión será (45)

0

 2  1 2  3 .

3) 4560 

En este caso, el 456 es un número que representa una base elevada el exponente cero es igual a uno: 456  1 . 0

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Revisa las siguientes expresiones:

1) a5 

2

5 Como a se encuentra elevada al exponente 2, esto indica que se tiene que multiplicar dos veces y utilizando la regla de la multiplicación, la base se queda igual y los exponentes se suman.

a   a 5 2

5

 a 5  a 5 5  a 1 0

Resolvemos el siguiente ejemplo de forma similar.

m   m 4 3

4

 m 4  m 4  m 4 4 4  m12

Este tipo de expresiones se pueden simplificar aplicando la siguiente regla:

Regla de una potencia elevada a un exponente En una potencia elevada a un exponente, la base se mantiene y los exponentes se multiplican.

a 

m n

 amn

Resolvamos los siguientes ejemplos aplicando las reglas correspondientes.

 

1) 84

5



8   8 4 5

4 5

 820

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Al aplicar la regla de una potencia elevada a un exponente, la base se mantiene, en este caso el exponentes 4 y 5 se multiplican

 

7

2) m3

8 y los



De manera similar al anterior, la ecuación se resuelve de la siguiente manera:

m   m 3 7

3 7

 

5

3) 3 2

 m21



Al aplicar la regla de una potencia elevada a un exponente, la base se mantiene, pero al multiplicar los exponentes 2 5   1 0, el resultado es negativo, y como no se puede dejar exponentes negativos se aplica la regla de los exponentes negativos, de tal forma que:

 

Por lo tanto, decimos que 32

5



3   3 2 5

2 5 

 310 

1 310

1 310

De manera similar resuelve el siguiente ejemplo.

 

4) 53

5

 535  515 

1 515

Ahora revisa las siguientes expresiones:

ab2  abab   a  a  b  b  a 2 b2 13 ©UVEG. Derechos reservados. Esta obra no puede ser reproducida, modificada, distribuida, ni transmitida, parcial o totalmente, mediante cualquier medio, método o sistema impreso, electrónico, magnético, incluyendo el fotocopiado, la fotografía, la grabación o un sistema de recuperación de la información, sin la autorización por escrito de la Universidad Virtual del Estado de Guanajuato.

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3

3  a  a  a  a  a  a a a   3          b  b  b  b  b  b b b  Las cuales se pueden resumir en las siguientes reglas:

Regla para elevar un producto a un exponente En un producto elevado a un exponente, se elevan cada uno de los factores al exponente indicado.

abm  am bm Regla para elevar un cociente a un exponente En un cociente elevado a un exponente, se eleva el numerador y el denominador al exponente indicado. m

am a    m b b Observa que, al aplicar la regla de los exponentes, las bases se mantienen y los exponentes se multiplican:

1)x y 3  x3 y3 5 2) a4  b3   a20 b15 



En la división los exponentes se multiplican al igual que en la división común. 4 4   3) x   x y   y4 2  3 m6 m  4)   4  n  n8  

Las reglas de los exponentes nos ayudan a realizar operaciones más complejas de forma rápida, por lo que es conveniente que las practiques y que tomes en consideración que las reglas de los exponentes 14 ©UVEG. Derechos reservados. Esta obra no puede ser reproducida, modificada, distribuida, ni transmitida, parcial o totalmente, mediante cualquier medio, método o sistema impreso, electrónico, magnético, incluyendo el fotocopiado, la fotografía, la grabación o un sistema de recuperación de la información, sin la autorización por escrito de la Universidad Virtual del Estado de Guanajuato.

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solamente se aplican a los exponentes.

En la tabla 2 se muestran las reglas de los exponentes que vas a utilizar a lo largo de los cursos de matemáticas.

Regla de los exponentes Regla del producto para los exponentes

am an amn

Regla del cociente para los exponentes

am  a m n n a

a m  Reglas de los exponentes negativos

Regla del exponente cero

Regla de una potencia elevada a un exponente

1 am

1  am m a a0 1

a 

m n

 amn

Regla para elevar un producto a un exponente

abm  am bm

Regla para elevar un cociente a un exponente

am a    m b b

m

Tabla 2. Reglas de los exponentes.

Ejemplos resueltos de reglas de los exponentes A continuación se muestran algunos ejemplos resueltos donde se aplican las reglas de los exponentes para la simplificación de expresiones algebraicas.

15 ©U...