1 Sesión del 6 de octubre de EDy S PDF

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Continuación de aplicaciones de las EDO de primer orden.Un tanque con una capacidad de 265 litros contiene inicialmente 9 kg de sal disuelta en 189 litros de agua. Suponga que cada minuto entran al tanque 11 litros de agua salada, que contienen 2 40 gr de sal por litro, y que la mezcla (que se manti...

Description

Continuación de aplicaciones de las EDO de primer orden. Un tanque con una capacidad de 265 litros contiene inicialmente 9 kg de sal disuelta en 189 litros de agua. Suponga que cada minuto entran al tanque 11.4 litros de agua salada, que contienen 240 gr de sal por litro, y que la mezcla (que se mantiene uniforme agitándola) sale del tanque a razón de 7.6 litros por minuto. Plantee y resuelva una ecuación diferencial para hallar la expresión de la cantidad de sal en el tanque después de t minutos. ¿Cuánta sal habrá en el tanque en el momento en que empiece a derramarse?

𝑑𝑆(𝑡) = 𝑟𝑎𝑧ó𝑛 𝑑𝑒 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎 𝑑𝑒 𝑠𝑎𝑙 − 𝑟𝑎𝑧ó𝑛 𝑑𝑒 𝑠𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎 𝑑𝑒 𝑠𝑎𝑙 𝑑𝑡 Se determinará la razón de entrada de la sal: 11.4 [

𝑘𝑔 𝑘𝑔 𝑙 ] ] × 0.24 [ ] = 2.736 [ 𝑚𝑖𝑛 𝑙 𝑚𝑖𝑛

La razón de salida de la sal no es constante, y depende de la concentración inicial de sal y la razón de salida de esta. En cualquier momento t hay S(t) kg de sal, para determinar al ritmo al que sale, considerando que se mezcla con el líquido, entonces se hace la resta de las razones de entrada y salida del líquido. Inicialmente hay 189 litros de agua con sal. 11.4 litros están entrando, por minuto y 7.6 litros están saliendo, entonces: 189 + (11.4 − 7.6)𝑡 = 189 + 3.8𝑡

[𝑙]

Entonces la concentración de sal en cada momento es la siguiente (kg/l): 𝑆(𝑡) 189 + 3.8𝑡

[

𝑘𝑔 ] 𝑙

Por lo tanto, la razón de salida es: 𝑆(𝑡) 189 + 3.8𝑡

[

𝑘𝑔 𝑙 ] ] × 7.6 [ 𝑙 𝑚𝑖𝑛

La ecuación diferencial resultante será: 𝑑𝑆(𝑡) 7.6𝑆(𝑡) = 2.736 − 189 + 3.8𝑡 𝑑𝑡 Que se puede poner como una ecuación lineal: 7.6𝑆(𝑡) 𝑑𝑆(𝑡) + = 2.736 𝑑𝑡 189 + 3.8𝑡 Se sabe que la solución general a una ecuación lineal es: 1

𝑆(𝑡) = 𝜇(𝑡) {∫ 𝜇(𝑡)𝑄(𝑡)𝑑𝑡 + 𝐶} (*) Donde: 𝜇(𝑡) = 𝑒 ∫ 𝑃(𝑡)𝑑𝑡 Resolviendo la integral de (t): ∫

7.6 𝑑𝑡 = 2𝑙𝑛|189 + 3.8𝑡| 189 + 3.8𝑡

Pasos para resolver la integral (por sustitución de variable): 𝑢 = 189 + 3.8𝑡

𝑑𝑢 𝑑𝑢 = 3.8, 𝑑𝑡 = 𝑑𝑡 3.8

∫

7.6 7.6 1 𝑑𝑡 = ∫ 𝑑𝑢 = 2𝑙𝑛|𝑢| = 2𝑙𝑛|189 + 3.8𝑡| 189 + 3.8𝑡 3.8 𝑢

Entonces: 𝜇(𝑡) = 𝑒 2𝑙𝑛|189+3.8𝑡| = (189 + 3.8𝑡)2 Sustituyendo en (*): 𝑆(𝑡) =

1 {2.736 ∫(189 + 3.8𝑡)2 𝑑𝑡 + 𝐶} (189 + 3.8𝑡)2

Ahora se resuelve: 2.736 ∫(189 + 3.8𝑡)2 𝑑𝑡 = 0.24(189 + 3.8𝑡)3 Pasos para resolver la integral: 𝑢 = 189 + 3.8𝑡

2.736 3.8

𝑑𝑢 𝑑𝑢 = 3.8, 𝑑𝑡 = 𝑑𝑡 3.8 ∫ 𝑢2 𝑑𝑢 = 0.72

𝑢3 = 0.24𝑢3 = 0.24(189 + 3.8)3 3

𝑆(𝑡) =

1 {2.736 ∫(189 + 3.8𝑡)2 𝑑𝑡 + 𝐶} (189 + 3.8𝑡)2

𝑆(𝑡) =

1 {0.24(189 + 3.8𝑡)3 + 𝐶} (189 + 3.8𝑡)2

𝑆(𝑡) = 0.24(189 + 3.8𝑡) + 𝑆(𝑡) = 45.36 + 0.912𝑡 +

𝐶 (189 + 3.8𝑡)2

𝐶 (189 + 3.8𝑡)2

En t=0 había dentro del tanque 9 kg de sal, por lo tanto: 9 = 45.36 +

𝐶 1892

Se despeja C: 𝐶 = (9 − 45.36)(189)2 = −36.36(189)2 𝑆(𝑡) = 45.36 + 0.912𝑡 −

36.36(189)2 (189 + 3.8𝑡)2

El agua con sal se derramará cuando se alcance la capacidad del tanque, entonces: 265 = 189 + 3.8𝑡 Se despeja t: 𝑡=

265 − 189 = 20 𝑚𝑖𝑛 3.8

Para el contenido final de sal: 𝑆(𝑡) = 45.36 + 0.912(20) −

36.36(189)2

2

(189 + 3.8(20))

= 45.1 𝑘𝑔 𝑑𝑒 𝑠𝑎𝑙

clear all clc t=0:0.1:20; St=45.36+0.912*t-((36.36*(189)^2)./(189+3.8*t).^2); plot(t, St), xlabel('tiempo en minutos'), ylabel('Contenido de sal en kilogramos') grid on

Supongamos que una gota esférica se evapora a una velocidad proporcional a su superficie, si al principio el radio de la gota es de 2 mm, y al cabo de 10 minutos es de 1 mm, hallar la función que relacione el radio r con el tiempo t. El volumen y la superficie de una esfera son: 4 𝑉 = 𝜋𝑟(𝑡)3 3 𝑆 = 4𝜋𝑟(𝑡)2

La gota se evapora proporcionalmente a su superficie: 𝑑𝑉 = 𝑘𝑆 𝑑𝑡

𝑑𝑉 4 𝑑𝑟(𝑡) 𝑑𝑟(𝑡) = 𝜋3𝑟(𝑡)2 = 4𝜋𝑟(𝑡)2 𝑑𝑡 3 𝑑𝑡 𝑑𝑡 Entonces: 4𝜋𝑟(𝑡)2

𝑑𝑟(𝑡) = 𝑘4𝜋𝑟(𝑡)2 𝑑𝑡

𝑑𝑟(𝑡) =𝑘 𝑑𝑡 Entonces:

∫ 𝑑𝑟 = ∫ 𝑘𝑑𝑡 𝑟(𝑡) = 𝑘𝑡 + 𝐶 Usando las condiciones del problema: Después de 10 minutos el radio es de 1mm 1 = 𝑘(10) + 𝐶 En t=0 el radio es de 2 mm 2 = 𝑘(0) + 𝐶 = 𝐶 Finalmente: 1 = 𝑘(10) + 2 𝑘=

1 1−2 =− 10 10

La solución del problema es: 𝑟(𝑡) = −

1 𝑡+2 10

clear all clc t=0:0.1:20; rt=-(1/10)*t+2; plot(t, rt), xlabel('Tiempo en minutos'), ylabel('Radio de la gota en mm'), grid on...