11. Differentialregning. Tangentens ligning PDF

Preview

Summary

Download 11. Differentialregning. Tangentens ligning PDF

Description

Tangentens ligning Indhold Tangentens ligning...............................................................................................................................2 Eksempler.............................................................................................................................................3 Opgaver................................................................................................................................................5 Facitliste...............................................................................................................................................9

Differentialregning

Tangentens ligning

Side 2

Tangentens ligning Vi vil bestemme en ligning for tangenten til grafen for en funktion f i et punkt

(x 0 , f ( x 0 ) ) .

y f (x, y)

f '(x 0 ) (x 0 , f (x 0 )) 1

x

Vi viser metoden med et eksempel, hvor f ( x )=2 x 3−x+2 og røringspunktet er x=1 . Da tangenten er en ret linje er tangentens ligning på formen y=ax + b og vi skal bestemme og b .

a

Beregning af a . Tangentens hældning er lig med differentialkvotienten f ' ( x ) =2 ·3 x 2−1=6 x 2 −1 og dermed er a=f ' ( 1 ) =6 · 12−1=5. Beregning af b . Vi benytter vores kendte formel til at beregne b for en lineær funktion. Først skal vi dog beregne andenkoordinaten til tangentens røringspunkt. 3 y 1=f ( 1 ) =2· 1 −1+2=3 og dermed er b= y 1−a· x 1=3−5 · 1=−2 . Tangentens ligning er

Søren Fritzbøger

B-niveau

y=5 x−2

GSK

Differentialregning

Tangentens ligning

Side 3

Eksempler Eksempel 1.

x0

er kendt y (1, f(1))

x -2

-1

1

2

Figuren viser grafen for funktionen 3 2 f ( x )=x + 3 x .

Grafen har en tangent, der går gennem punktet a)

(1 , f (1 ) ) .

Bestem en ligning for denne tangent.

f ( x )≔ x 3 +3 x 2 y=f ' ( x 0 ) · ( x − x 0 ) +f ( x 0 ) ⇕

Ligningen løses for y vha. CAS-værktøjet WordMat. med følgende antagelser/definitioner:

x 0=1

y=9 · x−5 (x 0) Slet definitioner :

Eksempel 2.

er kendt

10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

y (x 0, 8)

x

-1 Figuren viser grafen for funktionen 3 f ( x )=x .

Søren Fritzbøger

B-niveau

GSK

Differentialregning

Tangentens ligning

Grafen har en tangent med røringspunkt i a)

Side 4

(x 0 ,8 ) .

Bestem en ligning for denne tangent.

f ( x )≔ x 3 f ( x )=8 ⇕

Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

x=2

y=f ' ( x 0 ) · ( x − x 0 ) +f ( x 0 ) ⇕ y=12 · x−16 Slet definitioner : Eksempel 3. '(x 0 )

Ligningen løses for y vha. CAS-værktøjet WordMat. med følgende antagelser/definitioner:

x 0=2

er kendt 4

y

3 2 1

x

-1 -2

Figuren viser grafen for funktionen 3 f ( x ) =x −3 x .

Grafen har to tangenter med hældningen 9. = f’(x)=9 a)

Bestem en ligning for hver af disse tangenter.

f ( x )≔ x 3 −3 x f ' ( x ) =9 ⇕

Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

x=−2 ∨ x=2 '

y=f ( x 0 ) · ( x − x 0 ) +f ( x 0 ) ⇕

Ligningen løses for y vha. CAS-værktøjet WordMat. med følgende antagelser/definitioner:

x 0=−2

y=9 · x+ 16

Søren Fritzbøger

B-niveau

GSK

Differentialregning

Tangentens ligning

y=f ' ( x 0 ) · ( x − x 0 ) +f ( x 0 ) ⇕

Ligningen løses for y vha. CAS-værktøjet WordMat. med følgende antagelser/definitioner:

Side 5

x 0=2

y=9 · x−16 Slet definitioner :

Eksempel 4 En funktion f er givet ved 3

f (x )=x −2 x . a)

Vis, at linjen

y =10 x −16 er tangent til grafen for f.

3 f ( x )≔ x −2 x

Da linjen har hældningen 10 løser jeg ligningen f ' ( x ) =10 ⇕

Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

x=−2 ∨ x=2

y=f ' ( x 0 ) · ( x − x 0 ) +f ( x 0 ) ⇕

Ligningen løses for y vha. CAS-værktøjet WordMat. med følgende antagelser/definitioner:

x 0=2

y=10 · x−16 Tangenten med røringspunkt x=2 har ligningen

y=10 · x−16

Slet definitioner :

Søren Fritzbøger

B-niveau

GSK

Differentialregning

Tangentens ligning

Side 6

Opgaver Uden hjælpemidler 1)

En funktion f er givet ved

f (x )=x 2 . a)

Bestem ligningen for tangenten til grafen for f i punktet

x 0=1.

Først finder jeg a som jeg skal sætte ind i formlen: y=ax+b f ( x )≔ x 2 f ' ( x ) =2 · x a=f ' ( 1 ) =2 Så finder jeg b f (1 )=1 b=1−2 ·1=−1 y =2 x −1

2)

En funktion f er givet ved

f (x )=2 x3 . a)

Bestem ligningen for tangenten til grafen for f i punktet

x 0=1.

Først finder jeg a med formlen a=f ' (x) 2 f ' ( x ) =2 ·3 x =18 2 a=f ' ( 1 ) =2 · 3 · 1 =6 Så finder jeg b vha. b= y 1−a· x1 f (1 )= 2· 13=2 b=2−6 · 1=− 4 y =6 x −4

Facitliste 3)

En funktion f er givet ved 2

f (x )=x −2 x .

Søren Fritzbøger

B-niveau

GSK

Differentialregning

a)

Tangentens ligning

Side 7

Bestem ligningen for tangenten til grafen for f i punktet

Først finder jeg a med formlen

x=−1 .

a=f ' (x)

f ' ( x ) =2 · x −2 a=f ' ( −1)=2 ·−1−2=−4 Så finder jeg b vha. b= y 1−a· x 1 1 −¿ ¿ f (−1) =¿ b=3−( −4 ) ·−1=−1 y=− 4 x−1

4)

En funktion f er givet ved 3

f (x )=x −x . a)

Bestem ligningen for tangenten til grafen for f i punktet

x=1.

Med hjælpemidler 5)

En funktion f er givet ved f ( x ) =0,25 x 4 −x3 + x 2

. (3 , f (3 ) ) og en ligning for tangenten

a)

Bestem en ligning for tangenten for f i punktet for f i punktet (−1 , f ( −1)) .

b)

Bestem koordinatsættet til skæringspunktet mellem de to tangenter.

Søren Fritzbøger

B-niveau

GSK

Differentialregning

6)

Tangentens ligning

Side 8

Figuren viser grafen for funktionen f ( x ) = x 3− 4 x. y 5 4 3 2 1 -6 -5 -4 -3 -2 -1-1 -2 -3 -4

Grafen har en tangent i punktet a)

x 1 2 3 4 5

x=2.

Bestem en ligning for denne tangent.

Denne tangent har et andet skæringspunkt med grafen for b)

f .

Bestem koordinaterne til dette skæringspunkt. Facitliste

7)

En funktion f er givet ved 4 3 2 f ( x) = x − x + x

(1 , f (1 ) ) .

a)

Bestem en ligning for tangenten for f i punktet

b)

Bestem koordinatsættet til hvert af tangentens skæringspunkter med koordinatsystemets akser.

Tangenten skærer grafen for f c)

i to andre punkter.

Bestem førstekoordinaten til hvert af disse punkter.

Søren Fritzbøger

B-niveau

GSK

Differentialregning

8)

Tangentens ligning

Side 9

Figuren viser grafen for funktionen f ( x ) =2 · √ x . Grafen har en tangent med røringspunkt i ( x 0 ,3 ) . 7

y

6 5 4 3

(x0 , 3)

2 1 x -3 -2 -1 -1 a)

1

2

3

4

5

6

Bestem en ligning for denne tangent. Facitliste

9)

Figuren viser grafen for funktionen f ( x ) =3 e 2 x . Grafen har en tangent, der har hældningen 1. y 3 2 1 x -2 a)

-1

1

2

Bestem en ligning for denne tangent.

Søren Fritzbøger

B-niveau

GSK

Differentialregning

10)

Tangentens ligning

Side 10

Figuren viser grafen for funktionen 1 f ( x )= . x Grafen har to tangenter, der har hældningen −2.

a)

Bestem en ligning for hver af disse tangenter. Facitliste

11)

En funktion f

er givet ved

2 f ( x ) =x +4 x .

a)

12)

Vis, at linjen

En funktion f

y =8 x −4

er tangent til grafen for f .

er givet ved

f ( x ) =x 3−6 x a)

Undersøg, om grafen for f

Søren Fritzbøger

har en tangent med hældningskoefficient −3.

B-niveau

GSK

Differentialregning

Tangentens ligning

Side 11

Facitliste 1)

y=2 x−1

2)

y =6 x −4

3)

y=−4 x−1

4)

y=2 x−2

5)

y =6 x −15,75

Opgaver

y=−6 x−3,75 (1 ,−9,75) 6)

y =8 x −16 (−4,−48) Opgaver

7)

y=−6 x + 4

(0, 4)

og

x=−1,24

8)

(0.67, 0) og x=3,24

y=0 , 6667 x+1,5 Opgaver

9)

y=x +1 ,3959

10)

y=−2 x+2 ,8284

y=−2 x−2 ,8284 Opgaver 11)

”Linjen er tangent i punktet

12)

Ja, i punkterne x=±1

Søren Fritzbøger

x=2 ”

B-niveau

GSK...