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DERIVABILITA’ E CONTINUITA’

Abbiamo definito che una funzione y=f(x) è derivabile in un punto x0 se esiste finito il limite del rapporto incrementale di xo al tendere di h a zero, ovvero: lim

(1)

h,o

f ( x o + h)− f ( x o ) h

esiste finito.

In tale ipotesi, il limite (1) è f’(xo) e rappresenta il coefficiente angolare della tangente la funzione nel punto di ascissa xo. La necessità di imporre, nella definizione, che il limite sia finito è evidente: infatti, la derivata esprime il coefficiente angolare di una retta, la tangente, e quindi deve essere un numero finito Ricordiamo che, essendo la tangente una retta, essa può essere orizzontale (e dunque con m=0), o obliqua (m ¿ o). Per le rette verticali non è possibile definire il coefficiente angolare: infatti, per qualsiasi retta verticale x=k è

m=

∆y ∆y = =N . E . ∆x 0

Tuttavia, non si esclude che una funzione possa avere, in un punto, una tangente verticale. In tal caso si avrebbe la divergenza del rapporto incrementale : ∆y =diverge ∆ x→ 0 ∆ x lim

Diremo quindi che DEF: Se

∃

lim h,o

f ( x o + h)− f ( x o ) h

= infinito , la funzione non è derivabile in x 0; geometricamente

interpreteremo l’esistenza del limite come esistenza di una tangente verticale alla curva nel punto x0.

E’ allora evidente che: se una funzione è derivabile in un punto xo ,allora la tangente la funzione in xo deve essere orizzontale o obliqua (dovendo essere “finita” la derivata in xo ).

Inoltre: se una funzione è derivabile in xo , la tangente la funzione in x0 deve essere” unica”, perché, se ne esistessero due,il limite (1) non esisterebbe avendo a destra e a sinistra un valore diverso.

ANALISI DEI PUNTI DI NON DERIVABILITA’.

Prima di affrontare lo studio dei punti di non derivabilità è necessario dare le seguenti definizioni:

Una funzione y=f(x) è derivabile in un punto x0 se esiste finito il limite del rapporto incrementale di xo al tendere di h a zero, ovvero: lim

(1)

h,o

f ( x o + h)− f ( x o ) h

esiste finito.

La definizione quindi impone due condizioni: il limite deve 

Esistere (e quindi limite destro e limite sinistro devono coincidere)

 finito Se cade una o entrambe le condizioni, la funzione si dirà non derivabile nel punto x o ; in tal caso occorre che il limite (1) debba:

A) non esistere B) esistere, ma essere infinito.

Nel caso A), il limite potrebbe non esistere perché: A1 ¿

limite destro

¿

limite sinistro entrambi finiti

A2 ¿

limite destro

A3 ¿

uno dei due limiti è infinito, l’altro è finito

A4 ¿

il limite non esiste in senso proprio

¿

limite sinistro entrambi infiniti

f '+ ( x o )≠ f '− ( x o )

(2)

Evidentemente, il limite in esame è quello del rapporto incrementale e quindi il limite che definisce la derivata in un punto; il limite destro: f ( x o +h )− f ( x o ) h h , o+

f '+ ( x o )=lim

è la derivata destra in xo

il limite sinistro: f '− ( x o )=lim h ,o

−

f ( x o + h)−f ( x o ) h

è la derivata sinistra in xo.

A1 ¿

Se entrambe le derivate destra e sinistra sono finite , allora il punto x o che soddisfa la

(2) è definito punto angoloso (propriamente detto). Se entrambe le due derivate, destra e sinistra, sono finite, queste rappresentano il coefficiente angolare di due tangenti la funzione nel punto di ascissa x o, come rappresentato in figura 1). Tali tangenti ovviamente non possono essere parallele ( perché hanno coeff. ang. disuguale) e nessuna delle due può essere verticale(perché in tal caso avrebbe coeff. ang. infinito). In questo caso xo si chiama punto angoloso propriamente detto. Il punto angoloso è quindi un punto a due tangenti

Fig.1 punto angoloso A2 ¿

Se invece le due derivate, destra e sinistra, sono entrambe infinite (ma discordi, dovendo

essere disuguali), sia a destra che a sinistra del punto di ascissa x o la tangente la funzione in esso è la retta verticale passante per xo. In questa condizione il punto xo è chiamato cuspide (figg.2 e 3)

Fig.3 cuspide

verso

il

basso

Fig.2 cuspide verso l’alto

Si osservi che, nella cuspide verso il basso , la funzione , nell’intorno di xo , prima decresce e poi cresce; viceversa per la cuspide verso l’alto.

A3 ¿

Infine, si potrebbe presentare il caso in cui una delle derivate sia finita e l’altra infinita.In tal

caso, nel punto di ascissa xo si avrebbero due tangenti, una delle quali verticale: si ha allora un punto angoloso misto

Fig.4 punto angoloso misto A4 ¿

Per concludere la trattazione dei punti di discontinuità in caso di non esistenza del limite (1),

consideriamo la funzione:

1 x sin x

se x ¿ 0

f(x )= 1

se x=0

il cui grafico è rappresentato a lato:

lim f ( x )=0 Si verifica che f(x) è continua in x=0. Infatti è f(0)=0 e

x ,0

. Però f(x) non è derivabile in x=0.

Infatti è:

(0+h )sin lim h,0

1 −0 o+h

h

=lim sin h ,0

1 h =N.E. essendo la funzione seno periodica.

Un punto di tal genere sarà un punto di discontinuità generica.

Affrontiamo adesso il caso B): il limite esiste, ma è infinito: a destra e a sinistra si ha lo stesso comportamento:

f ' − ( x0 )= f ' − (x 0 )=+∞

oppure

f ' − ( x0 )= f ' − (x 0 )=−∞

In tal caso, nel punto x 0 si ha una unica tangente verticale alla funzione come mostrato, e il punto x 0 è detto flesso a tangente verticale.

Fig.6 flesso a tangente verticale ascendente

f ' − ( x0 )=f ' − (x 0 )=+∞

Fig.7 flesso a tangente verticale discendente

f ' − ( x0 )=f ' − (x 0 )=−∞

Si osservi che nel flesso ascendente, la funzione è crescente in tutto l’intorno di xo , discendente nel flesso discendente.

Analisi grafica delle discontinuità Se osserviamo i grafici dei punti di discontinuità, osserviamo che in essi il grafico presenta delle “punte” oppure delle tangenti verticali. Conseguentemente, il grafico di una funzione derivabile, deve essere “dolce”, “collinare”

Funzione derivabile in [a,b]

CONTINUITA’ E DERIVABILITA’

Funzione non derivabile in [a,b]

Teorema: se f(x) è derivabile in xo

f(x) è continua in xo.

Dimostrazione: lim

ipotesi: f(x) è derivabile in xo e quindi

h,o

f ( x o + h)− f ( x o ) h

esiste finito. lim f ( x 0+ h ) =f (x 0 )

Tesi: dobbiamo dimostrare che f(x) è continua in xo , cioè che

La tecnica di dimostrazione consiste nello scrivere f ( x 0 +h ) =

h→0

f ( x 0 +h ) utilizzando il rapporto incrementale:

f ( x 0 +h )−f (x o ) ∙ h−f (x o ) h

Facendo il limite ad ambo i membri:

lim f ( x 0+ h )= lim h ,0

h, 0

f ( x 0 +h )−f ( xo ) ∙ h−f (x o )= f (x o ) h

f’(x0)

0

Tale teorema non è invertibile nel senso che esistono funzioni che, pur essendo continue in un punto xo non sono ivi derivabili; si pensi, ad esempio, un punto angoloso....