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Übung 3 Aufgaben...

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3 Arbeiten mit dem Bode-Diagramm Eine bewährte Methode zur anschaulichen frequenzabhängigen Darstellung von Übertragungsfunktionen ist die Angabe als Bode-Diagramm nach Hendrik Wade Bode1 . Die Merkmale dieser Darstellungsform und die Vorgehensweise bei der Anwendung stehen im Mittelpunkt der dritten Übung.

Grundbegriffe und Definitionen Bode-Diagramme ermöglichen eine sehr anschauliche Darstellung der dynamischen Übertragungsfunktion von linearen Systemen. Die Anwendung der Bode-Diagramme soll anhand der Ergebnisse aus Übung 2 gezeigt werden. Die Prinzipskizze und die Netzwerkdarstellung einer Waage zeigt Abbildung 3.1.

Abbildung 3.1: Elektromechanische Waage nach Übung 2: a) mechanische Prinzipskizze und b) Netzwerkdarstellung Die Waage bildet einen Resonanzschwingkreis. Die Übertragungsfunktion B des Systems ist in Übung 2 berechnet worden und wird hier durch Gleichung 3.1 nochmals angeführt: B=

v j ωn 1 = = 1 1 + j ωnr ≠ ω 2 mn F j ωm + j ωn +r

Zur Beschreibung des Systems wird die Güte Q = Kennkreisfrequenz ω0 = 1

Ò

1 nm ,

der Güte Q =

1 2δ

1 2δ ,

=

(3.1)

δ: Dämpfung, eingeführt. Mit der

1 ω 0 ·n·r ,

und dem statischen Übertra-

Amerikanischer Ingenieur auf dem Gebiet der Regelungstechnik: 1905–1982

19

3 Arbeiten mit dem Bode-Diagramm

Abbildung 3.2: Darstellung der Übertragungsfunktion eines Netzwerkmodells mit Resonanz. Vergleich der Darstellung a) mit linearer Skala und b) mit logarithmischer Skala. Zu erkennen ist die höhere relative Auflösung für kleine Amplituden im Bode-Diagramm anhand der detaillierteren Darstellung im unteren und oberen Frequenzbereich. gungsfaktor B0 = ω0 n ergibt sich die normierte Übertragungsfunktion zu B=

j ωω0 v = B0 · 1 F ≠ 1 + j ωω0 Q

ω2 ω02

, B0 = ω0 · n.

(3.2)

In Gleichung 3.2 sind die frequenzunabhängigen Größen im statischen Übertragungsfaktor B0 zusammengefasst. Außerdem wird die Kreisfrequenz ω auf die charakteristischen Frequenzen, hier die Resonanzfrequenz ω0 , bezogen. Bode-Diagramme ermöglichen die Darstellung der dynamischen Übertragungsfunktion, also des Frequenzgangs, über einen großen Frequenzbereich mit gleichbleibender relativer Genauigkeit. Das bedeutet, dass Ausgangssignale mit einer hohen Dynamik, also mit sehr hohen und sehr niedrigen Ausgangspegeln, dargestellt werden können. Sowohl die Amplituden als auch die Frequenzen werden hierzu im logarithmischen Maßstab (dekadischer Logarithmus) dargestellt. Logarithmische Skalen sind zweckmäßig, wenn der darzustellende Wertebereich mehrere Größenordnungen umfasst. Ein weiterer Vorteil besteht darin, dass sich die Gesamtübertragungsfunktion von Kettenanordnungen aus der additiven Überlagerung der Einzelübertragungsfunktionen ergibt. Logarithmische Skalen werden zur Darstellung von Verstärkerkennlinien und Filtern, zur Beschreibung von Übertragungsgliedern in der Automatisierungstechnik sowie von mechanischen und akustischen Systemen genutzt. Normierung Unabdingbar für eine logarithmische Darstellung ist die einheitenlose Darstellung. Dies wird durch eine Normierung der Übertragungsfunktion B auf den statischen Übertragungsfaktor B0 und der Kreisfrequenz ω auf eine charakteristische Frequenz erzielt. In der Nachrichtentechnik wird häufig auf 1 Watt [dB] (Dezibel) oder 1 Milliwatt [dBm] normiert. In der Vorlesung EMS werden der statische Übertragungsfaktor B0 für die Normierung der Amplitude auf der Ordinate und die Resonanzfrequenz ω0 , bzw. die Eckfrequenzen ω1 , ω2 , etc. für die Frequenznormierung auf der Abszisse herangezogen.

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Grundbegriffe und Definitionen Ein weiterer Vorteil der normierten Darstellung ist die bessere Vergleichbarkeit von unterschiedlichen Systemen, da die funktionsbestimmenden Größen, wie beispielsweise die Kennkreisfrequenzen, angegeben sind. Darüber hinaus sind die grundlegenden Merkmale des Übertragungsverhaltens leicht erkennbar. Skalierung der Ordinate Die Angabe des Betrags der normierten Übertragungsfunktion erfolgt in Dezibel [dB]. Der Zahlenwert in Dezibel ist das Zehnfache des dekadischen Logarithmus eines Verhältnisses. Durch Bezug der Übertragungsfunktion B auf den statischen Übertragungsfaktor B0 wird eine einheitenlose Darstellung möglich. Für lineare Größen wie Spannung, Strom, Geschwindigkeit, Kraft und Schalldruck etc. gilt: - Messwert Bezugswert -

Ergebnis [dB] = 20 lg --

Wir verwenden das Dezibel, um den Betrag der Übertragungsfunktion über der Frequenz darzustellen, also die Ausgangsgröße xa , - Bi Ergebnis [dB] = 20 lg - -B 0

Diese Darstellung wird als Amplitudenfrequenzgang bezeichnet. Für quadratische (Energie-) Größen wie Leistung, Intensität oder Energie gilt: -P aP -

Ergebnis [dB] = 10 lg --

Beispiel

Frage:

e

Die Dämpfung eines Systems beträgt 26 dB. Am Eingang liegt eine Spannung von 1 V an. Wie hoch ist die Spannung am Ausgang?

Dämpfung = ≠26 dB = ≠20 dB ≠ 6 dB

≠20 dB = 1/10 =∆ 1 V · 1/10 = 0, 1 V = 100 mV

≠6 dB = 1/2 =∆ 100 mV · 1/2 = 50 mV, also Faktor 20

⇤

Antwort: Das Ausgangssignal hat eine Amplitude von 50 mV.

Hintereinanderschalten von linearen Übertragungsgliedern Die Berechnung der Übertragungsfunktion eines Gesamtsystems von hintereinander geschalteten linearen, zeitinvarianten Übertragungsgliedern kann auf drei Arten erfolgen. Nämlich durch: • Faltung der Gewichtsfunktionen im Zeitbereich • Multiplikation der Übertragungsfunktionen im Frequenzbereich • Addition der logarithmierten Übertragungsfunktionen im Bode-Diagramm

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3 Arbeiten mit dem Bode-Diagramm Faltung der Gewichtsfunktion im Zeitbereich Ein Nachteil dieser Methode ist auf Grund der oftmals komplizierten Integralgleichungen eine aufwendige analytische oder numerische Berechnung. In Abbildung 3.3 ist der Ablauf der Faltung für ein Kettenglied dargestellt.

Abbildung 3.3: Anwendung der Faltung auf eine elektromechanische Übertragungskette

Multiplikation der Übertragungsfunktionen im Frequenzbereich Die Multiplikation im Frequenzbereich ist deutlich einfacher, aber das Ergebnis in Form einer komplexen, gebrochen rationalen Übertragungsfunktion, ist oftmals nicht anschaulich interpretierbar.

Abbildung 3.4: Multiplikation der Übertragungsfunktionen im Frequenzbereich

Addition der logarithmierten Übertragungsfunktionen im Bode-Diagramm Eine Multiplikation kann auch durch die Addition der Logarithmen erfolgen. Hierzu sollen die notwendigen mathematischen Grundlagen angeführt werden. Die Gleichungen 3.3 bis 3.6 geben wichtige Zusammenhänge des dekadischen Logarithmus an. • Funktion und Umkehrfunktion des dekadischen Logarithmus x = lg(y) ≈∆ y = 10x

’ y>0

(3.3)

• Multiplikation von Größen durch Addition ihrer Logarithmen lg(x1 · x1 · . . . · xn ) = lg x1 + lg x2 + . . . + lg xn

(3.4)

lg an = n · lg a

(3.5)

bzw.

22

Grundbegriffe und Definitionen

Abbildung 3.5: Substitution einer Multiplikation durch Addition der Logarithmanden und nachfolgender Potenzierung

• Division durch Subtraktion der Logarithmanden lg

a = lg a ≠ lg b b

(3.6)

Es ist zu erkennen, dass eine Multiplikation durch die Addition der Logarithmen ersetzt werden kann. Abbildung 3.5 zeigt einen Vergleich der Rechenoperationen Multiplikation und Logarithmieren. Die Bildung des Logarithmus stellt somit eine Transformation zur Vereinfachung der Berechnung der Gesamtübertragungsfunktion dar. Die Hintereinanderschaltung von linearen Übertragungsgliedern in logarithmierter Darstellung ist in Abbildung 3.6 gegeben. Es ist hier wieder auf eine Normierung zu achten, da das Ausgangssignal auf einen definierten Pegel bezogen sein muss. Hier wird wieder das Eingangssignal und der statische Anteil der Übertragungsfunktion zur Normierung gewählt.

Abbildung 3.6: Addition der logarithmierten Einzel-Übertragungsfunktionen Es ist leicht zu sehen, dass das Ersetzen der Multiplikation durch eine Addition den Rechenvorgang vereinfacht. Ein weiterer Vorteil besteht in der einfachen graphischen Darstellung der Gesamtübertragungsfunktion durch Überlagerung der Amplitudenfrequenzgänge der Einzelglieder. Darauf wird im Folgenden näher eingegangen.

23

3 Arbeiten mit dem Bode-Diagramm

Darstellung der Grundfunktionen im Bode-Diagramm Die Übertragungsfunktion der Waage besteht aus drei Grundgliedern (Elementarglieder): Differenzierglied B 1

B ges

˙ ˝¸ ˚

ω ω0 ω 1 ω2 ≠ 1+ j ω0 Q ω02 j

v ·n· = =ω ¸ 0˚˙ ˝ F B0

¸

˚˙

˝

(3.7)

Tiefpass B 4

¸

˚˙

˝

zusammen Tiefpass mit Resonanz B 6

Diese und weitere Elementarglieder werden im Folgenden erläutert und ihre graphische Darstellung im Bode-Diagramm gezeigt. Unter der Voraussetzung, dass die Übertragungsfunktionen der Elementarglieder durch Multiplikation oder Division verknüpft – die Glieder also hintereinander geschaltet – sind kann durch Addition der Grundglieder sehr einfach die Gesamtübertragungsfunktion ermittelt werden. Die dynamischen Eigenschaften von Systemen werden durch den Amplituden- und Phasengang des Ausgangssignals bezogen auf das Eingangssignal beschrieben. Der Amplitudengang der Übertragungsfunktion B berechnet sich mit Gleichung 3.8 zu 20 lg |B| = 20 lg

Ò

Ÿ2 {B} + ⁄2 {B}.

(3.8)

Die Phasenverschiebung des Ausgangs- zum Eingangssignal wird durch den Phasengang mit ϕB (ω) = arctan

⁄ {B} Ÿ {B}

(3.9)

beschrieben. Das Differenzierglied In Gleichung 3.7 werden als Elementarglieder das Differenzierglied B 1 und der Tiefpass mit Resonanz B 5 verwendet. Auf die Merkmale dieser beiden Elementarglieder und weiterer Grundglieder wird im Folgenden eingegangen. Amplitudengang des Differenziergliedes Der Amplitudengang kennzeichnet die Änderung der Ausgangsamplitude über der Eingangsamplitude des linearen Systems in Abhängigkeit von der Frequenz. Die Übertragungsfunktion des Differenzierglieds lautet B 1 = B0 · j

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ω · B0 = 1 ω1

(3.10)

Grundbegriffe und Definitionen Da eine rein imaginäre Funktion vorliegt wird das Verhältnis von Ausgangs- zu Eingangsamplitude nach Gleichung 3.8 nur durch den Betrag des Imaginärteils gebildet und es gilt Û 3 4 - 3 42 -B 1 ω ω = 20 lg 20 lg - - = 20 lg B ω ω 0

0

(3.11)

0

Somit ergibt sich für eine Zunahme der Frequenz um den Faktor 10, also um eine Frequenzdekade (Dec), ein Anstieg des Ausgangssignals um 20 dB. Bei ω = ω0 weist die Übertragungsfunktion einen Nulldurchgang auf. Auf einer linearen Skala entspräche dies einem Betrag von 1. Zusammengefasst weist das Differenzierglied somit folgenden Frequenzverlauf auf: Y _ _ ]+20 dB/Dec - = 0 dB _ 0 _ [+20 dB/Dec

- - ω -B 1 20 lg -- -- = 20 lg -B ω 0

’ ω < ω0 ’ ω = ω0

(3.12)

’ ω > ω0

Dieser Verlauf ist in Abbildung 3.7 dargestellt.

Abbildung 3.7: Amplitudengang eines Differenziergliedes

Das Differenzierglied zeigt für schnell veränderliche (hochfrequente) Signale eine hohe Verstärkung. Für quasi-statische (niederfrequente) Signale zeigt es eine hohe Dämpfung und bildet somit eine „Sperre“. Damit erfüllt der Baustein die mathematische Funktion eines Differenzierers.

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3 Arbeiten mit dem Bode-Diagramm Phasengang des Differenziergliedes Diese mathematische Funktion gilt auch für die Phasenänderungen zwischen Ausgang- und Eingangssignal. Ein eingeprägtes Sinussignal wird am Ausgang als Kosinussignal dargestellt, was einer Differentiation im Zeitbereich entspricht. Der Phasenverlauf des Differenzierers ergibt sich nach Gleichung 3.9 zu ϕB 1 (ω) = arctan

⁄(B 1 ) . Ÿ(B 1 )

(3.13)

Somit gilt: ϕB 1 (ω) = arctan

ω ω0

0

= arctan Π=

π bzw. 90¶ . 2

(3.14)

Graphisch wird der Phasenverlauf im Bode-Diagramm auf einer linearen Winkelskala über einer logarithmischen Frequenzskala dargestellt, wie es in Abbildung 3.8 gezeigt wird.

Abbildung 3.8: Phasendiagramm eines Differenzierers Der Phasenverlauf wird in der Bode-Darstellung direkt unter dem Amplitudengang angeordnet. In der Vorlesung EMS wird der Phasengang häufig nicht verwendet, da der Schwerpunkt auf der dynamischen Amplitudenänderung des Eingangssignals durch elektromechanische Systeme liegt. Das Integrationsglied Der Verlauf des Amplituden- und Phasengangs des Integrierglieds zeigt den umgekehrten Verlauf eines Differenzierers. Die Grundfunktion des Integrierglieds lautet B 2 = B0 ·

26

1 j ωω0

A

= B0 · ≠ j

1 ω ω0

B

· B0 = 1.

(3.15)

Grundbegriffe und Definitionen Es ergibt sich der charakteristische Verlauf der Amplitude zu ˆA A B B2 ı 3 4 ı 1 1 ω Ù = 20 lg ≠ ≠j ω = ≠20 lg . 20 lg |B 2 | = 20 lg ω

ω0

ω0

ω0

(3.16)

Unter Verwendung von Gleichung 3.6 wird der Kehrwert in der Klammer gebildet, indem das Vorzeichen vor der Logarithmusfunktion geändert wird. Somit lassen sich folgende charakteristische Punkte des Amplitudenverlaufs angeben:

3

ω ω0

20 lg |B 2 | = ≠20 lg

4

=

Y _ _ ]≠20 dB/Dec

’ ω < ω0

0 dB ’ ω = ω0 _ _ [≠20 dB/Dec ’ ω > ω 0

(3.17)

Der Verlauf des Amplitudengangs wird in Abbildung 3.9 gezeigt. Das Phasenverhalten des Integrierglieds ergibt sich nach Gleichung 3.9 zu

ϕB 2 (ω) = arctan

3

≠j 0

1 ω ω0

4

= arctan (≠Œ) = ≠

π bzw. ≠ 90¶ . 2

(3.18)

Der Phasengang wird also durch eine horizontale Gerade bei ≠90° im Phasendiagramm dargestellt.

Abbildung 3.9: Amplitudengang eines Integriergliedes

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3 Arbeiten mit dem Bode-Diagramm Das Hochpassglied Durch Kombination des Differenzierers mit einem Tiefpassglied 1. Ordnung ergibt sich das Hochpassglied. Die Grundfunktion lautet B 3 = B0 ·

j ωω0 · B0 = 1. 1 + j ωω

(3.19)

0

Bei niedrigen Frequenzen ergibt sich die Charakteristik des Differenzierers. Bei Frequenzen größer ω0 ergibt sich ein Verstärkungsfaktor nahezu 1. Es ergibt sich ein Amplitudenverlauf von 20 lg |B 3 | = 20 lg

Ò

Ÿ2 (B 3 ) + ⁄2 (B 3 ) = 20 lg Ú

ω ω0

1+

1

2 ω 2 ω0

.

(3.20)

Abbildung 3.10: Amplitudengang eines Hochpassgliedes

Phasengang des Hochpassgliedes Der Phasenverlauf des Hochpassgliedes ergibt sich nach Gleichung 3.9 zu: ϕB 3 (ω) = arctan mit

⁄ (B 3 ) , Ÿ (B 3 )

ω0 ϕB 3 (ω) = arctan = ω

(3.21)

Y _ ϕ ¥ 90¶ _ ] B3

ϕB 3 = 45¶

_ _ [ϕ

B3

28

¥

0¶

’ ω π ω0 ’ ω = ω0 . ’ ω ∫ ω0

(3.22)

Grundbegriffe und Definitionen Das Tiefpassglied Durch die Kombination des Integrierers mit einem konstanten Faktor ergibt sich das Tiefpassglied 1. Ordnung. Die Grundfunktion lautet: B 4 = B0 ·

1 1+ j

ω ω0

(3.23)

· B0 = 1

Der Amplitudengang ergibt sich aus dem Verlauf für niedrige und hohe Frequenzen zu: Û

1+

3

20 lg |B 4 | = ≠10 lg 1 +

3

20 lg |B 4 | = ≠20 lg

A

ω ω0

42

ω ω0

42 B

(3.24)

=

Y _ _ ]0 dB

’ ω < ω0

≠3 dB ’ ω = ω0 _ _ [≠20 dB/Dec ’ ω > ω 0

(3.25)

Die graphische Darstellung des Amplitudengangs im Bode-Diagramm zeigt die Abbildung 3.11.

Abbildung 3.11: Amplitudengang eines Tiefpassgliedes

29

3 Arbeiten mit dem Bode-Diagramm Das inverse Tiefpassglied Durch Kombination des Differenzierers mit einem konstanten Faktor ergibt sich das inverse Tiefpassglied 1. Ordnung. Die Grundfunktion lautet: 3

B 5 = B0 · 1 + j

ω ω0

4

(3.26)

· B0 = 1

Bei niedrigen Frequenzen ist der Übertragungsfaktor nahezu 1, also gleich B0 . Bei Frequenzen größer ω0 ergibt sich die Charakteristik des Differenzierers. Es ergibt sich dann ein Amplitudenverlauf von 20 lg |B 5 | = 20 lg

Ò

Ÿ2 (B 5 ) + ⁄2 (B 5 ) = 20 lg

Û

1+

3

ω ω0

42

.

(3.27)

Durch Anwenden von Gleichung 3.6 auf Gleichung 3.27 wird der Wurzelausdruck eliminiert, indem er vor den Logarithmus gezogen wird. Somit ergeben sich die charakteristischen Funktionswerte zu A

3

ω 20 lg |B 5 | = 10 lg 1 + ω0

42 B

=

Y _0 dB _ ] _ _ [

+3 dB

’ ω < ω0

’ ω = ω0

(3.28)

+20 dB/Dec ’ ω > ω0

Die graphische Darstellung im Bode-Diagramm entsteht durch eine horizontale Asymptote im unteren Frequenzbereich und eine Asymptote mit einer Steigung von 20 dB/Dec ab der Eckfrequenz ω0 . An der Eckfrequenz ω = ω0 beträgt der Abstand des realen Amplitudengangs von den Asymptoten +3 dB, vgl. Abbildung 3.12.

Abbildung 3.12: Amplitudengang eines inversen Tiefpassgliedes

30

Grundbegriffe und Definitionen Phasengang des inversen Tiefpassgliedes Der Phasenverlauf des inversen Tiefpassgliedes 1. Ordnung ergibt sich nach Gleichung 3.9 zu: ϕB 5 (ω) = arctan

⁄ (B 5 ) Ÿ (B 5 )

(3.29)

Somit gilt:

ϕB 5 (ω) = arctan

ω ω0

1

=

Y ¶ _ _ ]ϕ¥ 0

ϕ = 45¶ _ _ [ ϕ ¥ 90¶

’ ω π ω0

’ ω = ω0 ’ ω ∫ ω0

(3.30)

Abbildung 3.13 zeigt den Phasenverlauf des inversen Tiefpassgliedes 1. Ordnung über der Frequenz.

Abbildung 3.13: Phasenverlauf eines inversen Tiefpassgliedes

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3 Arbeiten mit dem Bode-Diagramm Der Tiefpass mit Resonanz Eine häufig anzutreffende Übertragungsfunktion mechanischer Teilsysteme ist der Tiefpass mit Resonanz. Sie ist als Elementarglied auch in der Übertragungsfunktion der Waage enthalten 1

B 6 = B0 · 1≠

1

ω ω0

22

+j

ω 1 ω0 Q

· B0 = 1

ω0 Resonanzfrequenz.

Für die Betragsbildung komplexer Zahlen gilt:

z=

Ô a+ jb a 2 + b2 æ |z| = Ô c + jd c 2 + d2

Somit ergibt sich der Amplitudenverlauf zu: ˆ ıA 3 42 B2 3 4 ı ω 1 2 Ù 1≠ ω + 20 lg |B 6 | = ≠20 lg

ω0

(3.31)

ω0 Q

Die Resonanzüberhöhung ergibt sich durch Einsetzen von ω = ω0 in Gleichung 3.31: 20 lg |B 6 |(ω=ω0 ) = ≠20 lg

1 = 20 lg Q. Q

Der Amplitudengang lässt sich durch drei typische Bereiche für den gesamten Frequenzbereich angeben: Y ˆ _ ıA _ 3 42 B2 3 42 ]0 dB ı ω ω 1 20 lg |B 6 | = ≠20 lgÙ 1 ≠ + = _20 lg Q dB ω0 Q ω0 _ [≠40 dB/Dec

’ ω < ω0 ’ ω = ω0

’ ω > ω0

Somit ist der typische Verlauf des Amplitudenganges in Abbildung 3.14 festgelegt. Der Amplitudengang ist durch einen nahezu konstanten Verlauf im unteren Frequenzbereich gekennzeichnet. Nahe der...