3-Probabilidad 3 - teoría de estadísticas PDF

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´ El término Probabilidad se utiliza comúnmente para sugerir que existe una incertidumbre sobre que ocurrió en el pasado, que ocurrirá en el futuro o que está ocurriendo en la actualidad. ´ La palabra experimento describe cualquier proceso que genere datos iníciales. ´ Un experimento aleatorio se ef...

Description

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El término Probabilidad se utiliza comúnmente para sugerir que existe una incertidumbre sobre que ocurrió en el pasado, que ocurrirá en el futuro o que está ocurriendo en la actualidad.

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La palabra experimento describe cualquier proceso que genere datos iníciales.

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Un experime experimento nto aleatorio se efectúa de acuerdo con un conjunto bien definido de reglas, puede repetirse y el resultado de cada ejecución depende de la casualidad.

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Espacio muestral (Ω o S) es el conjunto de todos los resultados posibles de un experimento estadístico.

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Elemento o miembro del espacio muestral o simplemente punto muestral es cada resultado del espacio muestral. S = {C, X}

S = {x|x es una ciudad con población mayor que un millón} S = { (x, y)| x2 + y2 ≤ 4}

S = {par, impar}

S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

S = {{C, X} x {C, X} x {C, X}}

S = {0, 1, 2, 3}

S ={(C, C, C), (C, C, X), (C, X, C), (C, X, X), (X, C, C), (X, C, X), (X, X, C), (X, X, X)} 2n

C C

X

S X

C X

C X C X C X C X

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Evento es un subconjunto o parte de un espacio muestral. S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

A = {3, 6}

S = {{C, X} x {C, X} x {C, X}} B = {(C, C, C), (C, C, X), (C, X, C), (X, C, C)}

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Evento simple es un subconjunto que contiene solamente un elemento del espacio muestral. Evento compuesto es aquel que puede expresarse como la unión de eventos simples. A = {corazón}

S = {corazón, trébol, pique, diamante}

B = {{corazón} ∩ {diamante}} = {corazón, diamante} OPERACIONES CON EVENTOS 1. A = φ

2. A ' = A c = A A = {x | x ∈ S ∧ x ∉ A}

3. A I B = C A I B = {x | x ∈ A ∧ x ∈ B}

4. A U B = C A U B = {x | x ∈ A ∨ x ∈ B}

5. A I B = φ ⇔ A y B son eventos mutuamente excluyentes 6. A U B = S ⇔ A y B son eventos colectivamente exhaustivos A Iφ =φ A =A

AU φ = A A IA =φ

S=φ

AU A = S

φ=S

Principio de multiplicación multiplicación: Supongamos que un procedimiento designado por 1 puede ocurrir de n1 maneras. Un segundo procedimiento 2 puede ocurrir de n2 maneras y cada manera de efectuar 1 puede ser seguida de la manera de efectuar 2. Entonces el procedimiento que consta de 1 seguido de 2 se puede efectuar conjuntamente de n1 n2 formas. ´

EJEMPLO: Un artículo manufacturado puede pasar por 3 controles. En cada uno de los controles se inspecciona una característica particular del artículo y se lo anota de conformidad. En el primer control hay 3 mediciones posibles; mientras que en cada uno de los dos últimos controles hay 4 mediciones posibles. ¿De cuántas maneras posibles se puede anotar el artículo?. 2

n1 x n2 x n3 = 3 x 4 x 4 = 48 1

n 1

n 2

2

maneras posibles 2

n 3

Principio de adición adición: Supongamos que un procedimiento designado por 1 puede ocurrir de n1 maneras, un segundo procedimiento 2 puede ocurrir de n2 maneras; además no es posible que ambos se hagan juntos, entonces el número de maneras como se puede efectuar 1 ó 2 es n 1 + n2 .

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EJEMPLO: Se proyecta un viaje y se debe decidir el transporte en avión ó en tren. Si hay 3 rutas para el avión y 4 para el tren. ¿Cuántas rutas disponibles hay?. 1- 2

n1 + n2 = 3 + 4 = 7 n

rutas disponibles n 1

2

Permutaciones = n× Pn = n ! ´

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Combinaciones C

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(n - 1) × (n - 2) × L × 3 × 2 × 1

n, x

⎛ n⎞ n! = C x = ⎜⎜ ⎟⎟ = n x ! (n - x ) ! ⎝ x⎠

Binomio de N Newton ewton (a

+ b )n =

n ⎛n⎞ k n -k ∑ ⎜⎜ ⎟⎟ a b k = 0 ⎝k ⎠

EJEMPLO: Encontrar el número de comisiones que pueden formarse con 4 químicos y 3 físicos y que comprendan 2 químicos y 1 físico. 4! ⎛ 4⎞ =6 ⎜ ⎟= ⎝ 2 ⎠ 2! 2!

3! ⎛ 3⎞ =3 ⎜ ⎟= ⎝ 1 ⎠ 1! 2!

n1 × n2 = 6 × 3 = 18

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Teoría Clásica

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Teoría de Frecuencias Relativas

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Teoría Personalista o Subjetiva

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Teoría Axiomática

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Teoría Clásica

TEOREMA: Si un experimento puede producir cualquiera de los n resultados igualmente probables y si exactamente na de estos resultados corresponden al evento A entonces la probabilidad del evento A será:

P (A) = na / n 0 ≤ na ≤ n

0 ≤ P(A) ≤ 1

EJEMPLO EJEMPLO: Se echa un dado. Sea A el evento de que salga un número impar, B que sea mayor que 4 y C que salga un 1 o un 2. Encontrar sus probabilidades. P (A ) =

3 1 = 6 2

P (B) =

2 1 = 6 3

P (C) =

2 1 = 6 3

Teoría de Frecuencias Relativas TEOREMA: Si un suceso puede ocurrir de n maneras mutuamente excluyentes e igualmente verosímiles y na es el número de casos que un suceso A ocurre, entonces ´

P ( A) =na n

P( ) = k n

RESULTADOS IGUALMENTE PROBABLES pi = 1 / k

con i = 1, 2, … , k P (A) = x / k

P (A) =

n° de maneras en que E pueda ocurrir favorables a A n °total de maneras en que E pueda ocurrir

P (elegir ai) = 1 / n

´MUESTREO

CON REEMPLAZO O CON SUSTITUCION: De una muestra se extrae un elemento, se lo estudia y se lo devuelve al total de la muestra para poder así extraer otro. ´MUESTREO

SIN REEMPLAZO O SIN SUSTITUCION: De una muestra se extrae un elemento, se lo estudia y no se lo devuelve al total de la muestra para poder así extraer el segundo elemento.

EJEMPLO: Un lote de 100 artículos contiene 20 defectuosos y 80 no defectuosos. Se eligen 10 artículos al azar sin sustitución. 1.¿Cuál es el número de maneras en que E pueda ocurrir? ⎛ 100 ⎞ P (E) = ⎜ ⎟ 10 ⎝ ⎠

2. ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente la mitad de los artículos sean defectuosos? P

(5 D )

⎛ 20 ⎞ ⎛ ⎟⎜ ⎜ 5 ⎠⎝ = ⎝ ⎛ 100 ⎜ ⎝ 10

80 ⎞ ⎟ 5 ⎠ ⎞ ⎟ ⎠

3. ¿Cuál es la probabilidad de que 7 de los artículos sean defectuosos? P (7 D

)=

⎛ 20 ⎞ ⎛ 80 ⎞ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎝ 7 ⎠⎝ 3 ⎠ ⎛ 100 ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ 10 ⎠

4. ¿Cuál es la probabilidad de que los 10 artículos sean defectuosos? P (10 D

´

)=

⎛ 20 ⎞ ⎛ 80 ⎞ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎝ 10 ⎠ ⎝ 0 ⎠ ⎛ 100 ⎞ ⎟ ⎜ ⎝ 10 ⎠

Teoría Personalista o Subjetiva

Teoría Axiomática DEFINICION: Dado un experimento aleatorio descrito por el espacio muestral S la probabilidad es una función P ( ) que asigna a cada evento un número real no negativo, indicado como P(E) a la “Probabilidad del evento E ". ´

P(E ) : S → ℜ+ U {0}

1. P(E) ≥ 0 ∀E 2. P(S) = 1 3. P(E U F) = P(E) + P(F)

P (E) S

+

ℜ U {0}

E I F= φ

DEFINICION: La probabilidad de un evento A es la suma de los pesos de todos los puntos muestrales de A. P ( φ) = 0

0 ≤ P( A ) ≤ 1

P(S) = 1

ESPACIOS MUESTRALES FINITOS S = {a1, a2, a3, . . . , ak} P(ai) = pi

con

i = 1, 2, … , k

1. pi ≥ 0 A = {a1, a2, a3, . . . , ar}

2. p1 + p 2 + p3 + L + p k = 1 con

r...