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Cours complet de physique de PACES
Professeur Mely...

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Magnétisme

MAGNETISME I. Généralités-Définitions Le magnétisme est un phénomène connu depuis très longtemps. On s’est rendu compte que certains minéraux de fer, notamment la magnétite, sont capables d’attirer des petits morceaux de fer. Cette propriété a ensuite été mise en évidence pour d’autres minerais ou composés comportant du Co ou du Mn. On a appelé ces corps magnétiques, des aimants. On s’est rendu compte assez vite que la Terre était un immense aimant, car si on suspend un aimant en un point quelconque, celui-ci s’oriente vers le pôle nord géographique. La Terre exerce sur le barreau, une force supplémentaire qu’elle n’exerce pas sur les barreaux non aimantés. Dans un aimant, le magnétisme n’est pas dispersé un peu partout. Il semble concentré dans certains pôles magnétiques (Nord et Sud). Ainsi, quand on a deux aimants, l’interaction entre pôles identiques est répulsive, et l’interaction entre pôles non identique est attractive. On peut alors faire une analogie avec les charges électriques car les pôles sont capables de s’attirer ou de se repousser. De plus, l’interaction varie aussi en 1/r2.

Mais contrairement aux charges, on peut avoir des charges positives et négatives séparément, ici il est impossible de séparer les pôles magnétiques. Si on brise un aimant, on conservera 2 pôles dans chaque morceau obtenu. En fait, interactions électriques et magnétiques sont liées, et représentent 2 aspects différents d’une seule propriété de la matière, la charge électrique. Le magnétisme est la manifestation des charges électriques en mouvement. Le magnétisme est donc associé à des charges électriques, en mouvement. Le magnétisme naturel s’explique par des charges, et notamment par la structure électrique de la matière. On a vu que les électrons autour du noyau constituent des charges électriques en mouvement. Comme les deux concepts (interaction électrique et interaction magnétique) sont très liés, on peut les considérer comme faisant partie d’un tout : l’interaction électromagnétique.

II. Force magnétique sur une charge en mouvement 1. Expression de la force magnétique Par analogie aux corps chargés électriquement, un aimant crée dans l’espace qui l’entoure un champ magnétique, qu’on définit comme une grandeur vectorielle B. Le champ magnétique est aussi appelé l’induction magnétique (on considère les deux expressions équivalentes). Comme pour le champ électrique, les lignes d’induction donnent la direction du champ magnétique, qui est tangent aux lignes d’induction.

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La mise en évidence de ces lignes d’induction est très facile : on prend un aimant, on interpose une feuille de papier sur laquelle on disperse de la limaille de fer, qui sous l’effet du champ magnétique va s’orienter, afin de dessiner les lignes d’induction. Comme pour le champ électrique, le champ magnétique est d’autant plus intense que les lignes d’induction sont serrées. cette expérience visualise aussi les pôles : les lignes d’induction sont donc les plus serrées aux pôles.

Par convention, les lignes de forces sont orientées à l’extérieur de l’aimant du pôle Nord vers le pôle Sud. Comme il y a une continuité dans le tracé des lignes, obligatoirement, à l’intérieur de l’aimant, c’est l’inverse, et les lignes de forces vont du pôle Sud vers le pôle Nord.

Du fait des 2 pôles, on peut définir un dipôle magnétique, auquel on associe un moment dipolaire magnétique μ, dirigé du Sud au Nord. Si on place l’aimant dans un champ magnétique B, on va avoir un couple de force qui s’exerce aux pôles de l’aimant. ces deux forces ont la même direction que B, et la même intensité.

La force qui s’exerce sur le pôle Nord est du même sens que B, et celle sur le pôle Sud est de sens opposé à B. Ce couple tend à aligner μ dans le sens de B. Le moment du couple de forces est : schéma, indiqué par une croix)).

Il part vers l’arrière du plan (voir

Sa norme est : M = μ.B.sinθ où θ est l’angle entre μ et B. Si on prend une charge au repos, et qu’on la place dans un champ magnétique B ; on observe la force gravitationnelle ou les forces électriques, mais aucune manifestation de la force magnétique. Si la charge se déplace dans le champ, là on voit apparaitre une force magnétique qui s’ajoute aux forces électriques et gravitationnelles. Cette force est donnée par :

Les vecteurs v et B, si on les dessine dans un plan P, comme fm est le produit vectoriel des deux, le vecteurs fm est orthogonal au plan formé par v et B.

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Le sens est donné soit par la règle de la main droite, celle des trois doigts, du tire bouchon ou de n’importe quelle règle qui définit un trièdre direct. Dans la règle des trois doigts, le pouce donne l’intensité, c’està-die la vitesse d’une charge positive, l’index donne le champ magnétique B et le majeur la force magnétique résultante.

Si la charge est négative, le sens de la force est inversé, puisque le sens de l’intensité est inversé. La norme de la force est

fm est donc = 0 quand la vitesse est nulle, quand le champ est nul, et également que v et B sont parallèles ou antiparallèles. La force magnétique est maximale quand le sinθ = 1, c’est-à-dire quand θ = π/2, c’est-à-dire quand v et B sont perpendiculaire. L’unité de champ B est le Tesla (kg.s-1.C-1). 1 Tesla correspond au champ magnétique qui produit une force de 1N sur une charge de 1C se déplaçant perpendiculairement au champ avec une vitesse de 1m/s. Quelques ordres de grandeur : - le champ magnétique terrestre est de l’ordre de 30 à 60 μT - un aimant de placard est de quelques dixièmes de T - les électroaimants sont de l’ordre de 20T Les champs les plus puissants que l’on peut créer aujourd’hui sont d’une centaine de T. On est loin de ce qu’il se crée dans la nature, par exemple le champs des étoiles à neutrons est de l’ordre de milliards de T. Comme la force magnétique est perpendiculaire à la vitesse, et donc au déplacement, le travail associé à la force magnétique est nul, puisqu’il s’agit du produit scalaire de la force par le déplacement :

S’il n’y a pas de travail, cela signifie qu’il n’y a pas de variations de l’énergie cinétique de la particule. Donc si on fait agir un champ sur une particule, on ne change pas sa vitesse. Quand une charge est soumise à la fois à un champ électrique et à un champ magnétique, on a une force résultante qui sera égale à la somme vectorielle des forces qui sont dues aux deux champs. La force résultante est appelé la Force de Lorentz :

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2. Applications : effet Hall Soit un ruban métallique parcouru par un courant I dans le sens de la longueur. On place le ruban dans un champ magnétique perpendiculaire au ruban. Sur le schéma, uniquement les partie en pointillées sont soumises au champ B. Comme on est dans un courant, on suppose que les porteurs de charge du courant sont les électrons animés d’une vitesse vd (qui est la vitesse de dérive). En amont de B, le courant circule dans l’intégralité du ruban, et il n’y a pas de forces particulières qui s’exerce. Mais sous l’effet de B, on a une force fm qui dévie les électrons vers le bas. Il en découle que le bord inférieur du ruban s’enrichit en électrons alors que le bord supérieur s’appauvrit en électrons. Il apparait alors une différence de potentiel Vr-Vs >0, qui génère un champ électrique E = (Vr-Vs)/d où d est la largeur du ruban. Si on a un champ, on a une force électrique fe = e.E qui s’oppose à fm. On s’oppose à l’effet de la force magnétique. Au fur et à mesure que la différence de potentiel augmente, le champ et donc fe augmentent (alors que fm ne varie pas), jusqu’à ce qu’on atteigne un état d’équilibre où fm = fe. Dans ce système, la somme des forces est nulle. A ce stade, il n’y a pas de séparation supplémentaire de charges et on atteint une différence de potentiel stable qu’on peut mesurer. Si on arrête l’application du champ magnétique, la force fm disparait, et le champ E encore présent tend à ré équilibrer le tout, fe va faire remonter les trajectoires en diminuant progressivement au fur et à mesure que la différence de potentiel tend vers 0. VM-VN = 0 La différence de potentiel mesurée (entre R et S) en présence de B est proportionnelle à la différence de charges entre les 2 bords du ruban et dépend donc du déplacement latéral des électrons dans le ruban et donc de fm. Comme fm dépend de B, on peut mesurer la différence de potentiel, et de déterminer la valeur de B. On a VR - VS = K.I.B

où

- I est l’intensité du courant - K est la constante déterminée par étalonnage avec des champs B connus

Dans quelques métaux et semi-conducteurs, on a un effet Hall avec une polarité inverse suggérant que ce sont des particules positives (lacunes électroniques) qui subisse l’effet du champ B. Le déplacement des lacunes est obtenu quand un électron voisin vient remplir une lacune, il crée une lacune dans son site d’origine, et ainsi de suite. Ces lacunes se déplacent dans le sens inverse des électrons sous l’effet du champ E et se comportent comme des charges positives.

3. Mouvement d’une charge dans un champ magnétique Soit une particule chargée de masse m, de chaque q et de vitesse v dans un champ B uniforme qui présente la même intensité et la même direction en chacun de ses points.

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On distingue 3 cas : 1) v parallèle à B, cas simple puisque sinθ = 0, donc fm = 0 et la charge poursuit sa trajectoire initiale sans déviation

2) v perpendiculaire à B : le déplacement se fait dans un plan P perpendiculaire à B. Pour un point quelconque de la trajectoire, fm est perpendiculaire à B et dévie le mouvement dans le plan P. fm va changer la direction du mouvement, mais la norme de la vitesse (car il n’y a pas de travail). On a affaire à un mouvement circulaire uniforme. On a une accélération centripète, fm est l’équivalent d’une force centripète aussi. On peut alors écrire : ω = vitesse angulaire v = vitesse linéaire

Le rayon dépend d’une part des caractéristiques de la particule (charge q, masse m) et d’autre part des conditions expérimentales (vitesse v et champ B). Si B est faible, la déviation est faible, et donc le rayon r sera important, on a un début d’incurvation. Si B est plus fort, on peut avoir une déviation de 90°, avec un rayon plus petit. Si B est encore plus fort, la trajectoire s’enroule sur elle-même, et le rayon sera d’autant plus petit que le champ est intense. Si on réarrange l’équation précédente : v/r = ω = (q.B)/m. La vitesse angulaire ω est indépendante de la vitesse linéaire v (mais du rapport de la vitesse sur le rayon), et ne dépend que du rapport q/m et de B. 3). v a une direction quelconque par rapport à B : On peut décomposer v en 2 composantes : - vx ⊥ à B - vy parallèle à B Comme vy et B sont parallèles, l’interaction est nulle, vy n’est pas déviée, et garde une valeur constante. Au contraire, l’interaction entre vx et B génère une force magnétique qui imprime à vx un mouvement circulaire autour de B. On a un mouvement uniforme circulaire sur l’axe des x, et un mouvement rectiligne uniforme sur l’axe de y. Ce qui nous donne un mouvement global hélicoïdal. Le pas de l’hélice (distance parcourue parallèlement à B pendant la durée d’un tour est :

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4. Spectromètre de masse Basé sur l’effet d’un champ magnétique B sur une charge en mouvement, le spectromètre de masse permet de mesurer très précisément la masse des atomes et des molécules. Les atomes et les molécules analysées sont à priori neutres, il faut donc les ioniser, et transformer le tout en un gaz en premier lieu. On obtient cette ionisation par des électrons accélérés, produit par un canon à électrons qui bombarde la molécule. Soit une molécule ionisée de charge q et de masse m ainsi produite. cette molécule après ionisation a une vitesse faible. Pour obtenir un faisceau d’ion, il faut accélérer, focaliser et sélectionner les ions grâce à un filtre de vitesses. Ce filtre est constitué de trois plaques. Les deux premières F et F’ accélèrent les ions, grâce à une différence de potentiel qui crée un champ et donc une force électrique sur les ions. Le signe de la différence de potentiel dépend de la charge des ions à accélérer. Selon le théorème de l’énergie cinétique, les ions sont soumis à la sortie de F’ à une vitesse v :

Les fentes F et F’ ont aussi un rôle mécanique pour délimiter la direction et la largeur du faisceau et éliminer les ions qui ne sont pas dans cette direction (évite d’avoir des incidences qui ne seraient pas perpendiculaires à celle des plaques). Les plaques F’ et F’’ vont sélectionner les ions qui ont une vitesse bien définie, donnée à l’aide d’un champ E et d’un champ B croisés (perpendiculaires l’un par rapport à l’autre). Sous l’effet de ces deux champs, les ions sont soumis à deux forces, d’abord une force électrique (dans le même sens) puis une force magnétique (perpendiculaire, vers la droite). la particule doit sortir par la fente de F’’ sans déviation : pour cela, les deux forces doivent être égales : On a fe = q.E = fb = q.v.B, il faut donc que q.E = q.v.B. On obtient ainsi que v = E / B

Seules les particules de vitesse v = E/B ne sont pas déviées et peuvent parvenir dans l’enceinte où règne B’ qui est perpendiculaire au plan du schéma. (Dans une variante de ce dispositif, il n’y a que les plaques F et F’. dans ce cas, on sépare les particules non pas de même vitesse, mais de même énergie.) Sous l’effet de B’, l’ion positif est soumis à une force fm qui confère un mouvement circulaire de rayon r = (m.v)/(q.B’) Sous l’effet de fm, l’ion effectue un demi-cercle et on visualise son impact sur une plaque photo (spectrograhe) ou un dispositif électronique (spectromètre), ce qui permet de mesurer r.

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On fixe B’ et V, on mesure r et on déduit le rapport q/m. Si on mesure indépendamment la charge, on peut alors déduire la valeur de m. La charge q est nécessairement un multiple entier de e. Quand on analyse un spectromètre de masse, on arrive facilement à savoir s’il y a une charge, deux ou trois, etc. Si on a un autre ion de même charge q mais de masse m’ différente, on aura : r’ = (m’.v) / (q.B’) Le rayon étant proportionnel à la masse, les particules lourdes auront donc les trajectoires les plus longues. On peut calculer la séparation des points d’impact entre es ions de masse m et m’ :

La spectrométrie de masse est donc la méthode de référence pour déterminer les masses moléculaires. C’est une méthode extrêmement précise. Le spectre de masse est caractéristique d’une molécule, il permet donc aussi d’identifier la molécule. On l’applique également pour déterminer la masse des isotopes, et la composition isotopique d’un élément (proportion d’isotopes). En biologie, on peut étudier par semi-conducteur la production de métabolites après administration d’un composé marqué par un isotope.

5. Le cyclotron L’autre application dans le domaine médical est le cyclotron. On a un accélérateur de particules qui agit de manière cyclique. Le cyclotron est formé de deux cavités cylindriques divisées en deux moitiés D1 et D2 : les dees. Les dees sont placées dans une enceinte sous vide où on applique un champ B uniforme perpendiculaire aux cavités. Une source d’ions S est placée au milieu de l’espace entre les 2 dees. Une différence de potentiel alternative est appliquée aux bornes de l’espace qui sépare les dees. Quand les ions positifs sont émis pendant que le D1 est positif, et D2 est négatif : les ions positifs seront soumis à l’effet d’un champ électrique, et seront attirés par D2. Quand ils sont vers D2, ils rentrent à l’intérieur du dee. Le dee est un conducteur, ce qui implique qu’à l’intérieur, il n’y a plus de champ électrique. Il n’y a de champ électrique que dans l’espace qui séparent les deux dees. Par contre, à l’intérieur des dees, il y a un champ magnétique : une forme magnétique va donc s’exercer sur l’ion qui imprime une trajectoire circulaire de rayon r = (m.v)/(q.B) La trajectoire circulaire implique que l’ion va revenir dans l’espace entre les dees. On a la vitesse angulaire : ω = (q.B)/m. Comme fm n’affecte pas la vitesse v, il n’y a pas d’accélération tangentielle.

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Comme on a un mouvement circulaire, l’ion revient vers D1 et repasse entre les des où règne le champ électrique oscillant. La différence de potentiel entre les dees oscille en résonance avec le mouvement circulaire des ions. Quand l’ion sort de D2, le potentiel de D1 est négatif et peut à nouveau accélérer l’ion et augmenter v. La vitesse n’est augmentée que dans l’espace entre les dees. La fréquence de la différence de potentiel est donc égale à celle du mouvement circulaire dans les dees : ω = 2.π.f Dans D1, l’ion décrit à nouveau un demi-cercle mais comme v a augmenté entre les dees, le rayon de ce demi-cercle est supérieur au précédent puisque r est proportionnel à v. Au fur et à mesure, le rayon augmente puisqu’à chaque fois on augmente la vitesse entre les dees. Ce mécanisme se répète un grand nombre de fois, la vitesse et donc, le rayon des ions augmentent jusqu’à atteindre une valeur maximale, le rayon RD des dees. Comme le champ B est fortement diminué au bord des dees, la particule se déplace tangentiellement et s’échappe à travers une ouverture adaptée, pour être détectée. La vitesse des ions à la sortie est :

vmax = (q.B.RD)/m

vmax ne dépend pas de la différence de potentiel entre les dees. La différence est que si la différence de potentiel est grande, on a un nombre réduite de révolutions. La vitesse angulaire ω = v/r = (q.B)/m est constante, puisque q, B et m sont constants. Il en résulte que la fréquence f de l’alternance des dees est constante : ω = 2.π.f Mais aux grandes vitesses (au delà de c/10), la masse change selon la relation relativiste : Avec m0 la masse au repos.

De ce fait, v et f changent : il n’y a plus de résonance entre les alternances des différences de potentiel et le mouvement circulaire des ions. Donc on ne peut pas accélérer avec un cyclotron normal des ions au delà de c/10. Pour obtenir des vitesses plus grandes, il y a deux possibilités : 1) Soit on façonne un champ B variable de sorte qu’à chaque valeur de r, ω puisse rester constant en dépit du changement de la masse, c’es le principe du synchrotron. 2) Soit on garde le champ B constant, mais en adaptant la fréquence appliquée aux dees, c’est le principe du synchrocyclotron. Les cyclotrons sont utilisés pour accélérer des protons ou des deutons qui sont envoyés sur des noyaux pour induire des réactions nucléaires afin de produire des radionucléides utilisés comme traceurs en milieu médical. Ces radionucléides sont produits en milieu hospitalier car on fabrique uniquement des isotopes à durée de vie très courte.

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Les synchrotrons sont utilisés pour produire un rayonnement électromagnétique, qu’on appelle le rayonnement synchrotron. Le synchrotron est composé d’un tore (ou anneau de stockage) et d’un accélérateur de particules. Il n’en existe que quelques uns dans le monde. Un paquet d’électrons est d’abord accéléré dans un accélérateur linéaire (Linac) jusqu’à une vitesse très proche de c. Puis, le faisceau d’ élec tr ons pas se dans un accélérateur circulaire = anneau d’ ac c él ér ati on qui augm ente l’énergie des électrons jusqu’à environs 2 GeV Quand les électrons ont atteints l’énergie voulue, ils sont injectés dans l’anneau de stockage, (plusieurs centaines de mètres de circonférence), où ils vont faire des centaines de milliers de tours/s. L’anneau de stockage n’est pas parfaitement circulaire. Il est constitué de segments. A la jonction entre deux segments, un aimant de courbure génère un champ B de 1 à 2T perpendiculaire à la trajectoire des électrons. L’intérêt : au niveau des aimants de courbure, les électrons subissent une accélération qui permet de générer un rayonnement de freinage : le rayonnement synchrotron, qui est polychromatique et tan...