386202423 ejercicio resuelto escaleras helicoidales PDF

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VIGA CURVA HELICOIDAL EJEMPLO...

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3.3.16 Cálculo de los esfuerzos internos de la viga helicoidal mediante el método de W. Fuchssteiner – Darmstadt

DATOS.Geometría Angulo de la elevación Angulo horizontal Ancho de la sección Espesor de la sección Radio al eje de la sección Contrahuella

α = 26.5˚ ϕ = 180˚ b = 2.40m h = 0.15m r = 3.0m CH = 0.18m

Materiales E = 2100000 kg/cm2 ϒ = 2500 kg / m3

Módulo de elasticidad Peso específico Cargas Carga de acabados

g1 = 300 kg/m2

Sobrecarga

p = 500 kg/m2

a) Cálculo de las simplificaciones “a”, “C” Coeficientes que pueden ser determinados mediante las expresiones que se detallan en la ecuación 9, entonces se tiene: 𝑎=

𝐼ᵪ 𝐼ᵧ

;

1 𝐶 = (1 − 𝑐𝑜𝑠 2 𝛼)(1 − 𝑎) 2

Las expresiones correspondientes a las inercias que se indican vienen dadas por las siguientes expresiones: 𝐼ᵪ =

1 𝑏 ℎ3 12

;

𝐼ᵧ =

1 ℎ 𝑏3 12

De tal forma que reemplazando valores y realizando operaciones, se obtiene: 𝐼ᵪ =

𝐼ᵧ =

1 2,40 (0.15)3 12

1 0.15 (2.40)3 12

𝐼ᵪ = 0,000675 𝑚4 𝐼ᵧ = 0,1728 𝑚4

Por último reemplazando en las formulas correspondientes, se tiene:

0,000675 𝑎 = 0.1728 𝐶 = (1 −

𝑎 = 0,00391

1 𝑐𝑜𝑠 2 26,5) (1 − 0.00391) 2

𝐶 = 0,597

b) Cálculo de la carga última “q” uniformemente distribuida La carga “q” resultante de la combinación de la carga muerta (peso propio de la estructura) y la sobrecarga de uso; está dada según la ecuación 12.

ℎ ) ϒ 𝐻˚ + 𝑔₁ 𝑔=( 𝑐𝑜𝑠𝛼 𝑞 = 𝑏 (𝑔 + 𝑝)

0.15 𝑚 ) 2500𝑘𝑔/𝑚3 + 300𝑘𝑔/𝑚2 𝑔=( 𝑐𝑜𝑠26,5

𝑞 = 2,40𝑚 [(719.025𝑘𝑔/𝑚2 + 500𝑘𝑔/𝑚2 ]

𝑔 = 719,025𝑘𝑔/𝑚2

𝑞 = 2925,66𝑘𝑔/𝑚

c) Cálculo de la excentricidad “e” y la relación “e/r” La excentricidad se calcula utilizando la expresión de la ecuación 13, entonces: 𝑒= 𝑒=

(2,40𝑚)2 12 (3,20𝑚)

𝑒 0,15𝑚 = 𝑟 3,20𝑚

𝑏2 12 𝑟

d) Cálculo de las deformaciones δ₅₅, 𝜹₅₆ y δ₆₆

𝑒 = 0.15𝑚 𝑒 = 0,0469 𝑟

Las expresiones que permiten calcular las deformaciones δ₅₅, 𝛿₅₆ y δ₆₆ se hallan detalladas en la ecuación 10, reemplazando valores en estas se obtienen: 1

1 (2 − 3𝐶 − 2𝑎)(𝑠𝑒𝑛2𝜑0 − 2𝜑0 𝑐𝑜𝑠2𝜑0 )] + 1 𝐶 𝜑02 𝑠𝑒𝑛2𝜑 − 4 3 2 1 (2𝐶 − 1 + 3𝑎 )(2𝜑0 − 𝑠𝑒𝑛2𝜑0 ) 4

𝛿 55 = 𝑡𝑔2 𝛼 [

(2 − 𝐶)𝜑03 −

1 𝜋 3 1 𝜋 2 1 (2 − 0,597) (90 ) − 0.597 (90 ) 𝑠𝑒𝑛 2(90) − (2 − 3(0.597) − 2(0,00391)) 2 4 3 180 2 180 𝛿₅₅ = 𝑡𝑔 26.5 [ ] 𝜋 ) cos 2(90)) (𝑠𝑒𝑛 2(90) − 2 (90 180 + (2(90) − 1 + 3(0,00391)(2 (90 1

4

𝜋

180

) − 𝑠𝑒𝑛2(90))

𝛿₅₅ = 11.22326 Siguiendo el mismo procedimiento que en el caso anterior, se obtienen las deformaciones restantes. 1 𝜋 ) − 𝑠𝑒𝑛180) + 0,597(𝑠𝑒𝑛180 𝛿₅₆ = − 𝑡𝑔26.5 [2(1 − 0,597 − 0,00391) (2 (90 180 4 𝜋 )𝑐𝑜𝑠180)] − 2 (90 180 𝛿₅₆ = −0.54215

𝛿₆₆ = (2 − 0,597) (90

𝜋

180

) + 2 (0.597) 𝑠𝑒𝑛 180 1

e) Cálculo de las deformaciones 𝜹₀₅ y δ₀₆

𝛿₆₆ = 2.20383

𝑒 𝛿₀₅ = 2𝑞𝑟 2 𝑡𝑔𝛼 [(4 − 3𝐶 − 𝑎 + )(𝑠𝑒𝑛𝜑₀ − 𝜑₀𝑐𝑜𝑠𝜑₀) − (1 − 𝐶) 𝜑02 𝑠𝑒𝑛𝜑₀] 𝑟

Estas deformaciones se obtienen utilizando las expresiones de la ecuación 15.

𝛿₀₅ = 2 ∗ 2925,66

∗ 3.202 𝑡𝑔26.5 [

𝛿₀₅ = 379.2556

(4 − 3 ∗ 0,597 − 0,00391 + 0,0469)(𝑠𝑒𝑛90 − (90 −(1 − 0,597) (90

Procediendo como en el anterior caso, se obtiene:

𝜋 2 ) 𝑠𝑒𝑛90) 180

𝜋

)𝑐𝑜𝑠90) 180 ]

𝑒 𝛿₀₆ = 2𝑞𝑟 2 [(1 − 𝐶)𝜑₀ 𝑐𝑜𝑠𝜑₀ − (2 − 𝐶 + ) 𝑠𝑒𝑛𝜑₀] 2 𝜋 𝛿₀₆ = 2 ∗ 2925,66 ∗ 3.202 [(1 − 0,597) (90 180) 𝑐𝑜𝑠90 − (2 − 0.597 + 0,0469)𝑠𝑒𝑛90] 𝛿₀₆ = −86874.41

f) Cálculo de la incógnitas hiperestáticas X₅ y X₆ X₅ y X₆ se obtienen mediante las fórmulas de la ecuación 11. 𝑋₅ =

−𝛿₀₅ 𝛿₆₆ + 𝛿₀₆ 𝛿₅₆ 𝛿₅₅ 𝛿₆₆ − 𝛿₅₆ 𝛿₅₆

;

𝑋₆ =

𝑋₅ =

−379.2556 ∗ 2.20383 + 86874.41 ∗ 0.54215 = 1848.45 11.22326 ∗ 2.20383 + 0.54215 ∗ 0.54215

𝑋6 =

86874.41 ∗ 11.22326 − 379.2556 ∗ 0.54215 = 38948.59 11.22326 ∗ 2.20383 + 0.54215 ∗ 0.54215

−𝛿₀₆ 𝛿₅₅ + 𝛿₀₅ 𝛿₅₆ 𝛿₅₅ 𝛿₆₆ − 𝛿₅₆ 𝛿₅₆

g) Cálculo de la función ƒ (ϕ) Esta función que depende de la carga, se determina mediante la ecuación 14. ƒ(𝜑) = −𝑞𝑟 (𝑟 + 𝑒)

ƒ(𝜑) = −2925,66 ∗ 3.20 (3.20 + 0.15) = −31363.07

h) Determinación de las ecuaciones N, Qᵪ, Qᵧ, Mt, Mᵪ y Mᵧ en función de ϕ Estas ecuaciones son halladas utilizando las expresiones de la ecuación 16, de tal forma que: 𝑁 = 𝑟 𝑞 𝜑 𝑠𝑒𝑛𝛼 −

𝑋5

𝑄𝑥 = 𝑟 𝑞 𝜑 𝑐𝑜𝑠𝛼 + 𝑄𝑦 =

𝑟

𝑐𝑜𝑠𝛼 𝑠𝑒𝑛𝜑

𝑋5 𝑠𝑒𝑛𝛼 𝑠𝑒𝑛𝜑 𝑟

𝑋5 𝑐𝑜𝑠𝜑 𝑟

𝑀𝑡 = 𝑐𝑜𝑠𝛼 (𝑟 2 𝑞 𝜑 − 𝑋6 𝑠𝑒𝑛𝜑) − 𝑋5 𝑠𝑒𝑛𝜑 (𝜑 𝑐𝑜𝑠𝜑 − 𝑠𝑒𝑛𝜑)

𝑀𝑥 = ƒ(𝜑) = −𝑋5 𝑡𝑔𝛼 𝜑 𝑠𝑒𝑛𝜑 + 𝑋6 𝑐𝑜𝑠𝜑

Para 𝝋 = 𝟎°

𝑀𝑦 = −𝑠𝑒𝑛𝛼 (𝑟 2 𝑞 𝜑 − 𝑋5 𝑡𝑔𝛼 𝜑 𝑐𝑜𝑠𝜑 − 𝑋6 𝑠𝑒𝑛𝜑) + 𝑋5 𝑐𝑜𝑠𝛼 𝑠𝑒𝑛𝜑

𝑁 = 4770.35 𝑘𝑔

Para 𝝋 = 𝟗𝟎°

𝑁 = 1912.01 𝑘𝑔

Para 𝝋 = 𝟏𝟖𝟎°

𝑁 = 4089.32 𝑘𝑔

𝑄𝑥 = 1287.72 𝑘𝑔

𝑄𝑥 = 600.82 𝑘𝑔

𝑀𝑡 = 1781.61 𝑘𝑔 𝑚

𝑀𝑡 = 16.97 𝑘𝑔 𝑚

𝑀𝑡 = 1769.52 𝑘𝑔 𝑚

𝑀𝑦 = 8875.64 𝑘𝑔 𝑚

𝑀𝑦 = 1358.08 𝑘𝑔 𝑚

𝑄𝑦 = 297.13 𝑘𝑔

𝑀𝑥 = 4486.06 𝑘𝑔 𝑚

𝑀𝑦 = 8601.02 𝑘𝑔 𝑚

𝑄𝑦 = 134.74 𝑘𝑔

𝑀𝑥 = 564.82 𝑘𝑔 𝑚

𝑄𝑥 = 1014.03 𝑘𝑔

𝑄𝑦 = 330.57 𝑘𝑔

𝑀𝑥 = 4482.05 𝑘𝑔 𝑚...