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CÁLCULO Actividad 1. WIKI

ALEJANDRA GUZMAN BIDEGAIN Ingeniería Industrial

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Índice.

Clasificación y propiedades de los Números 1. Clasificación de los números

Pág. 3

2. Propiedades de los números reales

Pág. 4

Desigualdades 1. Definición

Pág. 5

2. Propiedades

Pág. 6

3. Clasificación

Pág. 7

Funciones y Variables 1. Definición de Función

Pág. 7

2. Definición de Variable

Pág. 9

3. Clasificación de funciones

Pág. 10

Resumen

Pág. 12

Referencias

Pág. 13

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Clasificación de los Números 

Los Números Naturales «N» son todos los números mayores de cero* (algunos autores incluyen también el 0) que sirven para contar. No pueden tener parte decimal, fraccionaria, ni imaginaria. N= [1, 2, 3, 4, 5…]



Los Números Enteros «Z» incluye al conjunto de los números naturales, al cero* y a sus opuestos (los números negativos). Es decir: Z = […-2, -1, 0, 1, 2…]



Los Números Racionales «Q» son aquellos que pueden expresarse como una fracción de dos números enteros. Por ejemplo: Q = [¼, ¾, etc.]



Los Números Irracionales «I» es un número que no se puede escribir en fracción - el decimal sigue para siempre sin repetirse. Por ejemplo: el valor de PI: 3,1415926535897932384626433832795 (y más…)



Los Números Reales «R» se definen como todos los números que pueden expresarse en una línea continua, por tanto, incluye a los conjuntos anteriores y además a los números irracionales como el número «∏» y «e».



Los Números Complejos «C» incluye todos los números anteriores más el número imaginario». C = [N, Z, Q, R, I].

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Propiedades de los Números Reales Números reales El campo de los números reales es un conjunto que se compone de los subconjuntos de los números naturales, enteros racionales e irracionales. Se definen comúnmente dos operaciones: suma y producto. La representación de subconjuntos para los números reales es N c Z c Q c R Sus propiedades respecto a las operaciones de suma y producto: Conmutativa, asociativa, distributiva, elemento neutro, elemento simétrico Cualquier ecuación en los reales, no tiene forzosamente sus raíces en los reales, por ello, no son algebraicamente cerrados El número tiene una representación de acuerdo con su naturaleza (natural o entero) y tiene un valor absoluto Se representan en la recta real. Los números reales llenan completamente esta recta.

El conjugado de un número real es él mismo número. Para un número real, su módulo es igual al valor absoluto de dicho número |5| = 5 |-5 |= 5

Las propiedades que existen en los números reales son indispensables tanto por la ordenación de los números, como también para poder hacer soluciones a los problemas matemáticos que se nos pueda dificultar. Así también los podemos observar y comprender mejor, como obtener soluciones y como es su representación.

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En estas tenemos los axiomas las cuales son las siguientes: • Asociativa suma: (a+b)+c = a+(b+c) • Conmutativa suma: a+b=b+a • Conmutativa multiplicación: a*b= b*a • Asociativa multiplicación: a(bc)=(a*b)=c • Distributiva: a(b+c)=ab+ac • Elemento neutro aditivo: a+0=a • Elemento neutro multiplicativo: a*1=a • Elemento inverso aditivo: a+(-a)=a • Elemento inverso multiplicativo: a*a-1= 1 o (a* 1/a 1)

Definición de Desigualdad Dos expresiones conectadas mediante los signos < (menor que), ≤ (menor igual), > (mayor que), ≥(mayor igual ),o bien el signo ≠ (diferente) forman una desigualdad o inecuación , puesto que en las ecuaciones solamente se hace uso del símbolo de igualdad =. a ≠ b expresa que a es diferente de b Hay otros símbolos especiales que muestran en qué sentido las cosas no son iguales. a < b dice que a es menor que b a > b dice que a es mayor que b a ≤ b significa que a es menor o igual que b a ≥ b significa que a es mayor o igual que b

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Propiedades de las Desigualdades Transitividad Para números reales arbitrarios a,b y c: 

Si a > b y b > c entonces a > c.



Si a < b y b < c entonces a < c.



Si a > b y b = c entonces a > c.



Si a < b y b = c entonces a < c.

Adición y sustracción Para números reales arbitrarios a,b y c: 

Si a < b entonces a + c < b + c y a − c < b − c.



Si a > b entonces a + c > b + c y a − c > b − c.

Multiplicación y división Para números reales arbitrarios a y b, y c diferente de cero: 

Si c es positivo y a < b entonces ac < bc y a/c < b/c.



Si c es negativo y a < b entonces ac > bc y a/c > b/c.

Opuesto Para números reales arbitrarios a y b: 

Si a < b entonces −a > −b.



Si a > b entonces −a < −b.

Recíproco Para números reales a y b distintos de cero, ambos positivos o negativos a la vez: 

Si a < b entonces 1/a > 1/b.



Si a > b entonces 1/a < 1/b.



Si a y b son de distinto signo: o

Si a < b entonces 1/a < 1/b.

o

Si a > b entonces 1/a > 1/b.

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Clasificación de las desigualdades Las desigualdades se clasifican de la siguiente manera: -

Desigualdades lineales: Estas solamente tienen la variable a la primera potencia. 3(2x−1)>4+5(x−1)

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Desigualdades lineales dobles: Son desigualdades lineales que contienen dos signos de comparación. 4x+1≥35x>10−7x

-

Desigualdades cuadráticas: Son aquellas que uno de sus miembros o los dos miembros aparecen con un término cuadrático. 3x2−x>0

-

Desigualdades racionales: Son todas aquellas que aparecen consientes con variable en el denominador o en su numerador. (x+4)/(x−2)≥0

Definición de Función Cuando dos cantidades están ligadas de tal manera, que, dándose el valor de una de ellas, se pueda determinar el valor correspondiente de la otra, se dice que cada una de las variables es función de la otra. Si y se expresa inmediatamente, como en las ecuaciones siguientes: a y ϭ ax , y ϭ ᎏᎏ , y ϭ x x n , y ϭ log x , y ϭ a sen x se dice que y es una función explícita de x , y se emplean las notaciones y ϭ f ( x ), y ϭ F ( x )». En análisis matemático, el concepto general de función, aplicación o mapeo se refiere a una regla que asigna a cada elemento de un primer conjunto un único elemento de un segundo conjunto. Por ejemplo, cada número entero posee un único cuadrado, que resulta ser un número natural (incluyendo el cero): 1 … −2 → +4, −1 → +1, 0 → 0, +1 → +1, +2 → +4, +3 → +9, …

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Esta asignación constituye una función entre el conjunto de los números enteros Z y el conjunto de los números naturales N. Aunque las funciones que manipulan números son las más conocidas, no son el único ejemplo: puede imaginarse una función que a cada palabra del español le asigne su letra inicial: …, Estación → E, Museo → M, Arroyo → A, Rosa → R, Avión → A, …

Esta es una función entre el conjunto de las palabras del español y el conjunto de las letras del alfabeto español. La manera habitual de denotar una función f es: f: A → B a → f(a),

donde A es el dominio de la función f, su primer conjunto o conjunto de partida; y B es el condominio de f, su segundo conjunto o conjunto de llegada. Por f(a) se denota la regla o algoritmo para obtener la imagen de un cierto objeto arbitrario a del dominio A, es decir, el (único) objeto de B que le corresponde. Una función puede representarse de diversas formas: mediante el citado algoritmo o ecuaciones para obtener la imagen de cada elemento, mediante una tabla de valores que empareje cada valor de la variable independiente con su imagen —como las mostradas arriba— , o como una gráfica que dé una imagen de la función.

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¿Qué son las variables? Una variable x es una cantidad medible que aumenta o disminuye. Representan el movimiento de los fenómenos físicos y geométricos que se estudian a través del cálculo diferencial Adoptan sus movimientos desde diferentes contextos: Aritmético: Se conciben como números reales contenidos en la recta real. En un segmento de recta, la variable x se mueve en el intervalo ( a, b ) tomando cualquier cantidad de valores. La variación de x en el intervalo ( a, b ) es supuesto por la cantidad de valores que es susceptible de tomar. Geométrico: Las variables, como x, se asignan a las cantidades que cambian o adquieren movimiento en las figuras geométricas. Las figuras suelen ser puntos, distancias, áreas, ángulos, volúmenes. Otra característica importante es que las magnitudes geométricas, pueden idealizar cantidades físicas reales. Por ejemplo, longitudes en el diseño de una caja o el vuelo de un avión. Las variables pueden representar entidades físicas reales. Por ejemplo, la variable x da significado a la cantidad de bacterias que crecen en un cultivo (la cantidad de bacterias aumenta) o bien x representa la desintegración del carbono-14 en determinado periodo de tiempo (la cantidad carbono-14 disminuye).

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Clasificación de Funciones Función Explícita y Función Implícita

Son funciones explícitas las expresadas a través de fórmulas y estas señalan las operaciones que se efectúan a la variable independiente para llegar a determinar la variable dependiente. En caso contrario, se le denominan funciones implícitas. Ejemplo de funciones explícitas:

Ejemplo de implícitas:

Funciones algebraicas Son aquellas en las que las variables se sujetan a las operaciones cotidianas de suma, resta, multiplicación, división, elevación a potencia de exponentes constantes y enteros, así como extracción de raíces constantes y enteras, o bien aquellas expresiones que son solución de una ecuación algebraica.

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Función Constante y Lineal La expresión y=a o bien y=5 es denominada función constante Mientras que y=ax es una función lineal La función y=x se le identifica como función de identidad Cada una de estas funciones se puede formular como una función polinomial. Ejemplo: Si tenemos que y=a+x la convertimos a una polinomial y-x=a Una función racional se escribe como el cociente de dos funciones polinómicas de la siguiente forma:

Función polinomial Es importante considerar las funciones algebraicas como polinomiales debido a que de ellas se desprenden otras funciones muy útiles, como son la función cuadrática.

Funciones irracionales Las funciones que contienen radicales son llamadas irracionales Funciones uniformes y multiformes Si a cada valor de la variable independiente le corresponde un solo valor de la imagen f ( x ), se dice que la función es uniforme . Si le corresponden dos o más valores no se trata de una función sino de una relación o fórmula llamada comúnmente multiforme. Funciones trascendentes Las funciones elementales trascendentes son aquellas que no se pueden expresar en forma algebraica. Estas se componen de funciones exponenciales, logarítmicas y trigonométricas inversas, trigonométricas directas entre otras.

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Resumen

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Referencias Camacho, A. (2010). Cálculo diferencial. España: Ediciones Díaz de Santos. Recuperado de: http://site.ebrary.com/lib/vallemexicosp/reader.action?docID=10390596 Isaías González Jiménez, Viviana Marin Madrigal . (Diciembre 2011). Propiedades de los Números Reales. 13 de diciembre 2011, de Mago_9292 Sitio web: https://sites.google.com/site/mago9292/unidad-1numeros-reales/1-3---propiedades-de-los-numeros-reales Imagen recuperada desde https://www.saberespractico.com/matematicas/tipos-de-numerosclasificacion/ Números reales y complejos. Tomado desde https://www.hiru.eus/es/matematicas/numeros-reales-ycomplejos Rees, P. (2011). Álgebra contemporánea. México: McGraw-Hill Interamericana. imagen tomada desde (https://www.hiru.eus/es/matematicas/numeros-reales-y-complejos) Camacho, Alberto. Cálculo diferencial, Ediciones Díaz de Santos, 2010. ProQuest Ebook Central, http://ebookcentral.proquest.com/lib/vallemexicosp/detail.action?docID=3189400. Imágenes recuperadas desde http://www.universoformulas.com/matematicas/analisis/variabledependiente/

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