Análise Fatorial e Combinatória PDF

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Análise fatorial, combinatória, exemplificado e explicado, com atividades e exercicios para facil compreensão...

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Fatorial

O fatorial de um número natural é a multiplicação desse número por todos os seus antecessores maiores que zero. Utilizamos o fatorial de um número para resolver problemas da análise combinatória ligados ao princípio multiplicativo. Ele aparece nas fórmulas combinação e arranjo, permutação, entre outras situações. Para calcular o fatorial de um número, basta encontrar o produto da multiplicação feita entre esse número e os seus antecessores maiores que zero. Durante a resolução de problemas, é bastante comum utilizarmos a simplificação do fatorial quando há uma fração com fatorial de um número tanto no numerador quanto no denominador. O que é fatorial?

Fatorial de um número n. O fatorial de um número natural n é representado por n! (lê-se: n fatorial), que nada mais é que a multiplicação de n por todos os seus antecessores maiores que 0. n! = n · (n – 1) · (n – 2) · … · 2 · 1 Essa operação é bastante comum em problemas envolvendo contagem estudados na análise combinatória. A notação n! é uma maneira mais simples para a representação da multiplicação de um número pelos seus antecessores. Cálculo do fatorial Para encontrar a resposta do fatorial de um número, basta calcularmos o produto, veja, a seguir, alguns exemplos. Exemplos: 2! = 2 · 1 = 2 3! = 3 · 2 · 1 = 6 4! = 4 · 3 · 2 · 1 = 24 5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120 6! = 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 720 7! = 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 5040 Existem dois casos particulares, resolvidos por definição: 1! = 1 0! = 1 Operações com fatorial Para realizar as operações entre o fatorial de dois ou mais números, é necessário o cálculo do fatorial para, depois, fazer a conta em si: Exemplos:  Adição 5! + 3! = (5 · 4 · 3 · 2 · 1) + (3 · 2 · 1) = 120 + 6 = 126 Na adição, não é possível somar os números antes de calcular o fatorial, ou seja, 5! + 3! ≠ 8!  Subtração 6! – 4! = (6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1) – (4 · 3 · 2 · 1) = 720 – 24 = 696 Note que, assim como na adição, subtrair os números antes de calcular o fatorial seria um erro, pois 6! – 4! ≠ 2!  Multiplicação 3! · 4! = (3 · 2 · 1) · (4 · 3 · 2 · 1) = 6 · 24 = 144 É possível perceber que, na multiplicação, também 3! · 4! ≠ 12!  Divisão 6!: 3! = (6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1) : (3 · 2 · 1) = 720 : 6 = 120 Por fim, na divisão, seguimos o mesmo raciocínio — 6! : 3! ≠ 2!. De modo geral, nunca podemos realizar as operações básicas antes de calcular o fatorial. Passo a passo para simplificação de fatorial Sempre que existir uma divisão entre o fatorial de dois números, é possível resolver realizando a simplificação. Para isso, vamos seguir alguns passos:

1º passo: encontrar o maior fatorial na divisão. 2º passo: realizar a multiplicação do maior fatorial pelos seus antecessores até que apareça um mesmo fatorial no numerador e no denominador.  3º passo: fazer a simplificação e resolver o restante da operação. Veja, na prática, como fazer a simplificação: Exemplo 1:  

= Exemplo 2: =

=

=

=>7 · 6 · 5 = 210

=>

Fatorial na análise combinatória Na análise combinatória, o fatorial está presente no cálculo de todas os três principais agrupamentos, são eles a permutação, a combinação e o arranjo. Entender o que é o fatorial de um número é base para a maioria dos cálculos da análise combinatória. Veja as principais fórmulas da análise combinatória.  Permutação simples Conhecemos como permutação simples, de n elementos, todas as sequências possíveis que podemos formar com esses n elementos.

P n = n! Exemplo: De quantas maneiras distintas 5 pessoas podem formar uma fila em linha reta? Estamos calculando uma permutação com 5 elementos. P5 = 5! P5 = 5 · 4 · 3 · 2 · 1 P5 = 120  Arranjo simples Para calcular o arranjo, também usamos o fatorial de um número. Conhecemos como arranjo simples de n elementos, tomados de k em k, todas as sequências possíveis que podemos formar com k elementos escolhidos entre os n elementos do conjunto, sendo n > k. Para calcular a quantidade de arranjos, utilizamos a fórmula:

Exemplo: Em uma competição, foram inscritos 20 atletas. Supondo que todos são igualmente capazes, de quantas maneiras distintas o pódio com 1º, 2º e 3º lugares pode ser formado? Dados os 20 elementos, queremos encontrar o total de sequências que podemos formar com 3 elementos. Então, esse é um arranjo de 20 elementos tomados de 3 em 3.

 Combinação simples A combinação também é calculada utilizando fatorial. Dado um conjunto de n elementos, definimos como combinação todos os conjuntos não ordenados que podemos formar com k elementos, em que n > k. Fórmula da combinação simples:

Exemplo: Em uma escola, dos 8 alunos classificados para a OBMEP, 2 serão premiados por um sorteio realizado pela instituição. Os sorteados receberão uma cesta de café da manhã. De quantas maneiras distintas a dupla premiada pode ocorrer? Estamos calculando a combinação de 8 elementos tomados de 2 em 2.

Equação fatorial Além das operações, podemos encontrar equações que envolvem o fatorial de um número. Para resolver equações nesse sentido, buscamos isolar a incógnita. Exemplo 1: x + 4 = 5! Nesse caso mais simples, basta calcular o valor de 5! e isolar a incógnita. x+4=5·4·3·2·1 x + 4 = 120 x = 120 – 4 x = 116 Exemplo 2:

Primeiro vamos simplificar a divisão entre fatoriais:

Agora, multiplicando cruzado, temos que: 1·n=1·4 n=4 Lista de exercícios Fatorial e Permutação: 1)

PERMUTAÇÃO SIMPLES 1- Calcule: a) P7= b) P4= c) P2

. P5=

2)

d) P10 / P8 =

e) P7 / P5=

2 – Seis amigos (Zé, Ton, Will, Bill e Xavier) irão se posicionar para uma foto de quantas maneiras eles podem se posicionar.

ANAGRAMAS SEM REPETIÇÕES 1 - Calcule quantos anagramas tem as palavras: a) LISTA b) SABER c) BLOG d) AMOR 2 – Quantas palavras (com significados ou não) de três letras podemos formar com as letras A, O e M? Quais são elas? 3 – Quantos anagramas tem as palavras LUZ, DEUS e SAÚDE? PERMUTAÇÃO COM REPETIÇÕES 1 – Calcule quantos anagramas possui as palavras: a)PORTO

b) BATATA c) PANTANAL d) COTONETE e)DEZESSETE

f)CAMARADA

g)ARARAQUARA

2- Calcule os anagramas dos palíndromos:

a) RADAR

b) REVIVER c) 505

d)42924

4 – Dado a sequência numérica, 2 4 2 3 3 2 7 , calcule: a) quantos são as permutações b) quantos números PARES podem ser obtidos na permutação 5 – Considere as permutações dos algarismos do número 3 2 6 3 1 2 , determine quantos: a) são números PARES

b) são números IMPARES...