Análisis Matemático I Unidad III- LIMITES PDF

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Definicion teorica de limites, propiedades de los limites, algebra de limites, teorema de cauchy, teorema de Bolzano de ceros, tipos de discontinuidad...

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UNIDAD III: LÍMITE Y CONTINUIDAD Límite de una función en un punto:  Definición informal 1: es el valor al que tiende la función cuando nos acercamos a un x cualquiera por derecha y por izquierda. A cada valor de x dentro del entorno le corresponde un valor de y dentro del entorno de L . Al concepto de límites no le importa lo que sucede en ese punto, mas si en su entorno. Es decir que la función puede o no estar definida en ese punto y el límite existir.  Definición informal 2: el hecho de que una función f(x) tenga un límite L en un punto a, quiere decir que el valor de f puede ser tan cercano a L como se desee, tomando puntos suficientemente cercanos a a, independientemente de lo que pase en a.  Definición formal: la función f(x) tiene como límite a L en un punto de acumulación x=a, cuando el valor absoluto de la diferencia a entre los valores f(x) y L se puede hacer tan pequeño como se quiera con tal de considerar valores de x suficientemente próximos a a.  Simbólicamente: el límite L de una función cuando x tiende a a existe si y sólo si para todo épsilon mayor a cero existe un delta mayor a cero tal que para todo x perteneciente al dominio de la función cero es menor que | | y menor | es menor a épsilon. que delta si | | | | | Álgebra de límites: componiendo funciones el límite resultante de esa composición es igual a los límites de las funciones operados de igual manera que las funciones durante la composición. Teoremas: donde entonces: y Si [ ]  

[

] para todo c perteneciente a los reales.

 

[

] [

] [

]



para todo L2 distinto de cero.



no existe si



[ ]

[

]

si

es un número natural.

Propiedades de los límites: 1. Si dos funciones toman valores iguales en un entorno reducido de un punto de acumulación x=a y una de ellas tiene un límite L en ese punto a entonces la otra también tendrá ese límite en a. 2. Si una función tiene límite en un punto, ese límite es único. 3. Si una función tiene límite l en un punto, en un entorno reducido del mismo, la función toma valores menores que cualquier valor número mayor que el límite y mayores que cualquier número menor que el límite. Técnicas para calcular límites:  Si se trata de una función usual (como la polinómica, racional, exponencial, radical, logarítmicas, etcétera) se suele cumplir que:  

Para calcular el límite en una función a trozos se calculan los limites laterales del punto donde se unen los trozos. Si son iguales existe el límite, caso contrario no. Límite cuando x tiende a infinito: para calcular reemplazamos x por infinito. o Funciones polinómicas en el infinito: el límite de es o dependiendo si el término de grado mayor es positivo o negativo. o Límite cuando x tiende a menos infinito: o

Límite de una función exponencial:  Si a > 0

o

   Si 0 < a < 1   Función logarítmica:  Si a > 0    Si 0 < a < 1  

Infinitésimo: una función de x es un infinitésimo para x cuando ésta tiende a un número a cuando en ese punto el límite es igual a cero. Simbólicamente:  f(x) es un infinitésimo para  f(x) es un infinitésimo para cuando Infinitos: Estudio de la existencia de límites en una función: para saber si un límite existe en un punto o no, se toman los límites laterales de ese punto. Si estos concuerdan el límite existe, caso contrario no. Continuidad:  Función continua en un punto: una función es continua en un punto de acumulación si se cumplen las siguientes condiciones. o La función está definida en ese punto. o La función tiene límite finito en ese punto. o El valor de la función en ese punto es igual al valor del límite, también en ese punto. Las anteriores condiciones quedan expresadas mediante la siguiente igualdad: es continua en  Función continua en un intervalo: una función es continua en un intervalo si la misma es continua en todos los puntos de dicho intervalo. Teorema de Bolzano de ceros: “si una función es continua y toma valores de signo contrario en los extremos del mismo, existe por lo menos un punto interior del intervalo en que la función toma el valor cero”. Teorema de Cauchy: “si f(x) es continua en el intervalo [a;b] y , la función toma cada valor k comprendido entre f(a) y f(b) por lo menos una vez en un punto interior del intervalo”. Primer teorema de Welertrass: “una función continua en un intervalo está acotada en él. Se ratifica al observar la gráfica de toda función continua en un intervalo, pues ningún punto puede superar cualquier valor”. Tipos de discontinuidad:  Evitable: una función presenta discontinuidad evitable en un punto a, cuando el límite en ese punto existe pero el valor de la función en el mismo es distinto o no está definido en ese punto a. Sabiendo que una función es continua en un punto cuando el límite en un punto es igual a la función valuada en ese mismo punto podemos evitar la discontinuidad asignándole a la función valuada en ese punto el valor del límite en ése mismo punto.  Esencial o no evitable: o De salto finito: existe el límite por izquierda y derecha de un punto, su valor es finito pero no son iguales. Si la función tiende a c, cuando x tiende al punto a por la izquierda, y tiende a d cuando lo hace por derecha, en el punto x=a se presenta un salto independientemente de lo que valga la función en ese punto. o

De salto infinito: se presente este caso cuando uno de los límites laterales es finito y el otro infinito.

o

Asintótica: se presenta cuando los límites laterales son infinitos, es decir cuando en x=a hay una asíntota....