Analisis Transitorio - Apuntes 5 PDF

Preview

Summary

apuntes analisis transitorio...

Description

Equipo Docente de Fundamentos Físicos de la Informática. Dpto.I.I.E.C.-U.N.E.D.

Curso 2001/2002.

TEMA 11. FENÓMENOS TRANSITORIOS. 11 Fenómenos transitorios. Introducción. 11.1. Evolución temporal del estado de un circuito. 11.2. Circuitos de primer y segundo orden. 11.3. Circuitos RL y RC en régimen transitorio. Aplicaciones y ejemplos. 11.3.1. Circuitos sin fuentes de excitación y condiciones iniciales no nulas.. 11.3.2. Circuitos con fuentes de excitación y condiciones iniciales nulas. 11.3.3. Circuitos con fuentes de excitación y condiciones iniciales no nulas. 11. Fenómenos transitorios. Introducción. En este tema se va abordar el estudio de la evolución de una magnitud eléctrica a lo largo del tiempo. Anteriormente se había estudiado el comportamiento de las magnitudes eléctricas en circuitos de corriente continua pero sin tener en cuenta el momento de la conexión de la fuente, o fuentes, al resto del circuito, es decir, partiendo del supuesto de que el circuito, que por ejemplo en su momento analizamos por mallas, está conectado a sus fuentes desde un tiempo suficiente como para que no se produzcan cambios en el tiempo de los valores de las magnitudes del circuito. 11.1. Evolución temporal del estado de un circuito. Un circuito eléctrico o electrónico debe conectarse en un momento dado a las fuentes para que le suministren la energía necesaria para su funcionamiento. Si el circuito posee elementos almacenadores de energía (condensadores e inductancias) es probable que durante un cierto espacio de tiempo la magnitudes eléctricas de dicho circuito varíen de una forma muy acusada hasta estabilizarse en unos valores que luego se mantendrán durante el resto del tiempo. Ese intervalo de tiempo antes de alcanzar la estabilización se denomina régimen transitorio. El tiempo restante caracterizado por una cierta estabilidad se denomina régimen permanente o estacionario. Ejemplo 11.1. Aunque se estudiará con mayor detalle posteriormente, considérese el circuito de la figura 11.1 formado por una fuente ideal de tensión de 12V, un interruptor INT, dos resistencias iguales (R1, R2) de 1k cada una y un condensador de 1 F, y donde todos los elementos se encuentran en serie a excepción del condensador que está en paralelo con R2. En el instante t=0s se cierra el interruptor y suponiendo que el condensador está inicialmente descargado, la tensión entre los extremos del mismo es nula. Al cabo de cierto tiempo la tensión entre los

Figura 11.1 terminales de R2 es la misma que habría si no existiese el condensador y permanecerá así mientras Pag.11.1

Equipo Docente de Fundamentos Físicos de la Informática. Dpto.I.I.E.C.-U.N.E.D.

Curso 2001/2002.

no se abra el interruptor. En el instante t en el que las tensiones en los diferentes puntos del circuito se puede considerar que dejan de variar se dice que se ha alcanzado el régimen estacionario o permanente, hasta ese instante se dice que el circuito se encuentra en régimen transitorio. Ejemplo 11.2. Supóngase el circuito del ejemplo anterior pero sin condensador. En este caso el régimen permanente se alcanzará en el mismo instante de cerrar el interruptor, es decir, en este circuito no existe régimen transitorio pues carece de elementos almacenadores de energía. Algunos circuitos trabajan fundamentalmente como una sucesión de transiciones entre dos situaciones o régimenes permanentes. Ese es el caso, por ejemplo, de muchos circuitos digitales que funcionan conmutando la tensión de su salida entre 0V y 5V, y en lo cuales interesa que dichas conmutaciones sean lo más rápidas posibles. Para lograrlo parece lógico diseñarlos sin elementos almacenadores de energía, sin embargo ocurre que esto es totalmente imposible y lo más que se puede hacer es intentar minimizar su tamaño al máximo. Así un circuito realizado físicamente sobre un circuito impreso (soporte físico sobre el que se disponen los componentes eléctricos y electrónicos así como las conexiones de cobre o “pistas”) siempre presenta capacidades e inductancias originadas por la propia disposición espacial de los conductores o pistas. A estas capacidades e inductancias se les añade el calificativo de parásitas pues no son deseadas en el diseño y que, a lo sumo, se pueden reducir mediante un elaboradísimo diseño del trazado de las pistas. Estos elementos almacenadores de energía producirán retrasos en las conmutaciones que, junto a otros problemas, limitan la velocidad de funcionamiento de dicho circuito. El análisis cuantitativo de los fenómenos transitorios es complejo y comienza por la obtención de una representación matemática de dicho fenómeno. Dicha representación conduce a ecuaciones o sistemas de ecuaciones que contienen, además de variables de corriente y tensión, integrales y derivadas con respecto al tiempo de estas mismas variables. Por lo tanto, para estudiar cuantitativamente cualquiera de estos circuitos sería preciso que el alumno conociera la teoría matemática de las ecuaciones diferenciales. Por esta razón, en este curso, solamente se abordarán cierto tipo de circuitos que pueden ser estudiados sin un conocimiento profundo de dicha teoría. La resolución de la representación matemática de la evolución del circuito conduce a la obtención de funciones temporales que representan a las corrientes y tensiones en los diferentes puntos del mismo. 11.2. Circuitos de primer y segundo orden. Como se ha comentado anteriormente, el estudio de los fenómenos transitorios se inicia obteniendo una representación matemática de dicho circuito. Si el circuito contiene elementos almacenadores de energía entonces el valor de cada magnitud eléctrica en un instante cualquiera, t, dependerá de lo que ocurre en los otros puntos de ese circuito en ese instante t así como de lo que ha sucedido anteriormente en los elementos almacenadores de energía. Ese comportamiento que dota de cierta “memoria” al circuito se debe a las siguientes relaciones existentes entre tensión y corriente en cada elemento almacenador. En un condensador de capacidad C se sabe que su carga y la tensión entre sus extremos se relacionan por QC = C uC,

(11.1.)

pero si se tiene en cuenta que estas magnitudes pueden variar con el tiempo es más apropiado escribir Figura 11.2 Pag.11.2

Equipo Docente de Fundamentos Físicos de la Informática. Dpto.I.I.E.C.-U.N.E.D.

QC (t) = C uC(t),

Curso 2001/2002.

(11.2.)

y teniendo en cuenta la conocida ecuación i C (t)

d(QC (t)) dt

(11.3.)

se llega a 1 (11.4.) iC ( t) dt C siendo la carga almacenada en el condensador igual al término integral de la ecuación y la responsable de que la tensión instantánea dependa de lo que haya sucedido anteriormente con la corriente que recorre dicho condensador. uC (t )

En una inductancia con coeficiente de autoinducción no variable y de valor L, la relación existente entre tensión y corriente se deduce de tener en cuenta la definición de inductancia L

Figura 11.3

N

F m(t) , i L(t)

(11.5.)

donde m(t) es el flujo magnético a través de cada espira de la bobina o inductancia, y de la aplicación de la ley de Faraday, uL (t)

N

dF ( t) d(t)

(11.6.)

obteniéndose u L (t)

dLiL (t) d(t)

LdiL(t) d(t)

(11.7.)

Si se construye ahora un circuito con cualquiera de estos componentes y una resistencia, se dice que el circuito es un circuito lineal de primer orden. En las figuras 11.4 se representan dos circuitos que responden a estas características. El primero es un circuito RC paralelo pero alimentado por una fuente de intensidad o corriente en paralelo lo que es equivalente a (equivalente Thevenin de la fuente de intensidad o corriente en paralelo con la resistencia) a un circuito RC serie. El segundo circuito es un circuito RL serie alimentado por una fuente de tensión en serie.

Figura 11.4 Considérese, por ejemplo, el circuito de la figura 11.4.a. Pag.11.3

Equipo Docente de Fundamentos Físicos de la Informática. Dpto.I.I.E.C.-U.N.E.D.

Curso 2001/2002.

Aplicando la primera ley de Kirchhoff al nudo A se tiene: iC (t) + iR (t) = i(t)

(11.8.)

y sustituyendo en función de uC y dividiendo por C: duC 1 1 uC i (t ) dt RC C

(11.9.)

Si en lugar de tomar como variable la tensión en el condensador se hubiese elegido la intensidad en el mismo o en la resistencia, también se llegaría a una ecuación diferencial similar a la ecuación 11.9. Por ejemplo, expresando que la tensión en C y en R es la misma y siendo uC(0) la tensión en el condensador para t=0s, resulta la ec. 11.10 y derivando con respecto a t y ordenando se obtiene finalmente la ec. 11.11. u C(0) diC dt

1 t C i (z ) dz R i (t ) i C (t ) C 0 di 1 iC RC dt

(11.10.)

(11.11.)

Estas representaciones matemáticas de un circuito se denominan ecuaciones diferenciales pues contienen en la misma ecuación una variable, uC por ejemplo, y su derivada. Como la derivada contenida es de primer orden la ecuación se denomina de primer orden. Cuando el circuito es del tipo RC o RL la ecuación diferencial resultante es de primer orden. Si el circuito fuese del tipo RLC o sea, con esos elementos en serie, entonces la representación matemática resultante contendría una variable, su derivada primera y su derivada segunda. A este último tipo de ecuaciones y a los circuitos que las originan se les denomina de segundo orden. Nuestro estudio se va a restringir al estudio de los circuitos de primer orden. Análogamente al desarrollo obtenido para un circuito RC se puede proceder para el circuito RL de la fig. 11.4.b se puede escribir: uL (t) + uR (t) = e (t)

(11.12.)

y sustituyendo en función de iL y dividiendo por L: diL R 1 e (t ) . iL dt L L

(11.13.)

En general, puede afirmarse que todo circuito compuesto por un número cualquiera de resistencias y fuentes independientes, pero que contenga un solo elemento almacenador de energía, bobina o condensador, es un circuito de primer orden. Para estudiar el comportamiento de un circuito a partir de un instante t=0s deberán considerarse, además de su configuración, las condiciones iniciales del mismo, es decir, la carga inicial del elemento almacenador de energía que interviene en el circuito. Si el elemento almacenador de energía es un condensador, recuérdese que la tensión en bornes de un condensador no puede variar bruscamente. Pag.11.4

Equipo Docente de Fundamentos Físicos de la Informática. Dpto.I.I.E.C.-U.N.E.D.

Curso 2001/2002.

En efecto, en un sistema físico ninguna variable puede ser infinita, y esto es lo que sucedería con la intensidad de un condensador si su tensión variase bruscamente, al ser (11.14.) iC (t) C du(t) dt Para el caso de que el elemento almacenador de energía sea una bobina debe tenerse en cuenta que la intensidad por una bobina no puede variar bruscamente. En efecto, si la intensidad en la bobina variase bruscamente, la tensión debería hacerse infinita, al ser (11.15.) uL (t) L di(t) dt 11.3. Circuitos sin fuentes de excitación y condiciones iniciales no nulas. En circuitos sin fuentes de excitación pueden existir corrientes y tensiones debido a la energía almacenada en las inductancias o en los condensadores. Se llamará “respuesta a entrada cero” a la obtenida en un circuito sobre el que no actúa ninguna fuente independiente, estando únicamente sometido a la excitación debida a la carga inicial de sus elementos almacenadores de energía.

Figura 11.5 Considérese el circuito de la figura 11.5.a. El interruptor S2 está abierto y mientras que S1 está cerrado, existiendo una tensión E en bornes del condensador. Si en el instante t = 0 se abre S1 y se cierra S2, el condensador se descargará a través de la resistencia R, de acuerdo con el circuito de la figura 11.5.b. A partir de t=0s el comportamiento del circuito de la figura 11.5.b viene definido por: u(t) = R i(t) para t 0 y u(0)=E Como para el condensador se cumple: iC (t) C du(t) dt las expresiones anteriores pueden escribirse

(11.16.)

(11.17.)

Pag.11.5

Equipo Docente de Fundamentos Físicos de la Informática. Dpto.I.I.E.C.-U.N.E.D.

du dt

1 u RC

0 para t

0 y u (0) E

Curso 2001/2002.

(11.18.)

Si se hubiese tomado como variable la intensidad, al ser: 1 t u( t) u(0) (i z) dz C 0 las dos expresiones de (11.16) quedarían en la forma: 1 t Ri (t ) (i z) dz u(0) para t 0 C 0 u(0) = E donde se pone de manifiesto, con claridad, la importancia de considerar el valor inicial de la tensión, u(0). Si se deriva con respecto al tiempo queda: di dt

1 i0 RC

para t 0

Para describir completamente el circuito es preciso especificar el valor inicial de i(t). A partir de (11.16) se obtiene: i (0)

u (0) E R R

Nótese que las ecuaciones diferenciales en función de la tensión o de la intensidad son idénticas, variando únicamente el valor inicial de la variable considerada. Ambas ecuaciones son diferenciales, lineales, de primer orden y homogéneas. La solución general de la ecuación diferencial (11.18) es: t

u (t ) K 1 e RC

(11.19.)

El valor de la constante K1 se determina a partir de la condición inicial u(0) = E. Haciendo t=0s en (11.19) resulta: E = K1 con lo que la expresión de u(t) en el circuito estudiado es: t

u (t ) E e RC para t 0

(11.20.)

análogamente se obtiene para la intensidad: E RCt e para t 0 R En la figura 11.6 se representan las gráficas de ambas variables. i (t )

(11.21.)

Pag.11.6

E

Figura 11.6 El producto RC que caracteriza la respuesta exponencial de ambas variables tiene dimensión de tiempo y recibe el nombre de “constante de tiempo del circuito”. = RC Si R viene dada en ohmios y C en faradios, viene expresado en segundos. La inversa de dicho término tiene la dimensión de una frecuencia y se denomina “frecuencia natural del circuito”. El hecho de que se le llame “frecuencia” no debe inducir a confusión pensando que da lugar a oscilaciones de tipo senoidal en la respuesta. Este nombre proviene de la dimensión del término. En cuanto al calificativo de “natural” se debe al hecho de que caracteriza la respuesta del sistema cuando no existen fuentes de excitación externas. Es decir, caracteriza la que podemos llamar respuesta propia, libre o natural del circuito. En este caso particular, la no existencia de fuentes de excitación implica el que, transcurrido un tiempo infinito, todas las tensiones e intensidades son nulas. Esto es lógico, ya que la energía almacenada inicialmente en el condensador acaba por disiparse totalmente en la resistencia. El tiempo necesario para cualquier variable pase de su valor inicial a cero es infinito. Sin embargo, transcurrido un tiempo se ha producido un 63,2 por 100 de esta variación, pasado un tiempo 2 el 86,5 por 100 y pasado un tiempo 3 el 95 por 100. Es decir, cuanto menor es la constante de tiempo, mayor es la rapidez con que el circuito tiende a su estado final, pudiendo considerarse que se ha alcanzado dicho estado final al cabo de un tiempo igual a tres o cuatro veces el valor de . Muchos autores prefieren valores más conservadores y consideran que el estado final se alcanza después de un tiempo igual o superior a cinco veces la constante de tiempo, pero lo verdaderamente importante es que esta constante es un buen referente de la rapidez de respuesta de un circuito. Para fijar ideas, considérese de nuevo el circuito de la figura 11.5, pero asignando los siguientes valores a los diferentes componentes: E = 100 V; R = 10

; C = 20 F

De acuerdo con (11.20), la tensión en el condensador es: t 0, 0002 u (t ) 100 e para t 0

Pag.11.7

Equipo Docente de Fundamentos Físicos de la Informática. Dpto.I.I.E.C.-U.N.E.D.

Curso 2001/2002.

la constante de tiempo del circuito es: = RC = 10 20 10-6 s = 2 10-4 s = 0,2 ms mientras que la frecuencia natural del circuito resulta: so = 1/RC = 5000 s-1 La tensión en el condensador al cabo de un tiempo es: u( ) = 100 e-5000 0,0002 = 36,788V es decir, ha sufrido una variación del 63,2 %. Del mismo modo, al cabo de un tiempo 3 la tensión en el condensador es: u(3 ) = 100 e-3 = 4,98V y al cabo de un tiempo 4 : u(4 ) = 100 / e4 = 1,83 V. Es decir, al cabo de 4 0,2ms = 0,8 ms ya se ha producido un 98,17 por 100 de la variación total de la tensión en el condensador.

Derivando la expresión (11.20) con respecto a t, y haciendo t = 0, se tiene la pendiente en el origen de la tensión: du (t ) E E dt t 0 RC es decir, la pendiente en el origen corta al eje de tiempos en el punto t = . Esto confirma la idea de que cuanto menor es (mayor pendiente en el origen) mayor es la rapidez con la que el circuito tiende a su estado final.

Por último, se hará notar que la respuesta del circuito a entrada cero es proporcional a la carga inicial del elemento almacenador de energía. A partir de las expresiones (11.20) y (11.21) se aprecia fácilmente que la tensión u y la intensidad i son proporcionales a la tensión inicial en el condensador, E. Los resultados obtenidos para el circuito RC de la figura 11.5 son aplicables a cualquier circuito que contenga cualquier número de resistencias y un solo elemento almacenador de energía, inicialmente cargado. Nótese que, si existe un solo elemento almacenador de energía, la ecuación diferencial que caracteriza el circuito es de primer orden, ya que ese elemento define una sola condición, su carga inicial.

Pag.11.8

Equipo Docente de Fundamentos Físicos de la Informática. Dpto.I.I.E.C.-U.N.E.D.

Curso 2001/2002.

Se resumen a continuación las propiedades más importantes de estos circuitos de primer orden sin fuentes de excitación. 1) La respuesta a entrada cero viene definida por una ecuación diferencial lineal y homogénea del tipo: df 1 (11.22.) f 0 dt en donde f representa la tensión o intensidad en cualquier elemento del circuito, carga en el condensador o flujo en la bobina, es decir, cualquier de las variables del circuito considerado. 2) La solución de la ecuación (11.22) es: f(t) = f(0) e- t/ para t > 0

(11.23.)

en donde f(0) es el valor de la variable f para t = 0, que se determina a partir de las condiciones iniciales. 3) De acuerdo con lo anterior, todas las variables del circuito vienen caracterizadas por la misma variación de tipo exponencial, difiriendo unas de otras en su valor inicial. 4) El coeficiente 1/ en la expresión exponencial es la llamada frecuencia natural del circuito, que se expresa en s-1. 5) es la constante de tiempo del circuito que se expresa en segundos. Para un circuito formado por una resistencia y un condensador se ha visto que dicha constante es: = RC. Del mismo modo para un circuito formado por una resistencia y una bobina se verá que dicha constante es L/R, siendo L la inductancia de la bobina. 6) Cuanto menor es la constante de tiempo del circuito, mayor es la velocidad con la que las variables se aproximan a su estado final. 7) La respuesta del circuito es proporcional a la carga inicial del elemento almacenador de energía. Ejemplo 11.3. En el circuito de la figura 11.7 el interruptor S1 pasa a la posición b para t=0s, y simultáneamente se cierra el interruptor S2. Calcular las expresiones de la tensión en la bobina y la intensidad en la resistencia para t 0, así como la energía disipada en R desde t = 0 hasta t = .

Figura 11.7 Pag.11.9

Equipo Docente de Fundamentos Físicos de la Informática. Dpto.I.I.E.C.-U.N.E.D.

Curso 2001/2002.

La intensidad por la bobina, justo antes de efectuarse el cambio de posición de los interruptores, es: iL (t...