Analyse de suites numériques PDF

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CM de Licence Mathématiques...

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Analyse: Suites num´ eriques (Notes de cours)

Sommaire 1 G´ en´ eralit´ es

4

2 Convergence des suites

4

3 Suites extraites

5

4 Suites de Cauchy

5

5 Suites adjacentes

5

6 Suites r e ´currentes

5

1

1

G´ en´ eralit´ es

efinition 1.1. Soit E = (R ou C), on appelle une suite r´eelle ou Complexe (Un )n∈N toute application D´ d´efinie par : U : NæE n æ Un = U(n) Un est appel´e le terme g´en´eral de la suite (Un )n∈N . Si une suite est d´efinie `a partir d’un certain rang n0 on la note par (Un )n≥n0 . efinition 1.2. Soit (Un )n∈N une suite r´eelle, on dit que (Un )n∈N est : D´ — Major´ee si : ÷M œ R, ’n œ N, U n Æ M . — Minor´ee si : ÷m œ R, ’n œ N, U n Ø m. — Born´ee si elle est `a la fois major´ee et minor´ee ou s’il existe M > 0 tel que ’n œ N, |Un | Æ M . efinition 1.3. Soit (Un )n∈N une suite r´eelle, on dit que (Un )n∈N est : D´ — Croissante si : ’n œ N, U n Æ Un+1 . — D´ecroissante si : ’n œ N, U n Ø Un+1 . — Monotone si elle est croissante ou d´ecroissante. — On dit qu’elle est strictement monotone (croissante ou d´ecroissante) si les in´egalit´es pr´ec´edentes deviennent strictes.

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Convergence des suites

efinition 2.1. Soit (Un )n∈N un suite r´eelle ou complexe, on dit que la suite (Un )n∈N tend vers une limite D´ ¸ lorsque n tend vers l’infini et on ´ecrit lim Un = ¸ si : n→+∞

’Á > 0, ÷n0 œ N : ’n Ø n0 ∆ |Un ≠ ¸| < Á Dans ce cas on dit que la suite (Un )n∈N converge vers ¸ ou qu’elle est convergente vers ¸. Sinon on dit qu’elle diverge ou qu’elle est divergente. eme 2.1. Soit (Un )n∈N une suite r´eelle ou complexe, si la limite existe alors elle est unique. Th´ eor` efinition 2.2. Soit (Un )n∈N une suite r´eelle, on a : D´ — lim Un = +Œ … ’A > 0, ÷n0 œ N : ’n Ø n0 ∆ Un > A n→+∞ — lim Un = ≠Œ … ’A > 0, ÷n0 œ N : ’n Ø n0 ∆ Un < ≠A n→+∞

eme 2.2. Soient (Un )n∈N et (Vn )n∈N deux suites r´eelles ou complexes telles que Th´ eor` lim Vn = v, soit a œ R , on a :

lim Un = u et

n→+∞

n→+∞

• • •

lim (Un + Vn ) = u + v

n→+∞

lim (Un Vn ) = uv

n→+∞

lim (aUn ) = au

n→+∞

• si v ”= 0 alors lim ( VUnn ) = n→+∞

u v

eme 2.3. Toute suite r´eelle convergente est born´ee. la r´eciproque est fausse, c’est-`a-dire la bornitude Th´ eor` d’une suite n’implique pas la convergence de cette suite. eme 2.4. Toute suite r´eelle croissante et major´ee (respectivement d´ecroissante et minor´ee) est Th´ eor` convergente.

2

3

Suites extraites

D´ efinition 3.1. Soit „ : N ≠æ N une application strictement croissante et soit (Un )n∈N une suite num´erique. On appelle une sous-suite (ou suite extraite) de (Un )ni nN , toute suite (Vn )n∈N d´efinie par : ’n n œ N, Vn = Uφ(n) eme 3.1. (De Bolzano-Weierstrass) : De toute suite born´ee on peut extraire une sous-suite converTh´ eor` gente. efinition 3.2. Soient ¸ œ R (ou C) soit (Un )n∈N une suite r´eelle ou complexe. On dit que ¸ est une D´ valeur d’adh´erence de (Un )n∈N s’il existe une sous-suite de (Un )n∈N qui converge vers ¸ Th´ eor` eme 3.2. Soit (Un )n∈N une suite r´eelle ou complexe, si elle converge vers ¸ alors toute sous-suite de (Un )n∈N converge vers ¸. Remarque. Le th´eor`eme pr´ec´edent est tr`es important et ce n’est pas son utilisation directe qui est int´eressante, mais sa contrapos´ee. En effet, si on veut montrer qu’une suite (Un )n∈N diverge, il suffit alors d’exhiber deux sous-suites de (Un )n∈N qui ont deux limites diff´erentes.

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Suites de Cauchy

efinition 4.1. On dit qu’une suite (Un )n∈N est de Cauchy si : D´ ’Á >, ÷n0 œ N, ’p, q œ N : p, q > n0 ∆ |Up ≠ Uq | < Á eme 4.1. Soit (Un )n∈N une suite r´eelle ou complexe. On dit que la suite (Un )n∈N est de Cauchy si Th´ eor` et seulement si elle est convergente.

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Suites adjacentes

D´ efinition 5.1. Soient (Un )n∈N et (Vn )n∈N deux suite r´eelles. On dit qu’elles sont adjacentes si l’une est croissante et l’autre et d´ecroissante. De plus : lim (Un ≠ Vn ) = 0

n−→+∞

Proposition 5.1. Si deux suites sont adjacentes alors elles sont convergentes et convergent vers la mˆeme limite.

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Suites r´ ecurrentes

efinition 6.1. Soit f : R Ω≠ R une fonction r´eelle d’une variable r´eelle. Soit a œ R. Une suite D´ r´ecurrente est d´efinit par : I U0 = a Un+1 = f (Un ) ’n œ N

Proposition 6.1. L’´etude de la convergence et de la monotonie de la suite r´ecurrente (Un )n∈N revient `a celle de f , si : • f est croissante alors si f (U0 ) ≠ U0 Æ 0 donc la suite (Un )n∈N est d´ecroissante et si f (U0 ) ≠ U0 Ø 0 donc (Un )n∈N est croissante. • f est d´ecroissante alors si f (U0 ) ≠ U0 Æ 0 donc la suite (Un )n∈N est croissante et si f (U0 ) ≠ U0 Ø 0 donc (Un )n∈N est d´ecroissante. Afin de chercher la limite de (Un )n∈N si elle existe, il suffit de r´esoudre l’´equation f (¸) = ¸. Si l’´equation n’admet pas de solution donc la limite n’existe pas. 3

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