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Cours de mathématiques pour les premières technologique STI2D sur les suites arithmétiques....

Description

CH : 4 SUITES ARITHMÉTIQUES ET GEOMETRIQUES I)

SUITES ARITHMETIQUES

Exemple d’introduction : Une banque propose, pour un placement d’un montant initial de 1200 € fait le premier janvier 2020, un taux d’intérêt simple annuel de 5%. 5  C où on nomme C0 le capital Cela signifie qu’à la fin de chaque année, on reçoit un intérêt de 100 0 initial versé le 1er janvier 2020, C1 le capital disponible au bout d’un an, C2 le capital disponible au bout deux ans, etc… 1) Calculer C1, C2 , et C3. 2) Soit n un entier naturel. a) Que représentent Cn et Cn+1 ? b) Etablir une relation entre Cn+1 et Cn. c) Déterminer le montant se trouvant sur le compte au bout de dix ans. d) Au bout de combien d’année de placement le capital disponible dépassera 2200 euros. 1) Définition Définition 1 : Une suite arithmétique notée (un) où n est un entier naturel est une suite dans laquelle chaque terme sauf le premier est obtenu en ajoutant au terme précédent un même nombre réel r appelé raison de la suite. +r

+r

U0

U1

+r

U2

+r

U3

…

Pour tout entier naturel n, on a : Un+1 = Un + r Remarques :  

Une suite arithmétique est donc définie par son premier terme et sa raison. Dans notre exemple, (Cn) est une suite arithmétique de premier terme C0 = 1200 et de raison 60.

Exercice 1: Soit (un) la suite arithmétique de raison r = 5 et de premier u0 = - 3. Calculer u1, u2 et u3. On a alors :

u1 = u2 = u3 =

Exercice 2 : Soit (un) la suite définie sur IN par un = 3n – 1 a) Calculer u0, u1, u2,u3. b) Calculer u1 – u0, u2– u1 puis u3 – u2. Que peut-on conjecturer ? c) Soit n un entier naturel. Calculer un+1 – un puis conclure.

Remarque importante : Pour démontrer qu’une suite (un) est arithmétique, il suffit de démontrer que la différence un+1 - un entre deux termes consécutifs est constante. Voir fiche méthode n°

2) Variations Théorème 1 : Une suite arithmétique u de raison r est : - croissante si et seulement si r > 0 - constante si et seulement si r = 0 - décroissante si et seulement si r < 0 Preuve :

Exercice 3 : On considère la suite définie pour tout entier naturel n par un = 2 – 5n. On suppose que cette suite est arithmétique. a) Démontrer que cette suite est arithmétique et déterminer sa raison. b) En déduire le sens de variation de cette suite.

3) Représentation graphique Propriété 2 : La représentation graphique des termes d’une suite arithmétique dans un repère du plan est constituée de points alignés.

II)

SUITES GEOMETRIQUES

Exemple d’introduction : Cette fois-ci, la banque propose toujours pour un placement de 1200 euros fait au premier janvier 2020 un taux d’intérêt composé annuel de 4% . Cela signifie qu’à la fin chaque année, la somme en banque augmente de 4 %. On nomme K0 le capital initial versé le premier janvier 2020, K1 le capital disponible au bout d’un an, K2 le capital au bout de deux ans … 1) Calculer K1 , K2 , K3. 2) Soit n un entier naturel. a) Que représentent Kn et Kn+1 ? b) Etablir une relation entre Kn+1 et Kn. c) Déterminer le montant se trouvant sur le compte au bout de dix ans. d) Au bout de combien d’année de placement le capital disponible dépassera 2200 euros. 1) Définition Définition 2 : Une suite géométrique notée (vn) où n est un entier naturel est une suite dans laquelle chaque terme sauf le premier est obtenu en ajoutant au terme précédent un même nombre réel q non nul appelé raison de la suite. q

q

v0

q

v1

v2

q

v3

…

Pour tout entier naturel n, on a vn+1 = vn  q Remarques :  Une suite géométrique est donc définie par son premier terme et sa raison.  Dans notre exemple, (Kn) est une suite géométrique de premier terme K0 = 1200 et de raison 1,04. Exercice 4 : Soit (vn) la suite arithmétique de raison r = On a alors :

2 et de premier v0 = 1 3

v1 = v2 = v3 =

Exercice 5: Soit (wn) la suite définie sur IN par wn = 42n n étant un entier naturel. a) Calculer v0, v1,v2,v3. v3 v1 v2 puis . Que peut-on conjecturer ? b) Calculer , v2 v0 v1 vn+1 c) Soit n un entier naturel. Calculer puis conclure. vn

remarque : Pour démontrer qu’une suite (vn) est géométrique, il suffit de démontrer que le quotient deux termes consécutifs est constant. Cette constante sera alors la raison de la suite. Voir fiche méthode n° 2) Variations Théorème 2 : Une suite géométrique V de raison q et de premier terme V0 > 0 est :

-

décroissante si 0 < q < 1 croissante si q > 1 constante si q = 1

Exercice 6 :  w = 4w (pour tout entier naturel n) n+1 5 n Soit w la suite définie par   w0 = 125 1) Calculer les 4 premiers termes de la suite w. 2) a) Démontrer que la suite est géométrique et préciser sa raison. b) En déduire ses variations.

3) Comparaison des suites (Cn) et (Kn) n

Intérêts simples

Intérêts composés Kn

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28

1200 1260 1320 1380 1440 1500 1560 1620 1680 1740 1800 1860 1920 1980 2040 2100 2160 2220 2280 2340 2400 2460 2520 2580 2640 2700 2760 2820 2880

1200,00 1248,00 1297,92 1349,84 1403,83 1459,98 1518,38 1579,12 1642,28 1707,97 1776,29 1847,34 1921,24 1998,09 2078,01 2161,13 2247,58 2337,48 2430,98 2528,22 2629,35 2734,52 2843,90 2957,66 3075,96 3199,00 3326,96 3460,04 3598,44

vn+1 entre vn...