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Applicazioni del Teorema degli zeri - B. Di Bella

Applicazioni del Teorema degli zeri Teorema dei valori intermedi Sia I ⊆ lR un intervallo e sia f : I → lR continua in I. Allora f (I) = (inf f, sup f ) . I

I

Dimostrazione - Per avere la tesi basta dimostrare: ∀y ∈ (inf f, sup f ) ∃x0 ∈ I : f (x0 ) = y . I

I

Fissiamo y ∈ (inf f, sup f ). Per la seconda propriet` a dell’estremo inferiore I

I

∀ε > 0 ∃x1 ∈ I : f (x1 ) < inf f + ε . I

Sia ε := y − inf f > 0, I

⇒

f (x1 ) < y .

Per la seconda propriet` a dell’estremo superiore ∀ε > 0 ∃x2 ∈ I : f (x2 ) > sup f + ε . I

Sia ε := sup f − y > 0,

⇒

f (x2 ) > y .

I

Posto g(x) = f (x) − y, y ∈ I, la funzione g `e continua in I e, in particolare, nell’intervallo di estremi x1 e x2 . Inoltre, g(x1 ) < 0, g(x2 ) > 0 quindi per il Teorema di esistenza degli zeri esiste almeno un x0 nell’intervallo di estremi x1 e x2 tale che g(x0 ) = 0 ossia f (x0 ) = y . Un’ulteriore applicazione del Teorema di esistenza degli zeri riguarda la relazione tra monotonia e invertibilit` a. Come gi` a osservato, una funzione strettamente monotona `e invertibile ma, in generale, non vale il viceversa. Se per` o f `e continua in un intervallo, allora anche il viceversa `e vero.

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Corso di Analisi Matematica per Ingegneria Elettronica e Informatica

Teorema 1 Sia I ⊆ lR un intervallo e sia f : I → lR continua e invertibile in I . Allora f `e strettamente monotona in I . Dimostrazione - Supponiamo per assurdo che f non sia monotona in I cio`e che esistano x1 , x2 , x3 ∈ I con x1 < x2 < x3 e, per esempio, f (x2 ) > f (x1 ) > f (x3 ) (per altri casi si ragiona in modo anologo). Applicando il Teorema di esistenza degli zeri alla funzione f (x) − f (x1 ) nell’intervallo [x2 , x3 ], esiste x0 ∈]x2 , x3 [ tale che f (x0 ) = f (x1 ). Ma allora f non `e iniettiva in I , una contraddizione. In conclusione, possiamo quindi affermare che se f `e definita e continua in un intervallo, allora invertibili` a di f ⇔ stretta monotonia di f . Discutiamo ora la continuit` a della funzione inversa. In generale, la funzione inversa di una funzione continua e invertibile non `e sempre continua, ad esempio

Figura 1: x → f (x),   

f (x) =  

x

0≤x...