Appunti - Microeconomia - Scelta ottima del consumatore - a.a. 2013/2014 PDF

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Michela Braga Economia Modulo 1

SCELTA OTTIMA (EQUILIBRIO) DEL CONSUMATORE Il consumatore, dati i gusti (preferenze) sintetizzati della funzione di Utilità (“quello che vorrebbe”) effettua la sua scelta ottima compatibilmente con il proprio vincolo di bilancio (“quello che può”). Sceglie quindi il paniere che gli consente di massimizzare la propria utilità, dato il vincolo di bilancio. Formalmente il problema del consumatore è un problema di massimizzazione vincolata che può essere scritto come: 𝑀𝑎𝑥 𝑈(𝑥, 𝑦) 𝑑𝑎𝑡𝑜 𝑝𝑥 ∙ 𝑥 + 𝑝𝑦 ∙ 𝑦 = 𝑀 La soluzione grafica e analitica del problema del consumatore è diversa a seconda del tipo di preferenze ovvero a seconda che si tratti del caso standard con curve di indifferenza convesse o dei casi particolari con curve di indifferenza lineari (beni sostituti perfetti) o ad angolo retto (beni complementi perfetti).

1. CASO GENERALE: PREFERENZE CONVESSE  MRS DECRESCENTE La scelta ottima è identificata dal punto di tangenza tra il vincolo di bilancio e la curva di indifferenza più lontana dall’origine. Per individuare il paniere ottimo dobbiamo imporre che: 1. sia soddisfatta la condizione di tangenza  curva di indifferenza e vincolo di bilancio devono avere la stessa inclinazione 2. sia soddisfatto il vincolo di bilancio. Dobbiamo quindi risolvere il seguente sistema � Graficamente il paniere ottimo 𝐸 = (𝑥 ∗, 𝑦 ∗) sarà:

𝑀𝑅𝑆𝑥𝑦 =

𝑝𝑥

𝑝𝑦

𝑝𝑥 ∙ 𝑥 + 𝑝𝑦 ∙ 𝑦 = 𝑀

y

E y* Umax

x*

𝑝

- 𝑝𝑥

x

𝑦

1

Se ad esempio la funzione di utilità è del tipo Cobb-Douglas 𝑈(𝑥, 𝑦) = 𝑥 𝑎 𝑦 𝑏 . Le utilità marginali dei due beni sono 𝜕𝑈 𝜕𝑈 𝑀𝑈𝑥 = = 𝑎𝑥𝑎−1 𝑦 𝑏 e 𝑀𝑈𝑦 = 𝜕𝑦 = 𝑏𝑥 𝑎 𝑦 𝑏−1 . Il saggio marginale di sostituzione è decrescente e pari a 𝜕𝑥𝑀𝑈𝑥 𝑎𝑦 𝑀𝑅𝑆𝑥𝑦 = = 𝑏 𝑥 . Il sistema che si dovrà risolvere è: 𝑀𝑈 �

𝑎𝑦 𝑏𝑥

𝑦

𝑝𝑥 𝑝𝑦

=

𝑝𝑥 ∙ 𝑥 + 𝑝𝑦 ∙ 𝑦 = 𝑀

dove a,b, px, py, M sono dei parametri costanti dati (dei numeri) e le incognite del sistema sono x e y. NB: SIGNIFICATO ECONOMICO DELLA CONDIZIONE DI TANGENZA Se la soluzione è interna la condizione di tangenza ha un’immediata interpretazione economica. Infatti in corrispondenza di E vale che

𝑀𝑈𝑥 𝑝𝑥

=

𝑀𝑈𝑦 𝑝𝑦

e questo significa che il consumatore non ha alcun incentivo economico a

riallocare le risorse tra x e y perché, al margine, gli impieghi alternativi delle risorse sono ugualmente utili  l’utilità marginale di ogni € speso per l’acquisto di x (il lato sinistro dell’eguaglianza) è uguale all’utilità marginale di ogni € speso per l’acquisto di y (il lato destro dell’eguaglianza) Se viceversa in corrispondenza di un paniere si ha che -

𝑀𝑈𝑥 𝑝𝑥

<

𝑀𝑈𝑦 𝑝𝑦

il consumatore avrà incentivo a riallocare le risorse da x a y, riducendo il consumo di x e

𝑀𝑈𝑦 𝑝𝑦

il consumatore avrà incentivo a riallocare le risorse da y a x, riducendo il consumo di y e

aumentando quello di y, poiché il costo marginale del ridurre il consumo di x (lato sinistro della diseguaglianza) è minore del beneficio marginale dell’aumentare il consumo di y (lato destro della diseguaglianza)

-

𝑀𝑈𝑥 𝑝𝑥

>

aumentando quello di x, poiché il beneficio marginale dell’aumentare il consumo di x (lato sinistro della diseguaglianza) è maggiore del costo marginale del ridurre il consumo di y (lato destro della diseguaglianza)

2. PREFERENZE NON CONVESSE 2.1 BENI SOSTITUTI PERFETTI  MRS COSTANTE Con beni sostituti perfetti le curve di indifferenza sono delle rette dato che la funzione di utilità ha equazione 𝑈(𝑥, 𝑦) = 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦.

Poiché 𝑀𝑈𝑥 =

𝜕𝑈 𝜕𝑥

= 𝑎, 𝑀𝑈𝑦 =

𝜕𝑈 𝜕𝑦

= 𝑏 avremo 𝑀𝑅𝑆𝑥𝑦 =

𝑀𝑈𝑥 𝑀𝑈𝑦

=

𝑎 𝑏

La scelta ottima dipende quindi dal confronto tra l’inclinazione delle curve di indifferenza e l’inclinazione del vincolo di bilancio. I tre casi possibili saranno: 1) Le curve di indifferenza sono meno inclinate del vincolo di bilancio: 𝑀𝑅𝑆𝑥𝑦 <

𝑝𝑥 𝑝𝑦



𝑎 𝑏

<

𝑝𝑥 𝑝𝑦

Si ha quindi una soluzione d’angolo in cui il consumatore riduce al minimo il consumo di x (𝑥 ∗ = 0) e spende tutto il 𝑀 𝑀 suo reddito per il bene y acquistandone 𝑦 ∗ = unità  𝐸 = (0, ) 𝑝𝑦

𝑝𝑦

2

y 𝑦∗ =

𝑀 𝑝𝑦

−

E

𝑎 𝑏 Umax

𝑝

- 𝑝𝑥

x

𝑦

2) Le curve di indifferenza sono più inclinate del vincolo di bilancio: 𝑀𝑅𝑆𝑥𝑦 >

𝑝𝑥 𝑝𝑦



𝑎 𝑏

>

𝑝𝑥 𝑝𝑦

Si ha quindi una soluzione d’angolo in cui il consumatore riduce al minimo il consumo di bene y (𝑦 ∗ = 0) e spende

tutto il suo reddito per il bene x acquistandone 𝑥 ∗ =

𝑀 𝑝𝑥

𝑀

unità  𝐸 = ( 𝑝 , 0) 𝑥

Umax y −

𝑝𝑥 𝑝𝑦

−

𝑎 𝑏

E 𝑥∗ =

𝑀 𝑝𝑥

x

3) Le curve di indifferenza hanno la stessa inclinazione del vincolo di bilancio: 𝑀𝑅𝑆𝑥𝑦 =

𝑝𝑥 𝑝𝑦



𝑎 𝑏

=

𝑝𝑥 𝑝𝑦

Qualsiasi paniere del vincolo di bilancio soddisfa la condizione di tangenza. Si hanno quindi infinite soluzioni interne coincidenti con il vincolo di bilancio dato che vi sarà una curva di indifferenza che si sovrappone perfettamente al vincolo di bilancio.

3

y 𝑀 𝑝𝑦

−

Umax

−

𝑎

𝑏

𝑝𝑥 𝑝𝑦

𝑀 𝑝𝑥

x

2.2 BENI COMPLEMENTI PERFETTI  MRS NON DEFINITO IN CORRISPONDENZA DEL RAPPORTO DI COMPLEMENTARIETA’ Con beni complementi perfetti le curve di indifferenza sono ad angolo retto con vertici appartenenti alla retta che definisce il rapporto di complementarietà. La funzione di utilità ha equazione 𝑈(𝑥, 𝑦) = min {𝑎𝑥, 𝑏𝑦}. La curva di indifferenza più lontana dall’origine è quella che ha il vertice definito dal punto di intersezione tra il vincolo di bilancio e la retta che definisce il rapporto di complementarietà. Per individuare il paniere ottimo dobbiamo imporre che: 1. sia soddisfatto il rapporto di complementarietà 2. sia soddisfatto il vincolo di bilancio. Dobbiamo quindi risolvere il seguente sistema: 𝑎𝑥 = 𝑏𝑦 �𝑝 ∙𝑥+𝑝 ∙𝑦 = 𝑀 𝑥 𝑦 dove a,b, px, py, M sono dei parametri costanti dati (dei numeri) e le incognite del sistema sono x e y. Graficamente il paniere ottimo 𝐸 = (𝑥 ∗, 𝑦 ∗) sarà: y y=a/bx

Umax

E y*

x

x* 4...