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Lim x2-1 desarrollo (x2+1) quedando me mi operación de la siguiente manera: X 2 X+1 lim (x+1)(x-1) lim x-1 aplico el límite : 2-1 lim (x2-1) =1 X 2 X+1 x 2 x 2 x+1 FORMULARIO DE DERIVADAS Dx dx

=1

Dc dx

=0

Dcg(x) dx

= Cg’(x) + g(x) dxdc

dxn = n(x)n-1 (dx/dx) dx df(x)+ g(x) = f’(x) + g’(x) dx df(x)/g(x) = (f(x)g’(x)) – ( g(x) f’(x)) dx (g(x)) 2 dex = ex Deriva lo siguiente: 1)Y=4x2 +5x-1 dy d4x2 d5x dx = dx + dx

-

d1 dx

(

4dx2 x2 d4 5dx xd5 dx + dx )+( dx+ dx)

4(2x)+5

y’= 8x+5

2)y= 4x+1 2x2 +3 ( (2x2 +3)d(4x+1))-((4x+1)d(2x2+3)) dx dx (2x2 +3)2 Si desarrollamos el álgebra, obtendríamos:

dy = dx

Y’= Y’=

( (2x2 +3)(4))-((4x+1)(4x)) ( 2x2 +3)2 -8x 2 +12-4x 4x 4 +12x2 +9

3)y= (7x+1)(7x+2) Y’=((7x+1)d(7x+2)) + ((7x+2)d(7x+1)) y’= ((7x+1)(7))+((7x+2)(7)) resolviendo el álgebra obtenemos que y’= 49x+7+49x+14 y’= 98x+21

( )

4) y= x-1 x+2

3

x-1 2 dx-1/x+2

y’= ( x+2 )(

( )

5) y= ln 4x+2 7x-1

dx

) y’= (x-1x+2 )(3x +4x+4 )

4

y’=4(ln(4x+2)-ln(7x-1))

2

4

y’=4(4x+2

7 - 7x-1 )

6) y= ln √x+2

y’=ln√x+2 -ln(4x+1)

y’=ln (x+2)1/2 -ln(4x+1)

4x+1

y’= ½(ln(x+2))-ln (4x+1)

y’=1/2((1/x+2)(1)) - (¼x+1 (4))

7) y= ln((4x2 +5)4 (7x-2)4 ) y’= ln(7x-2)4 +ln(4x2 +5) y’= 4ln(4x2 +5)+4ln(7x-2) y’=4(ln(4x2 +5)+ln(7x-2)) y’= 4((1/4x2 +5(8x)) + (1/7x-2 (7)))

8) ln

√4x+2 (7x+1)(7x+2)

9) y= ex ln x

y’= ex (1/x) + lnx (ex)

10) y= 1+ex 1-ex

11)y= exˆ2 ex

y’= ( ½ ln(4x+2) – ln(7x+1) – ln (7x+2) y’= 4( ½ ( 1/4x+2 (4)) – ( 1/7x+1 (7) ) - ( 1/ 7x+2 (7))

y= (1+ex )(ex ) – (1-ex )(ex ) (1-ex )2

y= exˆ2-x y’=exˆ2-x (2x+1) y´= (1+ln x) -1

12) y= 1/(1+lnx)

y’= -1(1+ln x)-2 (1/x)

Y= A (5t2 )α (e.015t )Ρ resolvemos las potencias obteniendo que : y= A(5α t2α )(e.15tΡ ) ahora derivamos y’= 5αA ((t2α )(e.15Ρt (.015Ρ))+e.015Ρt (2αt2α-1 )) y’= 5αA ( (.015Ρt2α)(e.015Ρt)+ (2αt2α-1 )(e.015Ρ )) Y’= 5αAt2α e.015Ρt(.015Ρt 2α +2αt2α-1 )

Y’(t) = Y(t)

y(t)

y’= 5αAt2α e.015Ρt(.015Ρ +2α ) Y(t) t

(.015Ρ+2α/t) y(t)

y’= .015Ρ+2α/t

13) x2+y2 – 4=0 despejo para “Y” quedándome: y= √4-x2 como es una raíz se que tengo 2 soluciones y1 = √4-x2

y1= x/ √4-x2

y2 = -√4-x2 y2 = x/ √4-x2

ahora para solucionar la ecuación original x2+y2 – 4=0 derivo de la siguiente manera: dx2 dy2 d4 2x dx +2y dy 2x 2y dy + - =0 + =0 + =0 dx dx dx dx dx dx De Dy -2x = 2y dx

despejo dy/dx para obtener mi resultado dy dx

=-

x y

la integral esta resuelta

Derivacion implícita, mi ecuación no esta igualada a cero, por lo tanto derivo ambos lados de la igualdad, donde no la variable sea diferente a la variable con respecto a la que estoy

derivando, hago la derivada y dejo indicada la f’, posteriormente despejo lo que deje indicado y mi derivada esta resuelta. Resuelve las siguientes derivadas implícitas: 1) F(x)= x-y+3xy=2x+5y F’)x)= dx-dy+d3xy= d2x + d5y dx-dx dx dx dx

f’(x) 1- dy 3xdy+ 3y = 2 + 5 dy dx dx dx

Despejamos dy dx

-dy+3xdy-5dy= -1-3y+2 dx dx dx

dy(-6+3)= -3y+1 dx

dy= -3y+1 dx (-6+3)

2) F(x)= x2+y2= a2+y4 F’)x)= dx2 dy2 da2 y4 dx - dx = dx+ dx Despejamos dy dx 2x 2ydy 2x = dx -2y

f’(x)

2x= 4ydy 2ydy dx dx dy x dy y =dx = dx

f’(x)= -6dy+3xdy= -3y+1 dx dx

La integral esta resuelta

2x 2y dy dx

= +

=

0

4ydy dx

+

2x= - 2ydy 4ydy dx dx La integral esta resuelta

DIFERENCIACION LOGARÍTMICA 1)Y= Axp (ax+b)B Ln y Ln AxP(ax+b)B lny= LnA+((ln xP + ln(9x+b)B ) -ln (x+d)π π (cx+d) (cx+d)π ln y= ln A+Pln x+ B ln(ax+b) – πln(cx+d) 1/y(y’)= (P/x)+ (Ba/ax+b)- (πc/cx+d) Y’ = ((P/x)+(Ba/ax+b) – (πc/cx+d)) 2)Exy = x+y

exy (xy’+y)= 1+y’

y’= ((P/x)+(Ba/ax+b)- (πc/cx+d))( ((AxA )(ax+b)P )/(cx+d)π )

exy xy’ +exy y= 1+y’

exy xy’- y’ = 1-exy y y’(exy x-1)=1-exyY

3) X3 = (X-Y2 )2 3x2 = x2 -2xy2 +y4 3x2 = 2x-2(xyy’ +y2 (1) )+ 4y3 y’ 2 2 3 2 3x -2x+2y = y’ (-4xy +4y ) 3x -2x+2y2 = y’ (-4xy+4y2 ) Y’ = 3x2 -2x+2y2 -4xy+4y3 3) X3 y3 = 9+x 3x2 3y2y’ = 0+

Y’= 1-Yexy Xexy -1

y’= 1 3x2 3y2

Propiedades d ellos logaritmos: Ln an = nln a Ln ab = ln a + ln b Ln (a/b) = Ln a – Ln b Ln en = n eln n = N Y ln x= xey Resuelve: Y(1/x) + ln xy’ = xey y’ + ey (1) y’ (ln x – xey )= ey -y/x y’= (((xey -y))/x)/lnx-xey

y= (xey -y)/ x(lnx-xey )

Ln (xy)= 4x+y2 (1/xy)(1y+xy’)= 4+2yy’ (y+xy’/xy)= 4+2yy’ (y/xy)+(xy’/xy)= 4+2yy’ (xy’/xy)-2yy’ = (4-y/xy)xy y’(x-2y)= 4xy-y

Y’ = 4xy-y / x-2

DIFERENCIACION LOGARITMICA Y = (2x-5)2 / x2 4√x2 +1 ln y= ln (2x-5)3-lnx2 √x2 +1 ln y= 3ln (2x-5) – (ln x2 +ln (x2 +1)1/4 ) ln y= 3ln (2x-5) -2ln x- ¼ ln (x2+1) 1/y(y’)= 3(2/2x-5) – 2/x- ¼ (1/xx+1)(2x)

Y= xy Ln y= ln xy Ln Y= Y ln x y’/y= y/x e2 2 -x Y= X

y’ = y2 /x

-x -x 2 Y’ =(( 6/2x-5)(2/x) – (x/ 2(x2 +1)))y y’= ( -2xe lnx+e /x )y

lny= e-x 2ln x

Y= √x+1 √x2 -2 √x+4 ln y= ½ (ln x+1)+1 + ½ ln (x2 -2) + ½ ln x +4 y’/y= 1/2(x+1) + 2x/ 2(x2 -2) + 1/2(x+4)

Y= √((x-1)(x+1))/3x-4 Ln y = ½ ln ((x-1)(x+1))/3x-4 Ln y = ½ (ln (x-1) + ln (x+1) – ln (3x-4)) Y’/y = ½ ( (1/x-1) +(1/ x+1) – (3/ 3x-4)) Y= X(1x2 )2 /√2+x2 Ln y= ln x+ 2ln (1+x2 ) – ½ ln (2+x2 ) Y’/y = 1/x + 2(2x)/ (1+x2) – 2x/ (4+2x2 Y= x√x Ln y = √x ln x

Y’ =( 1 + x

y’y = ln x/ 2√x + √x /x

4x - 2x (1+x2 ) 4+2x2

)y

y’ = ( (ln x/2√x)+ (√x/x))y

OPTIMIZACIÓN:

Prueba de la primera derivada 1- F(x) =0 punto crítico F’(x) >0 + f’(x) >0+ minimo relativo F’(x)...