Apuntes Matemáticas I Notas breves sobre matrices y determinates Tema 1 PDF

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NOTAS BREVES SOBRE MATRICES Y DETERMINATES1.- Definición de matriz. Una matriz real de orden mxn siendo m y n números naturales es un conjunto de mxn números distribuidos en “m” filas y “n” columnas.Ejemplos:3x3x 3 3 14 6 40 5 83 7 2; 0 2 61 5 4    A los números que compo...

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NOTAS BREVES SOBRE MATRICES Y DETERMINATES 1.- Definición de matriz . Una matriz real de orden mxn siendo m y n números naturales es un conjunto de mxn números distribuidos en “m” filas y “n” columnas. 3 7 2     1 5 4  0 5  8  ;  Ejemplos:  4 6 4   0  2 6  2x3   3 3 1   4x3  A los números que componen las matrices se les llama elementos. Se representan en general por la expresión aij donde “i” representa la fila y “j” la columna en la que se encuentra.  a 11 a 12 a 13  Ejemplo:    a 21 a 22 a 23 2 x 3 2.- Igualdad de matrices Dos matrices son iguales si tienen el mismo orden y además los elementos colocados en el mismo lugar, valen lo mismo. ( han de ser la misma matriz) 3.- Operaciones con matrices a) Suma. Dadas dos o más matrices del mismo orden, su suma es otra matriz del mismo orden cuyos elementos se obtienen como suma de los elementos colocados en el mismo lugar de las matrices sumandos.

 6 4  7  5 9  3  1 5 4       +  Ejemplo:    0  2 6  2 x 3   3 5  1 2 x 3   3 3 5  2 x 3 b) Multiplicación por un número. Para multiplicar una matriz cualquiera por un número real, se multiplican todos los elementos de la matriz por dicho número.  2  10  8   1 5 4    =  Ejemplo: – 2·   12 2 x 3  0  2 6  2 x 3 0 4 c) Producto de matrices. El resultado de multiplicar dos matrices es otra matriz en la que el elemento que ocupa el lugar cij se obtiene sumando los productos parciales que se obtienen al multiplicar todos los elementos de la fila “i” de la primera matriz por los elementos de la columna “j” de la segunda matriz.

 1  2    1 5 4  1(1)  (2)·7 1·5  (2)(2) 1·4  ( 2)·6   ·      Ejemplo:  4·5  5( 2) 4·4  5·6   4 5   7  2 6   4( 1)  5·7   15 9  8   =   31 10 46  Nótese que para que esta operación tenga sentido tal y como se ha definido, es preciso que el número de columnas de la primera matriz, coincida con el de filas de la segunda. En caso contraria no casarían las multiplicaciones parciales. La matriz resultante tiene el número de filas de la primera y el de columnas de la segunda. Es importante subrayar también que en el caso en que se pudieran multiplicar las matrices A·B y B·A , el resultado generalmente es diferente, lo que nos dice que la multiplicación de matrices no tiene la propiedad conmutativa.

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4.- Matrices traspuestas Dada una matriz A, su traspuesta ( At) es la que se obtiene al cambiar filas por columnas en el  1 0     1 5 4  t A =  5  2  mismo orden. Ejemplo: A =    0  2 6 2 x 3 4 6 3 x 2  Ejemplo: Dadas las matrices

 1 1 1    A =   3 2 1   2  2 0   

 1 2 3   B =  2 4 6  , calcular :  1 2 3  

y

a) A + B; b) A – B c) 2A d) – 3B e) 3A + 2B; f) (A – B)t ; g) A·B ; h) B·A ; i) At Solución  2 1 4   a) A + B =   1 6 5   1 0 3  

d) – 3B =  0 5   3  2  2  7 

 0 3 2   b) A – B =   5  2  7   3  4  3   

 3  6  9      6  12  18  e) 3A + 2B =  3  6  9    3  4  3 

0 0   0   0 0  h) BA = g) AB =  0   6  12  18   

 2 2 2    c) 2A =   6 4  2   4  4 0   

1 9  5   t   5 14 9  f) (A – B) =   4  2 6  

  11  3  1     22  6  2    11  3  1   

i)

At

 1  3  2   =   1 2  2  1 1 0   

5.- Determinante de una matriz cuadrada Es un número asociado a toda matriz cuadrada y que en el caso de las de 2x2 y 3x3 se calcula de las siguientes maneras.

a Sea A =  11  a 21

a a 12   su determinante que se expresa A  11 a 21 a 22 

 a 11 a 12  En el caso de que sea A =  a 21 a 22 a  31 a 32 a11 a 12 a 13 A  a21 a 22 a 23  a11 a22 a33  a12 a31

a 32

a 12  a11 ·a 22  a12 ·a 21 a 22

a 13   a 23  se calcula como: a 33  a23 a31  a21 a32 a13 a13 a22 a31 a12 a21 a33 a23 a32 a11

a 33

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Obsérvese que en este caso los productos positivos están formados por los elementos de la diagonal principal y sus dos paralelas multiplicadas por el elemento que está en el extremo opuesta. Análogo para la secundaria y sus paralelas. Este método es conocido como la “regla de Sarrus” Ejemplos: Calcula A 

5 2

6  5(4)  6(2)  20  12  8 4 2 5  3 1  3( 3)6  ( 2)1( 4)  4·2·5  5(3)(4)  (2)4·6  1·2·3 

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Calcula A  4 4 2 6 = – 54 +8 + 40 – 60 + 48 – 6 = – 24. EJERCICIOS PROPUESTOS

Calcular el valor de los siguientes determinantes:

a)

2 5 1 3

1 2 0 b)

0 2 3

7 c)

1 3 1

3 2

6 1 3 1 2 2

0

3

1 0

1

0

1

1 d)

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SOLUCIONES a) 1 b) – 1 c) – 1 d) – 1 6.- Propiedades de los determinantes 1.- Si una matriz cuadrada tiene una línea con todos los elementos 0, el determinante vale 0 2.- Si una matriz cuadrada tiene dos líneas paralelas iguales, el determinante vale 0 3.- Si una matriz cuadrada tiene dos líneas paralelas proporcionales, el determinante vale 0 4.- El determinante de una matriz cuadrada y el de su traspuesta valen lo mismo 5.- Si se intercambian dos líneas paralelas, el determinante cambia de signo 6.- Si multiplicamos los elementos de una línea por un número, el determinante también queda multiplicado por el mismo número  5 6  . Su determinante vale A  32. Ahora multiplicamos la Ejemplo: Sea la matriz A =    2 4  5 18   . Su segunda columna ( por ejemplo) por 3. Nos quedaría la matriz B =    2 12  determinante sería B  96 que sería 32·3 7.- El determinante del producto de dos matrices es igual al producto de los determinantes de dichas matrices, es decir A·B  A · B 8.- Si un determinante vale0, las filas o columnas son linealmente dependientes y si es distinto de cero son linealmente independientes

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TEMA I. ESPACIO VECTORIAL 1.- ESPACIO VECTORIAL Es una estructura algebraica formada por un conjunto E a cuyos elementos llamaremos vectores en el que se ha definido una ley de composición interna (operación) que denotaremos por “+” que cumple las siguientes propiedades: a) u + ( v + w ) = ( u + v ) + w b) u + v = v + u

Asociativa

Conmutativa

c) Existe un elemento de E que denotaremos por 0 tal que u + 0 = u y que llamaremos elemento neutro d) Dado un elemento u de E existe otro llamado – u tal que u + ( – u) = 0 que llamaremos elemento simétrico

También se ha definido una ley de composición externa sobre un cuerpo K (generalmente el cuerpo de los números reales), es decir una operación de un elemento de E con otro de K para obtener otro de E que cumple las propiedades siguientes: a) a( u + v ) = au + av b) ( a + b )u = au + bu c) a(bu) = (ab)u d) 1·u = u Siendo a y b elementos de K y u y v elementos de E Entonces al conjunto E con estas operaciones y cumpliendo las 8 propiedades se dice que es un espacio vectorial sobre K A los elementos de un espacio vectorial se les llama vectores y a los elementos de K se les llama escalares. Ejemplo El conjunto R2 que son pares de números reales (x , y) con la suma definida como: ( x1 , y1) + ( x2 ,y2 ) = ( x1 + x2 , y1 + y2 ) y la multiplicación por un número definida como: a( x, y ) = ( ax , ay ) también es un espacio vectorial sobre R. Análogo para R3 y en general Rn.

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2.- COMBINACIÓN LINEAL DE VECTORES Dado un conjunto de vectores u 1, u 2, u 3 ,....... u n , una combinación lineal de ellos es el vector que se obtiene al sumar los vectores dados multiplicados previamente por números cualesquiera.

Ejemplos: a) Sean los vectores (3,2), (1, 1) . Multiplicamos el primero por – 2 por ej. y el segundo por 4 quedando – 2( 3, – 2) + 4( – 1, 1) = ( – 10, 8 ). Este vector ( – 10, 8 ) se dice que es combinación lineal de los dos primeros. Obviamente se podrán obtener infinitos vectores generados por ellos, sin más que cambiar los números por los que multiplicamos. b) ¿Es el vector ( – 5 , 6 ) también una combinación lineal de los dados? Si lo fuera tendría que haber dos números a y b tales que ( – 5, 6) = a( 3, – 2) + b( – 1, 1 ) Operando el segundo

miembro e igualando componentes llegaríamos a un sistema que 3a  b  5  resolvemos, es decir ( – 5, 6 ) = ( 3a – b, – 2a + b ) y de aquí  de donde  2a  b  6  a = 1 y b = 8. Por tanto sí que lo es c) ¿ Es el vector ( 4, – 3 ) una combinación lineal de los vectores ( 1, – 2 ) ( – 2, 4 )? Planteando lo mismo de antes llegamos a que ( 4, – 3 ) = a( 1, – 2 ) + b( – 2, 4 ) y de aquí al a  2b  4  sistema  Al resolver este sistema vemos que es incompatible. Por lo tanto no  2a  4b  3 es combinación lineal. 3.- VECTORES LINEALMENTE DEPENDIENTES e INDEPENDIENTES Dado un conjunto de vectores u 1, u 2, u 3 ,....... u n , diremos que constituyen un sistema linealmente independiente o sistema libre, si la única forma de obtener el vector nulo como combinación lineal de ellos es que “todos los escalares” valgan 0. En caso contrario, es decir si al menos un escalar es distinto de 0, el sistema es linealmente dependiente. Ejemplos: a) ¿Cómo son los vectores

(3,2); (1, 1)?

Hemos de plantear la siguiente condición a(3, – 2) + b( – 1, 1) = (0, 0 ). El sistema que 3a  b  0  obtenemos será  que al resolverlo nos da a = b = 0 y por tanto son linealmente  2a  b  0  independientes ( L. I.)

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b) ¿Y los vectores (1, – 2 ) ( – 2, 4 )?

a  2b  0    2a  4b  0 que es compatible e indeterminado. Tomando por ejemplo a = 6 b = 3 se cumple la igualdad sin que los escalares sean 0. El sistema es linealmente dependiente. (L. D.) Al plantear la condición a(1, – 2) + b( – 2, 4 ) = ( 0, 0) obtenemos el sistema

Obsérvese que el sistema planteado siempre es homogéneo con lo que sólo caben dos posibilidades: si es determinado, la solución es la trivial y el sistema es L. I. y si es indeterminado es L. D. c) Comprobar que los vectores (1, 0, 1); (2, 1, 4); (2,  3, 1)  son L. I. d) Comprobar que los vectores (1, 0, 1); (2, 1, 4); (3,  1,  3)  son L. D. 4.- SISTEMA GENERADOR Dado un conjunto de vectores u 1, u 2, u 3 ,....... u n , diremos que es un sistema generador para el espacio vectorial E, si cualquier vector de E se puede escribir como una combinación li neal de ellos. Es decir si w  E w = a 1u 1  a 2u 2  .......... a n u n . Ejemplos: a) Probar que los vectores (3,2); ( 1, 1) son un sistema generador ( S. G. ) de R2 Cojamos un vector cualquiera de R2 por ejemplo ( m, n ) y escribimos

3a  b  m   de donde obtenemos  2a  b  n  a = m + n y b = 2m + 3n lo que nos indica que sea cual sea el valor de m y n siempre podemos obtener el valor de “a” y “b” a(3, – 2) + b( – 1, 1) = (m, n ). De aquí el sistema

b) ¿ Y los vectores ( 1, – 2 ) ( – 2, 4 )?

a  2b  m    2a  4b  n  que al resolverlo nos da 0 = 2m + n , o sea no podemos calcular el valor de “a” y “b” y por lo tanto no lo puede generar. Para un vector ( m, n ) tendríamos a(1, – 2) + b( – 2, 4 ) = ( m, n) y de aquí

5.- BASE y DIMENSIÓN DE UN ESPACIO VECTORIAL Una base de un espacio vectorial es un conjunto de vectores que cumplen dos condiciones: a) Es un sistema de vectores linealmente independientes b) Es un sistema generador del espacio vectorial Se demuestra que todas las bases de un espacio vectorial que puede tener infinitas tienen el mismo número de vectores. A dicho número se le llama “dimensión” del espacio vectorial.

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Así la dimensión de R2 es 2 ; la de R3 es 3 y en general la de Rn es n. La dimensión del subespacio vectorial formado por el {0} tiene dimensión 0 A la base cuyos vectores tienen sus componentes 0 excepto una que vale 1 se le llama “base canónica”. En R2 sería { ( 1, 0) ( 0, 1) }. En R3 { ( 1,0, 0 ) ( 0, 1, 0 ) ( 0, 0, 1 ) } y así sucesivamente. 6.- COORDENADAS DE UN VECTOR RESPECTO DE UNA BASE Son los escalares por los que hay que multiplicar los vectores de la base para obtener el vector dado Ejemplos: a) Calcular las coordenadas del vector ( – 5, 6) respecto de la base {( 3, – 2) ;( – 1, 1 )} Ya hemos visto antes que ( – 5, 6) = a( 3, – 2) + b( – 1, 1 ) nos da como resultado a = 1 y b = 8. Dichos números 1 y 8 son las coordenadas buscadas b) ¿Y respecto de la base canónica?. Obsérvese que en este caso ( – 5, 6) = a( 1, 0) + b( 0 ,1 ) nos da a = – 5 b = 6 . Es decir en la base canónica, coinciden “las componentes del vector con las coordenadas de dicho vector respecto de la base canónica” c) Calcular las coordenadas de los vectores a) ( 10, – 6 , – 9) b) ( 1, – 7, 10) c) ( – 1, 7, 7) respecto de la base (1, 0, 1); (2, 1, 4); (2,  3, 1)  ( Habría que hacer un sistema para cada vector): Sol: a) 2, – 3, 1 b) – 1, 2, 3 c) 5, 1, – 2 7.- TEOREMAS RELATIVOS A BASES 7.1.- En Rn “n” vectores linealmente independientes son base 7.2.- En Rn “n” vectores que forman un sistema generador son base Estos teoremas nos permiten a la hora de demostrar que un sistema de vectores es una base, comprobar una sola de las dos condiciones de base. 8.- SUBESPACIO VECTORIAL Sea E un espacio vectorial y sea F un subconjunto de E. Diremos que F es un subespacio vectorial de E si es un espacio vectorial con sus elementos y las operaciones inducidas de E. Nota importante: Como F ha de ser espacio vectorial ha de contener el elemento neutro de E Caracterización: Sea E un espacio vectorial y sea F  E diremos que F es subespacio  u, v  F  ,   K es u  v  F vectorial de E si es decir cualquier combinación lineal de elementos de F es un elemento de F. Ejemplo: Sea E = R2 un espacio vectorial y sea F = (x , y) R2 / x 1  0  es decir F lo forman los vectores de R2 cuya primera componente vale 0. Veamos que es un subespacio vectorial. Cogemos dos elementos de F u = ( 0 , y1) v = ( 0, y2) y dos números reales  y  . Calculamos u  v  (0 , y1 )  (0 , y 2 )  (0 , y1 )  (0 , y2 )  7

= (0 ,  y1   y 2 ) que es un elemento de F, por tener la primera componente nula. Por lo tanto F es subespacio vectorial. 9.- FORMAS DE EXPRESAR UN SUBESPACIO Son tres: a) Mediante las ecuaciones implícitas o cartesianas que son igualdades que relacionan las componentes de los vectores. Ejemplo 1º: Sea F = x , y  R 2 / 2x  y  0  . En este caso los vectores de F son aquellos que verifican que el doble de la primera componente más la segunda es igual a 0. Vectores de F serían ( – 3, 5  6) ( 2, – 4) ( 0, 0 )  ,  5  etc.. 2  Ejemplo 2º : Sea F = { ( x1, x2, x3 )  R 3 / 3x1 – 2x2 + x3 = 0 }. En este caso podrían ser de F los vectores ( 1, 1, – 1) ( 0, 0, 0 ) ( 2, 3, 0 ) ( – 2, 4 , 14) etc. b) Mediante las ecuaciones paramétricas. Las componentes se relacionan mediante parámetros que son letras que pueden tomar valores arbitrarios. Ejemplo 1º: Sea F = x , y  R 2 / ( x , y)  ( ,  3. En este caso nos indica que si x toma un valor cualquiera, la y ha de valer el triple con signo cambiado. Vectores de F serían ( 0, 0) ( 1, – 3) ( – 2, 6) ( 4, – 12) etc.. Ejemplo 2º: Sea F = { ( , 2,   )   R }. Se nos indica que los vectores, que son de R3, tienen la característica de que la 1ª y la 3ª componente son opuestas y la 2ª es el doble de la 1ª; por ejemplo los vectores ( 3, 6, – 3 ) y ( – 1, – 2, 1 ) pertenecen a F Ejemplo 3º : Sea F = { ( , ,    ) ,   R } En este caso se significa que la 1ª componente x1 toma un valor arbitrario  , la 2ª x2 toma otro valor independiente del 1ª que llamamos  y la 3ª, vale la resta de los dos. Por ejemplo: ( 3, – 1, 4 ) ( – 2, 1, – 3 ). c) Dando los vectores que generan el subespacio. En este caso los vectores de F son los generados por él o ellos.

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Ejemplo 1º: Sea F = R( 1, – 1). Esta forma de expresar el subespacio no indica que los vectores de él son los generados por el ( 1, – 1), es decir por ej. (4, – 4) (– 2, 2 ) ( 0, 0) ( – 5, 5) etc. Ejemplo 2º Sea F = R ( –1, 1, 0 ) + R ( 2, 0, 1 ) = { a ( –1, 1, 0 ) + b ( 2, 0, 1 ) } = { ( – a + 2b, a, b ) } Es importante de cara a la resolución de problemas, el saber pasar de un modo a otro. Veámoslo con algún ejemplo. El paso del modo c) al b) está resuelto en el ejemplo anterior. En el caso que tengamos que pasar del b) al c), no habría más que sacar factor común los parámetros a y b . Por ejemplo: Ejemplo 1º : Sea F = { ( a, – 3a ) } = { a ( 1, – 3 ) } = R ( 1, – 3 ) y ya estaríamos en la c) Ejemplo 2º : Sea F = {( a – b, b, 3a + b )} = {a (1, 0, 3 ) + b ( – 1, 1, 1 )} = = R (1, 0, 3 ) + R( – 1, 1,1 ) Para pasar del b) al a) se eliminan los parámetros. Por ejemplo: Sea F = { ( a, 3a ) a R }. Significa que x1 = a y x2 = 3a. Sustituyendo el valor de a en la 2ª quedaría x2 = 3 x1 de donde 3x1 – x2 = 0 que es la ecuación cartesiana Ejemplo 3º : Sea F = { ( a + b, 2a, 3a – b ) a, b  R }. De aquí x1  a  b   x 2  2a  x 3  3a  b 

Entre la 1ª y la 3ª, sumándolas eliminamos b y queda

x1 + x3 = 4a (1) y

junto con x2 = 2a que multiplicamos por – 2 y sumamos con (1) quedaría x1 – 2x2 + x3 = 0. Para pasar de la a) a la b) se calcula el valor de cada componente, teniendo en cuenta que al menos una tendrá que tomar valores arbitrarios. Ejemplo 1º Sea el subespacio cuya ecuación cartesiana es 2x1 – x2 = 0 : si queremos calcular x1, es evidente que su valor dependerá de lo que valga x2 y viceversa. Así si queremos despejar x1, a le daremos a x2 el valor “a” y x1 = con lo que el subespacio será: 2 a F = { (x1,x2 ) = ( , a ) } lo que nos dice que el valor de la 1ª componente es la mitad del de 2 la 2ª. Para evitar trabajar con fracciones se puede escribir F = { ( a, 2a) } que representa el mismo subespacio

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Ejemplo 2º Sea F = { (x1, x2, x3 ) de R3 / x1 + x2 – 2x3 = 0 } El valor de cada una de ellas depende de las otras dos, por lo tanto al calcularla tendremos que darle a x2 por ej. el valor “a” y a x3 el valor “b” con lo que x1 = – a + 2b y el subespacio quedaría: F = { ( x1, x2, x3 ) = ( – a +2b, a, b ) } que al sacar factor común a y b quedaría F = { a ( – 1, 1, 0 ) + b ( 2, 0, 1 ) } = R ( – 1, 1, 0 ) + R ( 2, 0, 1 ) y estaríamos en la forma c). Por último, en el caso en que F viniera en función de dos ecuaciones implícitas por ej. F = {( x1, x2, x3 ) / x1 + x2 – 2x3 = 0 x1 – x2 = 0 }, resolveríamos el sistema quedándonos con dos incógnitas al haber dos ecuaciones, con lo que dependerían de una sola incógnita

x 1  x 2  2 x 3  0  x1  x2  0 

x1  x 2  2 x3   x1  x2  0 

le damos a x3 el valor “a” y resolvemos el sistema obteniendo x1 = a y x2 = a. Luego F será F = { ( x1, x2, x3 ) = ( a, a, a ) } = {a ( 1, 1, 1 ) } = R( 1, 1, 1) 10.- SUBESPACIO INTERSECCIÓN DE OTROS Dados dos subespacios L y M, el subespacio intersección L M , está formado por los vectores que pertenecen simultáneamente a los dos. La forma más fácil de averiguarlo es, una vez expresados en forma implícita, resolver el sistema formado por sus ecuaciones. ( se verá en la parte práctica ) . Si la intersección es el vector nulo se dirá que los subespacios son independientes. Ejemplo 1º Sea L = x , y  R 2 / 2x  y  0  y sea M = x , y  R 2 / ( x , y)  ( ,  3 Veamos cuál es el subespacio intersección. Escribamos la ecuación implícita o cartesiana del subespacio M . Para ello eliminamos el parámetro  Como

x    y   3 

y  3x es decir 3x + y = 0. Resolviendo el sistema formado por las

dos ecuaciones cartesianas tendremos

2 x  y  0  cuya solución es x = y = 0. 3x  y  0

Es decir el único vector que pertenece a los dos subespacios simultáneamente es el vector nulo, que sabemos que pertenece a cualquier subespacio. Por tanto L y M son independientes

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Ejemplo 2º Sea L = { ( , 2,   )   R }. y sea M = { (x, y, z ) de R3 / x + y – 2z = 0 }...