Arithmetik in der Grundschule I PDF

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Arithmetik in der Grundschule I 1. Einblick in den Lehrplan. Was ist wichtig im Mathematikunterricht der Grundschule? Fachprofil Mathematik des Bayerischen Lehrplans aus dem Jahr 2000: Kinder bei Eintritt in die Grundschule bereits Vorerfahrungen gemacht: Dinge und Vorgänge aus ihrer Umwelt lassen sich:      

Vergleichen Ordnen Einteilen Zählen Messen Mathematikunterricht an diese individuell unterschiedlichen Kenntnisse anknüpfen und sie systematisch zu erweitern

In der Grundschule sind folgende Fähigkeiten zu entwickeln und intensivieren:  Vergleichen  Unterscheiden  Klassifizieren  Ordnen  Strukturieren  Transformieren  Verknüpfen  Zerlegen  Schlüsse ziehen  Gesetzmäßigkeiten erkennen  Regeln bilden  Erkanntes auf andere Zusammenhänge übertragen Im Zusammenhang mit Sachsituationen sollen Kinder lernen, wie sie „Sachverhalte 

handelnd



bildhaf

 

verbal plausibel



logisch

begründen, Vermutungen und Behauptungen überprüfen und Widersprüche aufdecken. Mathematik hat auch mit logischem Denken zu tun. Daher sollen Kinder 

Aussagen und Lösungswege plausibel begründen



Vermutungen und Behauptungen überprüfen

 Widersprüche aufdecken Arbeitsmittel und Zeichengeräte sachgerecht benutzen, sowie 

konzentriert



genau



übersichtlich arbeiten können.

Principles und Srandards des National Council of Teachers of Mathematiks NCTM aus dem Jahr 2000: Primarbereich (Beschluss: 15.10.2004):

 

das Problemlösen das Kommunizieren



das Argumentieren



das Modellieren



das Darstellen

von Mathematik genannt. Die Standards für die inhaltsbezogenen mathematischen Kompetenzen beziehen sich auf

 

Zahlen und Operationen Raum und Form



Muster und Strukturen



Größen und Messen



Daten



Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit

Drei Anforderungsbereiche werden unterschieden:

 

Reproduzieren Zusammenhänge herstellen



Verallgemeinern und Reflektieren

Im Internet sind die Bildungsstandards für die Grundschule zu finden unter: http://www.kmk.org/fileadmin/Dateien/veroeffentlchungen_beschluesse/2004/2004_10_15-Bildungsstandards_Mathe_Primar.pdf

Grundschul-LehrplanPlus: allgemeine mathematische Kompetenzen:

Modellieren: - Entnehmen relevanter Informationen aus Sachtexten bzw. anderen Darstellungen der Lebenswirklichkeit und Übersetzen dieser in die Sprache der Mathematik. - Erkennen mathematischer Zusammenhänge und Nutzen dieser zum Gelangen an Lösungen, die sie abschließend wieder auf die konkrete Situation anwenden - in der Grundschule werden mathematische Herangehensweisen und Modellierungskompetenzen grundgelegt - Erwerb ist elementar für das Lösen anwendungsbezogener mathematischer Probleme und wirkt sich nachhaltig und konsequent auf alle anderen Lernbereiche im Fachlehrplan aus 

Im gesamten Mathematikunterricht der Grundschule von Beginn an stets Anknüpfungspunkte für Modellierungsprozesse angeboten

Probleme lösen: - wird gelernt, wenn die bereits vorhandenen mathematischen Kenntnisse, Fähigkeit und Fertigkeiten bei der Bearbeitung herausfordernder oder unbekannter Aufgaben anwenden und dabei Lösungsstrategien entwickeln und nutzen - in der Lage sein, relevante Informationen aus verschiedenen Quellen zielgerichtet zu verarbeiten und Lösungen plausibel darzustellen

Kommunizieren: - Anwenden dieser Kompetenz in kooperativen und interaktiven Unterrichtsprozessen - Richtiges nutzen mathematischer Fachbegriff und Zeichen - Schrittweise Gewinnung an Erfahrung, Mathematikaufgaben auch gemeinsam zu bearbeiten, sowie Lösungswege anderen nachvollziehbar zu beschreiben

Argumentieren: - Sicherung, indem mathematische Aussagen hinterfragt und auf Korrektheit oder Plausibilität überprüfen, dabei Erkennen mathematischer Zusammenhänge, Entwickeln von Lösungswegen im Rahmen der Möglichkeiten und Suchen situationsangemessener Begründungen, welche alleine oder zusammen mit anderen erläutert werden - ungewöhnliche Rechenwege regen zum Nachdenken an und fordern zum Argumentieren heraus 

Diese Kompetenzen erwerben + festigen die SuS, indem sie auch für das Bearbeiten mathematischer Probleme (bspw.: geeignete Skizzen, Rechnungen oder Tabellen) lesen + selbst entwickeln



Zwischen verschiedenen Darstellungen auswählen + nutzen



Kinder lernen in der Grundschule, eine Darstellung in eine andere zu übertragen sowie verschiedene Darstellungen zu vergleichen und zu bewerten



Bezgl. Der inhaltlichen Bereiche der Bildungsstandards + des neuen Lehrplans: Diese Vorlesung beschäfigt sich vor allem:

- mit den Grundlagen des Bereiches „Zahlen und Operationen“ - dem Erkennen und Benennen von „Mustern und Strukturen“ Für die anderen Bereiche gibt es eigene Vorlesungen („Geometrie“ und „Größen und Arbeiten an Sachsituationen“)

LehrplanPLUS: „Muster und Strukturen“: - Vielzahl unterschiedlicher mathematischer Fähigkeiten und Fertigkeiten beruht auf dem Verständnis zugrunde liegender Muster und Strukturen - Verständnis hilf, größere Zusammenhänge zu erkennen und Erkenntnisse auf neue Inhalte und Anforderungen zu übertragen - das Erkennen, Beschreiben und Begründen von Mustern und Strukturen ist eine grundlegende Kompetenz, die bei der Lösung von mathematischen Problemen und Sachsituationen zur Anwendung kommt - dieser Gegenstandsbereich durchzieht alle anderen Bereiche des Mathematikunterrichts als unerlässliches Prinzip - zum Bereich Muster und Strukturen zählen Tätigkeiten wie: Sachgemäß und zielgerichtet zu ordnen, zu untergliedern, über Beziehungen nachzudenken oder Rechenregeln einzusetzen -> diese Kompetenzen nutzen die Lernenden nicht nur in außermathematischen Kontexten (Anwendungssituationen), sondern auch innermathemaisch (Strukturierung)

LehrplanPLUS: „Zahlen und Operationen“: - Entwickeln in einem nachhaltigen und lebensweltbezogenen Mathematikunterricht ein erstes Verständnis für unterschiedliche Zahlaspekte (z.B. Zahlen als Platznummern, Zahlen als Maßzahlen) - auf dieser Grundlage wird eine umfassende Zahlvorstellung (z.B. Struktur des Zehnersystems, Zahldarstellung) erworben - Erlernen der vier Grundrechenarten, flexibel und aufgabenangemessen im Kopf, halbschriftlich sowie schriftlich rechnen, vorteilhafe Strategien anwenden - einfache kombinatorische Aufgaben werden durch probierendes Handeln und zunehmend systematisches Vorgehen bearbeitet - Sachsituationen und Mathematik werden in Beziehung gesetzt und mithilfe der Grundrechenarten gelöst Im ersten Semester (Arithmetik I): Es werden die fachlichen Grundlagen bearbeitet, die in der Grundschule im Blick auf die dort besprochenen Zahlen und Rechenarten von Bedeutung sind. Wie diese Inhalte in der GS behandelt werden, wird of nur angedeutet. Im zweiten Semester (Arithmetik II): Ausführliche Beschäfigung, mit dem, was konkret im Schulunterricht zur Sprache kommen wird, wie Kinder damit umgehen und wie wir ihnen helfen können, ihr Verständnis zu vertiefen. Dazu sollte man fachliches Wissen aus der ersten Vorlesung mitbringen. Überblick Grundschullehrplan:

M1/2 Lernbereich 1: Zahlen und Operationen M1/2 1.1 Zahlen strukturiert darstellen und Zahlbeziehungen formulieren M1/2 1.2 Im Zahlenraum bis Hundert rechnen und Strukturen nutzen bei ¾: bis zur Milliom M1/2 1.3 Sachsituationen und Mathematik in Beziehung setzen

M1/2 Lernbereich 2: Raum und Form M1/2 2.1 Sich im Raum orientieren M1/2 2.2 Geometrische Figuren benennen und darstellen M1/2 2.3 Geometrische Abbildungen erkennen und darstellen M1/2 2.4 Geometrische Muster untersuchen und erstellen M1/2 2.5. Flächeninhalte/Umfänge bestimmen und vergleichen bei ¾: Rauminhalte b.u.v.

M1/2 Lernbereich 3: Größen und Messen M1/2 3.1 Messhandlungen durchführen M1/2 3.2 Größen strukturieren und Größenvorstellungen nutzen M1/2 3.3 Mit Größen in Sachsituationen umgehen

M1/2 Lernbereich 4: Daten und Zufall M1/2 4.1 Daten erfassen und strukturiert darstellen

M1/2 4.2 Zufallsexperimente durchführen und Wahrscheinlichkeiten vergleichen Folgende inhaltliche Kompetenzen sollen am Ende der Jahrgangsstufe 2 vorhanden sein: 

Die SuS nutzen grundlegende Vorstellungen zur Struktur des Zehnersystems sowie zu Rechenoperationen. Damit lösen sie Aufgaben zu den vier Grundrechenarten im Zahlenraum bis Hundert sowohl mithilfe von Notizen als auch im Kopf. Aufgaben des Einspluseins bis Zwanzig und Einmaleinsaufgaben mit 1, 2, 5, 10 sowie Quadratsätze des kleinen Einmaleins wenden sie automatisiert und flexibel an.



Die SuS vergleichen im Austausch mit anderen ihre Lösungswege und überprüfen Ergebnisse sowohl rechnierisch (z.B. Umkehraufgabe) als auch aus dem Sachzusammenhang heraus (Plausibilität).



Sie lösen einfache kombinatorische Aufgaben (z.B. mögliche Kombinationen von 3 T-Shirts, 2 Hosen) aus ihrem Erfahrungsbereich.

Die SuS erkennen und beschreiben Muster (z.B. Zahlenfolgen) und Strukturen (z.B. Aufbau der Hundertertafel); sie nutzen Gesetzmäßigkeiten (z.B. Tauschaufgaben) und Strategien beim Rechnen. Für das Ende der Grundschulzeit gilt: 



Die SuS rechnen in den vier Grundrechenarten, nutzen dabei ihr Verständnis des Stellenwertsystems sowie Zahlbeziehungen und wenden verschiedene Rechenstrategien und –verfahren (Kopfrechnen, halbschrifliches und schrifliches Rechnen) im Zahlenraum bis zur Million richtig und situationsangemessen an. Aufgaben des kleinen Einmaleins wenden sie automatisiert und flexibel an.



Bei der Lösung mathematischer Probleme und Fragestellungen beschreiben und bewerten die SuS im Austausch mit anderen verschiedene Rechenwege und Strategien.



Sie überprüfen Ergebnisse auf Plausibilität und verbessern fehlerhafte Rechenwege. Sie lösen einfache kombinatorische Aufgaben (z.B. mögliche Kombinationen von 3 T-Shirts, 2 Hosen, 2 Paar Socken) aus ihrem Erfahrungsbereich und stellen ihre Lösungen strukturiert dar (z.B. in einem Baumdiagramm).



Die SuS beschreiben, begründen und nutzen Muster (z.B. geeignete Aufgabenfolgen) und Strukturen (z.B. Aufbau des Tausenders); sie wenden Gesetzmäßigkeiten (z.B. gleichsinniges Verändern) und Strategien beim Rechnen in den vier Grundrechenarten an.

Im Lehrplan 2000 gab es eine Trennung zwischen den Bereichen „Zahlen“ und „Rechnen“. 

Das sollte zeigen, dass es wichtig ist, dass Kinder zunächst ein Verständnis für Zahlen gewinnen müssen, bevor sie mit ihnen zu rechnen anfangen.

Erst muss eine Größenvorstellung und ein Verständnis für das Dezimalsystem entwickelt werden. Das Rechnen soll nicht nur ein formales Operieren mit Zahlen (bzw. deren Ziffern) sein, sondern auf einer fundierten Zahlvorstellung aufbauen. Beim Rechnen unterscheidet man dann zwischen mündlichem Rechnen (Kopfrechnen), halbschriftlichem Rechnen (Rechnen mit den Zahlen, wobei man sich Zwischenergebnisse notiert) und schriftlichem Rechnen (Rechnen defacto mit den Ziffern nach einem vorgegebenen Algorithmus). Statt sich halbschriftlich Notizen zu machen werden vor allem in der 1. Und 2.Klasse häufig Materialien zur Hilfe genommen (enaktive Stufe). Auch in der 3. und 4. Klasse spielen Materialien zum Aufbau von Größenvorstellungen bzgl. Zahlen eine große Rolle.

2. Zahlaspekte 

Zahlen in verschiedenen Aspekten



Wichtig zu erkennen, welcher Aspekt eine Rolle spielt, um Bedeutung einer Zahl richtig zu deuten



Man unterscheidet:

ASPEKT Kardinalaspekt Ordinalaspekt:



ERKLÄRUNG

FRAGE

Beschreiben von Anzahlen

Wie viele?

Kennzeichen einer Reihenfolge innerhalb einer Reihe

An welcher Stelle? Der/Die wievielte)

Operatoraspekt Rechenzahlaspekt  algebraischer Aspekt  algorithmische r Aspekt Codierungsaspekt

Selina hat 3 Geschwister. Sie hat 2 Hefe.

Es ist der 27. Mai. Eva liegt an 3. Stelle.

Ordnungszahl

 Zählzahl Maßzahl/Skalenaspekt

BEISPIEL

Bezeichnung von Größen, als Maßzahlen bezüglich einer Einheit Beschreibung der Vielfachheit einer/s Handlung/Vorgangs Beruht auf der Gültigkeit Algebraischer Gesetzmäßigkeiten Mit natürlichen Zahlen kann man eindeutig best. Folgen von Handlungsanweisungen ziffernweise rechnen Benennung und Unterscheidung von Dingen; Ziffernfolge dient zur Codierung

Wie lange? Wie teuer? Wie schwer? Wie of?



Zählen stellt Verbindung zwischen den verschiedenen Aspekten her

Eva ist die Nummer 3. Der Weg ist 2km lang. Das Eis kostet 3€. Das Paket wiegt 3 Kilo. Ich muss zweimal zum Arzt. Du schreibst die Seite dreimal. 3+5=5+3 (Kommunikativgesetz) (3 + 5) + 7 = 3 + (5 + 7) z.B. schrifliche Addition

Meine Telefonnummer ist 12345. Eine Postleitzahl von Bayreuth ist 945445.



Zuletzt genannte Zahl beim Zählen gibt die Anzahl an -> Kardinalzahl



Reihenfolge innerhalb der Reihe bekommt man durch Abzählen -> Ordinalzahl



Kinder erfahren verschiedene Zahlaspekte in speziellen Situationen



Sie lernen Zahlbedeutungen mit der Zeit zunächst getrennt kennen

 Erst während der Schulzeit begreifen sie die Beziehungen zw. den Aspekten  gelangen zu einem umfassenden Zahlenbegriff, der die Aspekte integriert. Anmerkung zu den Zählzahlen: - wünschenswert: Kinder (wie auch Erwachsene) nicht jede Menge abzählen, sondern dass es gelingt, Anzahlen simultan oder zumindest quasisimultan (ein Teil wird simultan erfasst, der Rest ergänzt) zu erfassen - meist: Erwachsene + Kinder können bis zu fünf Gegenstände simultan (d.h. auf einen Blick und ohne zu Zählen) erfassen, sind es mehr, so muss in der Regel gezählt werden - aber: Muster, die man quasisimultan erfassen kann (z.B. 6 Würfelsaugen, zwei Würfel, einen mit 5, einen mit 4 Augen, usw.); Vor allem das Verwenden von Fünferbündeln hilf beim quasisimultanen Erfassen („Kraf der 5“)

Übungsaufgaben: 1.

Nennen Sie mindestens drei Beispiele zu den folgenden Zahlaspekten: Kardinalzahl, Ordinalzahl, Maßzahl, Operator, Rechenzahl, Zahl als Codierung (siehe oben)

2.  3.

Nennen Sie Beispielsituationen aus dem Alltag, in denen ohne Zählen ermittelt wird, ob zwei Mengen von Personen, Gegenständen usw. der Anzahl nach gleich groß sind oder nicht. Gleiche Verteilung im Flugzeug auf beiden Seiten; zwei Gläser, gleiche Menge Wasser?; Größe zweier Kinder; Bücherstapel

Betrachten Sie folgenden Fahrplanauszug. Welche Zahlaspekte können Sie identifizieren?



Zählzahl: Gleis; Kardinalzahl: Datum; Maßzahl: Dauer; Codierung: Zugzahl; Operator: Wie of fährt der Zug? / Wie of umsteigen?; Rechenzahlaspekt: Fahrtzeit berechnen; Skalenaspekt: Uhrzeit

3. Relationen - Zwischen Zahlen gibt es verschiedene Beziehungen (Relationen) - Ähnliche Beziehungen: zwischen geometrischen Objekten + Gegenstände außerhalb der Mathematik (gelegentlich werden diese Bereiche hier zum Vergleich herangezogen) - allerdings: Fokus vor allem auf Beziehungen zwischen Zahlen oder Termen, denn in Arithmetik: Zahlen!! - Vor dem Rechnen, Zahlen in Beziehung setzen (Bereich Zahlen im alten Lehrplan ein eigenes Thema) - zunächst wird darauf beschränkt, 2 Zahlen zueinander in Beziehung zu setzen, allerdings sollten auch Terme zueinander in Beziehung gebracht werden (Beispiel: der Term 2 + 3 ist gleichwertig zum Term 5)

- Bereits bekannte Worte aus dem Lehrplan: „Vergleichen, Ordnen, Klassifizieren“ -> Inhalt dieses Kapitels  In der Schule schon relativ früh: Wenn Kinder einzelne Ziffern gelernt haben, werden sie angehalten zu vergleichen, welche Zahl für eine kleinere oder größere Menge steht 

Ordnungsrelationen < und > werden eingeführt, zunächst für Zahlen, später auch für Terme (z.B. 3+5 > 4+2)



Zusammen mit Ordnungsrelationen wird auch Gleichheitsrelation eingeführt (sind zwei Türme gleich hoch, weil beide aus 5 Steinen bestehen, so schreibt man 5 = 5 -> zur Veranschaulichung wird der Maßzahlaspekt verwendet)

Wichtige Eigenschafen von bestimmten Relationen: (aRb heißt: das Element a steht in Relation zum Element b (Bsp. 3 < 5) 1.

Prüfung, wie die Elemente zu sich selber stehen:

a) Gilt aRa für alle a aus der betrachteten Menge, so heißt die Relation reflexiv -> Man darf immer zweimal das gleiche einsetzen -> Bsp,: Gleichheitsrelation: a = a gilt für jede Zahl (bzw. auch bei jedem Term) -> Auch Relation „≤“ ist ein Beispiel hierfür, denn a ≤ a trifft ebenfalls immer zu

b) Gilt aRa nie, so heißt die Relation irreflexiv, d.h. man darf nie zweimal das gleiche einsetzen -> Beispiel: < und >, denn a < a gilt nie

c)

Relationen, die weder reflexiv noch irreflexiv, d.h. bei denen gilt aRa nur für manche Elemente und für andere nicht -> Bsp.: Wenn die Relation lautet: „a mag b“, dann gibt es glücklicherweise viele Menschen, die sich selbst mögen, für die also „a mag a“ zutrifft. Es gibt aber leider auch immer die Relation „a mag b“ weder reflexiv noch irreflexiv. Noch ein Beispiel aus der Mathematik: „a ist das Quadrat von b“. Für a = 1 und a = 0 stimmt der Satz „ a ist das Quadrat von a“. Für alle anderen Zahlen stimmt er nicht. Also ist diese Relation ebenfalls weder reflexiv noch irreflexiv.

2.

Prüfung auf Gegenseitigkeit:

a) Beruht Relation auf Gegenseitigkeit, dann heißt sie symmetrisch -> Es muss gelten: Wann immer aRb der Fall, dann ist auch bRa der Fall -> Gleichheitsrelation: aus a = b folgt immer b = a -> die linke und die rechte Seite dürfen vertauscht werden b) Wenn die Umkehrung immer falsch ist, sobald a und b verschieden, dann ist sie antisymmetrisch oder identitiv (beide Begriffe sind gleichwertig) -> aus aRb und a verschieden von b folgt: bRa ist falsch / Gilt aRb und bRa, dann sind a und b das gleiche Element -> Bsp.: < und >, aber auch ≤ und ≥ -> < : gilt a < b, so ist b < a falsch. c)

-> ≤ : Wenn a ≤ b und b ≤ a gilt, so müssen a und b die gleichen Zahlen sein. eine Relation weder symmetrisch noch antisymmetrisch: „a mag b“: Häufig ist es so, dass das Mögen auf Gegenseitig beruht, aber es gibt auch Fälle, wo dem nicht so ist (vielleicht ohne dass b es immer weiß, dass a ihn eigentlich gar nicht mag). (Beispiel bei Übungsaufgaben)

3.

Prüfung der Übertragbarkeit: (immer 3 im Spiel) Relation ist transitiv, wenn aus aRb und bRc auch aRc folgt. Wenn Eigenschaf über b übertragbar ist.

-> Bsp.: aus a = b und b = c folgt immer auch a = e -> Ebenso gilt: aus a < b und b < c folgt auch a < c, analoges gilt für „>“, „≤“, „≥“ (die zwischenmenschliche Relation des Mögens ist nicht transitiv, denn wenn a den b mag und b mag c, dann muss es noch lange nicht heißen, dass a den c mag. Beispiel in den Übungsaufgaben)

-> Es gibt Relationen, die mehrere dieser Eigenschaften haben: Äquivalenzrelationen: Relationen, die reflexiv, symmetrisch und transitiv sind, heißen Äquivalenzrelationen. -> „Äquivalent“ = „gleichwertig“ -> bei Äquivalenzrelationen werden gleichwertige Relationen zusammensortiert -> Äquivalenzrelation erzeugt Gruppen von gleichwertigen Elementen; Gruppen sind unter sich abgeschlossen und heißen auch Äquivalenzklassen

Bei Gleichheitsrelation bzgl. Zahlen ist eine Klasse ziemlich klein. Jede Zahl bildet für sich eine Klasse, sie ist ja nur zu sich selbst glei...