Lerntagebuch Arithmetik I PDF

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Lerntagebuch aus dem WS20/21, abgeben und bestanden...

Description

LTB 1: Die Punkte, die im Grundschullehrplan genannt wurden, waren mir grundsätzlich nicht unbekannt und auch die nähere Ausführung der Punkte war verständnisvoll und genau. Nur der Punkt Kompetenzen des Kommunizierens, hat mich etwas zum Nachdenken angeregt. Nicht in dem Sinn, dass er mir nicht bewusst war, sondern dass er separat genannt wurde. Vor Lesen des Textes verstand ich es als Selbstverständlichkeit mathematische Fachbegriffe und Zeichen richtig zu verwenden, da dessen Verstehen eigentlich die richtige Verwendung miteinbezieht. Ich denke, gerade diesen Punkt werde ich mir längerfristig merken, da mir vorher nicht wirklich bewusst war, dass das ein wichtiger Punkt ist, der unabhängig vom Verständnis eines Themas, im Unterricht untergehen kann, wenn man ihm nicht genug Aufmerksamkeit schenkt. Des Weiteren ist mir aufgefallen, dass ich möglicherweise den Lehrplan der Grundschule anfangs etwas unterschätzt habe. Beim Lesen des Textes und des Lehrplans wurde mir bewusst wieviel man zu beachten hat und die Kinder in nur vier Schuljahren lernen und welchen Fortschritt sie in der Grundschule machen. Zu Beginn dachte ich stehts an die vier Grundrechenarten und die Ausweitung des Zahlenspektrums in Laufe der Zeit. Doch im Mathematik Unterricht geht es auch um eine grundlegende Auseinandersetzung mit Zahlen, mathematischen Herangehensweisen, Modellierungskonzepte und vieles mehr. Im Laufe der späteren Schulzeit hat man sich diese Fähigkeiten bereits angeeignet oder bildet sie noch weiter aus, wodurch man wohl die Arbeit einer Grundschullehrkraft oft unterschätzt, da man die Fähigkeiten schon besitzt. Zusammenfassend ist mir klar geworden, dass im Grundschullehrplan mehr Themen stecken als man ursprünglich denkt. Viele Aspekte waren mir vorher noch nicht bewusst und werde ich mir längerfristig merken.

LTB 2: Welche Gedanken des Skripts waren für Sie neu und interessant? Welche Fragen sind Ihnen gekommen? Wo konnten Sie nicht unbedingt zustimmen? Was würden Sie anders sehen? Welche weiterführenden Gedanken sind Ihnen gekommen?

Ich habe mich mit dem Text „Das unerschöpfliche Übungsangebot des `Zahlenbuchs‘ – und wie Kinder es selbstständig nutzen können“ von Erich Ch. Wittmann auseinandergesetzt. Zunächst ist mir aufgefallen, dass mir das „Programm mathe 2000“ vor dem Artikel völlig fremd war und ich auch noch nie anderweitig davon gelesen oder gehört habe. Das Konzept den Kindern etwas mehr Autonomität zu ermöglichen und die „Entdeckungsfreude“ der Kinder zu verstärken, finde ich einen sehr guten Ansatz. Wenn ich an den Mathe Unterricht zu meiner Grundschulzeit zurückdenke, war dieser hauptsächlich Frontalunterricht und auch deshalb war Mathematik nicht unbedingt mein

Lieblingsfach. Es ist nicht immer einfach zu verstehen und ich denke, dass eine eher spielerische oder wie Wittmann schreibt „aktiv-entdeckende Lehr- und Lernform[…]“ für Schüler*innen oft sinnvoller ist als regelmäßiger Frontalunterricht und/oder unzählige Arbeitsblätter. Die Idee den Unterricht vielseitiger und abwechslungsreicher zu gestalten mit passenden Aufgaben und Material, dass es aber auch nicht zu viel ist, finde ich einen guten Ansatz. Die verschiedenen Aufgaben, die in dem Text genauer erklärt wurden, zeigen dass im Unterricht Qualität oftmals vor Quantität steht. Es ist nicht wichtig, dass die Kinder so viele Aufgabenblätter wie möglich bearbeiten, sondern dass sie sich konzentriert, interessiert und motiviert damit befassen und möglicherweise auch weitere Aufgaben erstellen. Der/Die Lehrer/innen sollten sich nicht zu sehr auf die Anzahl der Übungen konzentrieren und vielmehr passende Aufgaben und Übungen für ihre Schüler*innen heraussuchen. Des Weiteren bietet diese Herangehensweise eine weitere Lernmöglichkeit für die Schüler*innen. Wenn man das Übungsangebot des Zahlenbuchs annimmt und auch so umsetzt, wie es das Buch empfiehlt, ist es auch nicht problematisch, wenn ein*e Schüler*in eine Aufgabe nicht richtig bearbeitet. So ist der Austausch unter den Schülern*innen für beide Seiten vorteilhaft und beide Seiten können ihre Fähigkeiten in dem gewissen Gebiet verstärken, bzw. ausbauen. Zusätzlich hat die Lehrkraft durch den offenen Unterricht die Möglichkeit individuelle Probleme einzelner Schüler*innen zu erkennen und gegebenenfalls zu helfen, falls dies nötig ist. Eine Frage, die ich mir im Laufe des Textes gestellt habe, ist ob es auch sinnvoll ist auch mit dem Buch mitten in der Grundschulzeit zu beginnen. So ist es eigentlich an allen bayrischen Grundschulen üblich, dass zwei Klassenlehrer*innen im Laufe einer Grundschulzeit eine Klasse unterrichten. Wenn nun also die Lehrkraft in der ersten und zweiten Klasse beschließt nicht das Zahlenbuch zu verwenden, würde es in der dritten Klasse für die neue Lehrkraft noch Sinn ergeben das Zahlenbuch einzuführen? Die Kinder haben so in den ersten zwei Klassen vermutlich eine andere Lernerfahrung gemacht, als wenn sie das Zahlenbuch schon ab der ersten Klasse genutzt hätten. Bei Punkt zwei steht, dass die Schüler*innen durch die Selbstkontrolle besser lernen können und mehr Spaß im Unterricht haben. Diesem Punkt kann ich nur bedingt zustimmen. Es stimmt natürlich, dass Autonomie bei Schülern*innen zu erhörter Lernfähigkeit und Motivation führt. Doch denke ich, dass es auch einen negativen, bzw. kontraproduktiven Einfluss haben kann. Falls die Motivation schon im Vornherein niedrig ist, kann mehr Selbstständigkeit zu erhöhter 1

Unkonzentriertheit führen und die Schüler*innen könnten die Aufgaben nicht mehr sinngemäß bearbeiten und möglicherweise auch noch andere Kinder ablenken. Zusätzlich finde ich, dass der Autor nicht wirklich thematisiert inwiefern das Zahlenbuch mit Unterschieden im Bezug zum Vorwissen bei den Schülern*innen umgeht und ausgleicht. Gerade in der heutigen Zeit gibt es starke Unterschiede zwischen den Kindern. Natürlich ist es der Lehrkraft selbst überlassen, wie sie dieses Problem behandelt, doch bietet in diesem Fall das Zahlenbuch bisher keine wirkliche Hilfe oder Vorschläge. Zumindest wurde in dem Text keine genannt. Gerade die Schlussbemerkung weist noch einmal auf, dass nur eine sinnvolle Nutzung des Zahlenbuchs effektiv ist und dann auch die Übungsaufgaben mehr als genug sind. Trotz alledem denke ich, dass auch wenn das Buch schon gute Vorschläge macht und sinnvolle Umsetzungsideen mit sich bringt, es im Endeffekt immer noch an der Lehrkraft liegt das Buch wirksam einzusetzen. Letztendlich muss der Unterricht an die Schüler*innen angepasst werden und nicht die Schüler*innen an den Unterricht.

LTB 3: Relationen

Allgemein: Beziehung(en) zwischen zwei oder mehreren Objekten; in der Arithmetik Beziehungen zwischen Zahlen und Termen in gewissen Eigenschaften

Gleichheitsrelationen

Die vergleichten Mengen sind gleich, z.B 2 + 3 = 5

Reflexiv

Eigenschaft einer Relation, „das gleiche in Relation setzten“, eine Menge steht in Relation zu sich selbst

Irreflexiv

Eigenschaft einer Relation, Gegenteil von Reflexiv

Symmetrisch

Eigenschaft einer Relation, „eine Relation [beruht] für alle Paare auf Gegenseitigkeit“

Antisymmetrisch

Eigenschaft einer Relation, Gegenteil von Symmetrisch

Transitiv

Eigenschaft einer Relation, Drei Mengen werden betrachtet, „Eigenschaft über b übertragbar“

Äquivalenzrelationen

Relationen, die reflexiv, symmetrisch und transitiv sind; „gleichwertige Elemente zusammensortiert“, Gruppe gleichwertiger Elemente

Ordnungsrelationen

Größenvergleich zwischen Mengen mit > und < oder auch ≥ und ≤, sind antisymmetrisch und transitiv, Gruppen nach Eigenschaften sortieren

Nicht strenge OR

reflexive Ordnungsrelation, z.B ≥ und ≤ auf bestimmte Menge von Zahlen 2

Strenge OR

irreflexive Ordnungsrelation, z.B Relationen mit > und <

Lineare OR

„wenn alle Elemente auf eine Linie passen“, besitzen eindeutige Position, z.B Zahlenstrahl

Nicht-lineare OR

Gegenteil von linearen OR

LTB 4: Durch Aufgaben mit Fingerbilder und Rechenschiffchen wird die Kraft der 5 geübt. Die Kinder verinnerlichen, ohne die Finger oder Steinchen abzuzählen, die Aufgaben zu lösen und die Anzahl anhand von Strukturen zu erfassen. So setzten sie auf der ersten Seite die Bilder zusammen und auf der nächsten Seite addieren und subtrahieren sie 5 zu/von den Fingern. Es wird bei beiden Aufgaben mit fünf addiert/subtrahiert, da fünf „eine Hand“ ist und man nicht die Finger abzählen muss, um diese Aufgaben zu lösen, sondern nur genau hinschauen muss.

LTB 5.1: 31234 = 3 * 64 + 1 * 16 + 2 * 4 + 3 = 21910

LTB 5.2: 101 1101 1110 00112 = 5DE316, denn 1012 = 510, 11012 = 1310 = D, 11102 = 1410 = E, 00112= 310. Durch die Auseinandersetzung mit anderen Stellenwertsystemen habe ich nicht nur deren Aufbau und System besser verstanden, sondern kann mich nun auch besser in Schülerinnen und Schüler in der Grundschule und deren möglichen Schwierigkeiten mit dem Zehnersystem, hineinversetzten. Zusätzlich ist mir noch einmal bewusst geworden, wie wichtig die Kraft der 5 in der Mathematik ist, da sie das Erlernen des Zehnersystems deutlich erleichtert. Des Weiteren ist mir aufgefallen, dass die unterschiedlichen Stellenwertsysteme öfters im Alltag auftauchen, ohne dass man es wirklich bemerkt. Wie zum Beispiel das 2er-System (Binärsystem) oder das 16er-System, die von Computern benutzt werden.

LTB 6.1: Wie im Kapitel selbst schon erwähnt, muss man für schriftliches Rechnen nicht einschätzen können wie die Größenordnungen in einem Stellenwertsystem sind. Selbst ohne dieses Wissen kann man problemlos die Zahlen verrechnen. Obwohl es ein anderes Stellenwertsystem ist, wende ich die gleiche Methode an. Es war anfangs etwas seltsam im 12er-System auch die Buchstaben e und z zu verrechnen, doch im Endeffekt macht das Stellenwertsystem keinen Unterschied.

3

LTB 6.2:

LTB 6.3: Alle Seiten aus den Schulbüchern befassen sich mit dem Thema Schriftliche Subtraktion mit dem Abziehverfahren. Die Erläuterung der Vorgehensweise bei diesem Verfahren ist bei jeder Seite übereinstimmend und folgen einem gleichen Muster. Dabei werden jedoch verschiede Herangehensweisen gezeigt, um das Verfahren zu erklären. So wird auf der ersten Seite des Mathebuch 3 mit Stellenwerttafeln gearbeitet und die Zahlen noch bildlich dargestellt. Auf der zweiten Seite wird das Vorgehen samt „Sprechweise“ wiederholt und anschließend auf der folgenden Seite die Kontrolle einer schriftlichen Subtraktion. Im Zahlenbuch 3 ist nun eine ausführliche Rechnung, Sprechweise und eine verkürzte Rechenweise zusammen abgebildet und bietet einen guten Überblick.

LTB 6.4:

4

LTB 6.5: 01

02

03

04

05

06

07

08

09

10 10-01=9

11 =0

12

13

14

15

16

17

18

21

22 =0

23

21-12=9

31

32

33 =0

34

43

44 =0

45

54

55 =0

56

65 65-56=9

66 =0

67

75

76

77 =0

78

87

88 =0

89

97

98

97-79=18

98-89=9

99 =0

19

20 20-02=18

31-13=18

41

42

41-14=27

42-24=18

51

52

62

53

63

64

63-36=27

71

72

71-17=54

72-27=45

81

82

81-18=63

26

27

28

29

30

73

35

36

74

46

38

39

40

84

47

48

49

50 50-05=45

85

83-38=45

57

92

93

94

95

91-19=72

92-29=63

93-39=54

94-49=45

95-59=36

59

60

86

96-69=27

70

68

70-07=63

86-68=18

91

58

60-06=54

74-47=27

83

37

40-04=36

54-45=9

61-16=45

25

30-03=27

51-15=36

61

24

79

80 80-08=72

90 90-09=81

100

a) {0; 9; 18; 27; 36; 45; 54; 63; 72; 81} b). Bis e): Wenn man die Tabelle genauer betrachtet, fällt das Muster auf. So betrachtet man die diagonale Achse der Zahlen 11, 22, … und 99, die 0 als Differenz haben. Anschließend sieht man, dass an dieser Achse die Zahlen mit der Differenz 9 angrenzen. Neben dieser Achse liegen die Zahlen mit der Differenz 18, usw. (Wie in der Tabelle eingetragen). Die Zahlen von 10 bis 90 halten sich nicht an dieses Schema. 10 beginnt mit einer Differenz von 9 und ab dort aufsteigend ist es die nächste Vielfache von 9, also bei 20 - 02 = 18. Nur 90 und 09 bilden eine Ausnahme in dieser Tabelle. Sie sind die einzige Differenz mit dem Ergebnis 90 – 09 = 81.

5

LTB 6.6: Beispiele 8778 – 7887 = 891 8668 – 6886 = 1782 8558 – 5885 = 2673 8448 – 4884 = 3564 8338 – 3883 = 4455 8228 – 2882 = 5346 8118 – 1881 = 6237 8008 – 0880 = 7128 9009 – 0990 = 8019

Differenz zwischen den Ziffern 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Die Ergebnisse sind die Vielfachen von 891. Anhand der Differenz zwischen den Ziffern der ANNA-Zahlen, ist das Ergebnis schon ohne Rechnung ablesbar. Beispiel: 2112 – 1221 = 3223 – 2332 = 4334 – 3443 = 5005 – 0550 = 9449 – 4994 = 6116 – 1661 =

891

4455

LTB 6.7: Basis 4: 1000 – 100 – 10 + 1 = 2314, das Doppelte davon ist 11224 Basis 5: 1000 – 100 – 10 + 1 = 3415, das Doppelte davon ist 12325 Basis 6: 1000 – 100 – 10 + 1 = 6516, das Doppelte davon ist 13426 Basis 12: 1000 – 100 – 10 + 1 = ze112 mit z ist zehn und e ist elf, das Doppelte davon ist 18z212

LTB 6.8: Im 6er-System:

Im 12er-System:

5126 – 2156 = 2536 + 3526 = 10456 4326 – 2346 = 1546 + 4516 = 10456

51212 – 21512 = 2e912 + 9e212 = 10ze12 43212 – 23412 = 1ez12 + ze112 = 10ze12,

LTB 6.9: 1 1 0 1 * 1 0 1 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 0 0 0 0 1

LTB 6.10 * 1 2 3 4

1 1 2 3 4

2 2 4 11 13

3 3 11 14 22

4 4 13 22 31

LTB 6.11: 910 * 910 = 8110, 12 * 12 = 12, 23 * 23 = 113, 34 * 34 = 214, 45 * 45 = 315, e12 * e12 = z112, F16 * F16 = E116

6

LTB 6.12 In der Vorlesungsmitschrift sieht man die Einmaleins Tafel bis 10 und ein bestimmtes Muster. So ist der Studentin aufgefallen, dass diagonal zu den Quadratzahlen die Quadratzahlen minus eins stehen. Daraus zeigt sich, dass a * a = (a - 1) * (a + 1) + 1 ist. Beispielsweise 4 * 4 = 3 * 5 + 1. Genauso wie in der vorherigen Aufgabe, lässt sich diese Formel auch auf andere Stellenwertsysteme übertragen: 812 * 812 = 712 * 912 + 112 = 5412. So zeigt sich, dass solche Formeln und Auffälligkeiten nicht vom Stellenwertsystem abhängig sind.

LTB 6.13: 2 0 2 1 2 3 2 4 2 1 3 3

2 15 ÷

3 45

= 2 3 45

1 6 3 1 2 8 3 7 3 4 3 3

2 2 0 1 0 1 0

4 812 ÷ 3 812

= 4 e z12

4 4 0 8 0 8 0

LTB 7: Zahl

Eine Eigenschaft einer Zahl hängt nicht von einem „Wort“ ab und ist auch ohne Wissen über das Wort erkennbar, z.B anhand Plättchen. Sie gelten außerdem in allen Stellenwertsystemen.

Zahlwort

Eigenschaften, die vom Zahlwort abhängen gelten nicht in allen Stellenwertsystemen und sind nicht direkt erkennbar.

LTB 8: 01 11 21 31 41 51 61

02 12 22 32 42 52 62 72 71 82 81 91 92 Vielfache von 2

03 13 23 33 43

04 14 24 34 44 54 64

53 63 73 74 83 84 93 94 Vielfache von 3

05 15 25 35 45 55 65 75 85 95

08 18 28 38 48 56 58 68 66 78 76 77 86 88 87 97 98 Vielfache von 5 Vielfache 7 06 16 26 36 46

07 17 27 37 47 57 67

09 19 29 39 49 59

10 20 30 40 50 60 70

79 80 89 90 99 100 Primzahlen

Die Vielfache von 2 und 5 stehen untereinander in Spalten. Auch bei den Vielfachen von 3 und 7 erkennt man ein Muster in den Spalten und diagonal in der Tabelle, so wie eingetragen. 7

LTB 9.1: Auf den abgebildeten Seiten von Zahlenzauber 2 werden gerade und ungerade Zahlen und deren Auffälligkeiten genauer erklärt. Die Teilbarkeitsregeln werden nicht direkt dort erklärt, jedoch wird die Teilbarkeitsregel für zwei nebenbei gezeigt. So erklärt man bei Aufgabe 3, dass sobald an der Einerstelle eine gerade Zahl steht die Zahl auch eine gerade Zahl ist. In Flex und Flo 4 für die 4. Klasse werden die Teilbarkeitsregeln konkret erklärt und bearbeitet. Das Buch startet mit den „einfacheren“ Regeln für 2, 5 und 10 und erklärt anschließend die Quersummen-Teilbarkeitsregeln für 3 und 9. Die letzten drei Aufgaben befassen sich mit der Teilbarkeitsregel für 6.

LTB 9.2: 1.Summenregel:

a * (n + m) = (b + c)

2.Summenregel:

b + c = a * (m + r) + n b – c = a * (n + m) – r = a * (n – m) + a – r

Produktregel:

a * (n * c) = b * c

In dem Video wird bewiesen, dass wenn m I b und n I c, so gilt m + n I b + c. Zum Beispiel: 4 I 8 und 2 I 4 -> 4 + 2 I 8 + 4 -> 6 I 12

LTB 9.3: Der Beweis soll wieder an den Beispielen 1256 und 1255 aufgezeigt werden: 1256 = 12 • 100 + 56, 4 | 100 folglich : 4 | 12 • 100 (Produktregel). Außerdem 4 | 56, insgesamt mit der 1. Summenregel: 4 | (12 • 100 + 56). Bei 1255 folgt mit „4 teilt nicht 55“ aus der 2. Summenregel, dass 4 auch 1255 nicht teilt. Bei 65736 gilt: 8 | 65 • 1000, 8 | 3 • 200 und 8 | 136, also 8 | 65736.

LTB 9.4: 1e9 = 1e * 912, 912 wird nur von 3 geteilt, aber nicht von 2, 4 oder 6. Aus der 1. Summenregel folgt also 3 I 1e9. Aus der 2. Summenregel folgt, dass 2, 4 und 6 die Zahl 1e9 nicht teilen.

LTB 9.5: 123567 = 1 • 100000 + 2 • 10000 + 3 • 1000 + 5 • 100 + 6 • 10 + 7 = 1 • (99999 + 1) + 2 • (9999 + 1) + 3 • (999+ 1) + 5 • (99 + 1) + 6 • (9+1) + 7 = 123567 1 • 99999 + 2 • 9999 + 3 • 999 + 5 • 99 + 6 • 9 + 1 + 2 + 3 + 5 + 6 + 7 = 123567 9• ( 11111 + 2 * 1111 + 3 * 111 + 5 * 11 + 6 * 1) + 1 + 2+ 3+ 5+ 6 +7 8

LTB 9.6: Schauen wir uns die obige Umformung für die gleiche Ziffernkonstellation im 12er-System an: 12356712 = 1 • 10000012 + 2 • 1000012 + 3 • 100012 + 5 • 10012 + 6 • 1012 + 7 = 1 • ( eeeee + 1) + 2 • ( eeee + 1) + 3 • ( eee + 1) + 5 • ( ee + 1) + 6 • ( e + 1) + 7 = 1 • eeeee + 2 • eeee + 3 • eee + 5 • ee + 6 • e + 1 + 2 + 3 + 5 + 6 + 7 = 9 • ( 1 • 1111112 + 2 • 111112 + 3 • 11112 + 5 • 1112 + 6 • 1) + 1 + 2+ 3+ 5+ 6 +7 Die Rolle der 9 hat nun die größte Ziffer e12 (1110) übernommen. Im 12er-System kann man also mit der Quersumme prüfen, ob die Zahl durch 11 teilbar ist. Im Beispiel ist dies nicht der Fall, denn e | e • (…), aber e teilt nicht QS(123567) = 2410 = 2012 . Dass die obige Zahl nicht durch 3 teilbar ist, konnte man übrigens der Endziffer 7 entnehmen.

Es wurde die Quersummenregel bewiesen, da man die Quersumme einer Zahl berechnete, um zu überprüfen ob sie durch 9 teilbar ist.

LTB 10: 94325 = 52 * 73 * 111 = (2 + 1) * (3 + 1) * (1 + 1) = 24 Teiler 1. Primfaktorzerlegung 2. Zu Potenzen 1 dazu rechnen (weil x0 auch möglich ist) 3. Alles multiplizieren -> Teileranzahl
...