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Wintersemester...

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Didaktik der Arithmetik 1. Zahlen, Zahlaspekte und Geschichte Geschichte der Zahlen   

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erste Hinweise auf die Arithmetik: Knochen, Hölzer, Kerbhölzer, …  vermutlich seit Altsteinzeit seit Anfang des 3. Jahrtausends v. Chr.: Hieroglyphische Zahlschrift (Ägypter) seit ca. 750 v. Chr. bis ins Mittelalter: Additive Zahlschrift (Römer) Zeichen I V X L C D M ↁ ↂ Wert 1 5 10 50 100 500 1000 5000 10.000 auch Römer bis ins Mittelalter  das Rechenbrett:

Natürliche Zahlen N und Zahlaspekte  Beispiele an der Zahl 5:

Was sind natürliche Zahlen?  Mathematische Perspektive / Axiomatik nach Peano Die Menschheit ist – wie gesehen – seit der Steinzeit mit Zahlen umgegangen. Peanos Verdienst war es, die natürlichen Zahlen als eine Menge mit bestimmten Eigenschaften mathematisch zu definieren.  Axiome, die die Menge N der natürlichen Zahlen begründen: I. 1 ist eine (natürliche) Zahl. II. Jede der Zahlen n hat genau einen Nachfolger n'. III. 1 ist nicht Nachfolger einer Zahl. IV. Jede Zahl ist höchstens Nachfolger einer Zahl, d.h. aus n' = m' folgt n = m. V. Jede Menge von natürlichen Zahlen, die die Zahl 1 enthält und die zu jeder Zahl n auch deren Nachfolger n' enthält, enthält alle natürlichen Zahlen. Die Menge der natürlichen Zahlen:  Jede Menge von natürlichen Zahlen, die die Zahl 1 enthält und die zu jeder Zahl n auch deren Nachfolger n' enthält, enthält alle natürlichen Zahlen. (Axiom V)  Die Menge der natürlichen Zahlen ist unendlich. Definitionen Unendlichkeit von Mengen: Eine Menge heißt unendlich, wenn sie eine gleichmächtige echte Teilmenge besitzt. Zwei Mengen A und Z nennt man gleichmächtig  A ≡ Z wenn es eine bijektive Abbildung f: A → Z gibt. Bijektiv: Ist eine Abbildung f injektiv und surjektiv verwendet man den Begriff bijektiv. Bijektive Abbildungen sind so genannte eineindeutige Zuordnungen zwischen zwei Mengen  zu jedem Urelement existiert höchstens ein Bildelement  zu jedem Bildelement existiert ein Urelement Bijektive Abbildung zeigt die Gleichmächtigkeit der Mengen A und Z.

Injektiv:  f heißt injektiv genau dann, wenn d.h. genau dann, wenn  „Injektiv“ ist eine Eigenschaft der Funktion. Surjektiv:  f heißt surjektiv bzgl. Z genau dann, wenn Man sagt auch f: A→Z oder „f ist die Abbildung von A auf Z“  „Surjektiv“ bezieht sich auf das Verhalten der Funktion gegenüber der Zielmenge Z.  umgekehrtes A = Allquantor = „für alle“  umgekehrtes E = Existenzquantor  für jedes X aus Z existiert ein X aus A Was hat das mit Grundschule zu tun? 

„Die meisten SchulanfängerInnen führen Anzahlvergleiche zählend durch. Daran ist nichts auszusetzen, doch gibt es bestimmte Anordnungen von Mengen, die weit ökonomischer durch Eins-zu-eins-Zuordnung verglichen werden können“ Zurück zur Idee... Ist N eine unendliche Menge?  Eine Menge heißt unendlich, wenn sie eine gleichmächtige echte Teilmenge besitzt.  Gegeben sei die Teilmenge der geraden Zahlen (2N) der Menge N der natürlichen Zahlen.  Behauptung: Die Menge der geraden Zahlen 2N ist gleichmächtig zur Menge der nat. Zahlen N.  Beweis durch Paarbildungen ...  anderes Beispiel: Es gibt genauso viele gerade Zahlen wie natürliche Zahlen  unendlich (auch wenn man denkt, dass es nur die Hälfte ist)  Fazit: Da die Menge der geraden Zahlen eine echte Teilmenge der natürlichen Zahlen ist und gleichzeitig aber gleichmächtig, folgt daraus, dass die Menge N unendlich ist. „Wir müssen akzeptieren, daß wir nur das Lernfeld abstecken und Kernideen vermitteln können. Und wir müssen daran glauben, daß die Kinder etwas lernen, wenn wir ihnen günstige Rahmenbedingungen schaffen. Über das Was und das Wie im Einzelnen haben wir keine Macht.“

2. Stellenwertsystem(e) und Teilbarkeit Babylonier-Systeme  entwickeln sich ab ca. 2000 v. Chr.:

Aber:

= 3 · 60 + 12 = 192  60er System Warum die Zahl 60? 60 : 2 = 30; 60 : 3 = 20; 60 : 4 = 15; 60 : 5 = 12; 60 : 6 = 10; 60 : 7 = 8 Rest 4; 60 : 10 = 6; 60 : 12 = 5  60 hat viele Teiler und wurde daher genommen

… und systematisch weiter:

12 2 23 12 · 3600 + 2 · 60 + 23 = 43200 + 120 + 23 = 43343 Problem: z.B. 12, 602 und 36002 sehen gleich aus, nur Leerstelle zwischen „Haken“ und zwei „Besen“ wird größer  man kann nicht genau erkennen, welche Zahl geschrieben wird

Die Null als besonders wichtige „Erfindung“! „Und der Anfang der Stellen ist auf der rechten Seite des Schreibers, und diese ist die erste von ihnen, und sie selbst steht für die Einer. Wenn aber 10 an den Platz der Eins gesetzt wird und an der zweiten Stelle steht und wenn seine Form die Form der Eins ist, so war es für sie nötig, der Form der Zehner etwas voranzustellen, damit sie dadurch wussten, was die 10 ist. Sie stellten also diesem Platz der Stelle einen kleinen Kreis voran, der dem Buchstaben o ähnelt, damit sie dadurch wussten, dass die Stelle der Einer leer war und dass keine Zahl an ihr stand außer dem kleinen Kreis, von dem wir gesprochen haben, der sie einnehmen und zeigen sollte, dass die Zahl, die an der nächsten Stelle stand, ein Zehner war und dass dies die zweite Stelle war, die die Stelle der Zehner ist; und sie setzten nach dem Kreis an die vorher genannte zweite Stelle, was auch immer sie wollten aus der Zahl der Zehner von dem, was sich zwischen 10 und 90 befindet.“ Arabischer Gelehrter  arabische Schriftzeichen  schreibt von rechts nach links  nur 10 Ziffern nötig für 10er System; z.B. 5 Ziffern für 5er System (0,1,2,3,4) etc. Stellen im Fünfersystem: 125er statt Tausender; 25er statt 100er; 5er statt 10er; aber: Einer bleibt  immer mal fünf rechnen

Grundidee der Stellenwerte Ausgangspunkt: Strichlisten für Objekte: ////////////////////////////////////////////////////////// Grundidee: Bündeln (z. B. in 5er): Bündelung fortsetzen: 5³ 5² 5 oo o fünf 5er sind 25=52, 5 3 2 1 fünf 25er sind 5 usw. Fortgesetztes Bündeln als Division mit Rest interpretieren: 1492 = 298 · 5 + 2  im Fünfersystem: 21432  2 sind die Einer 298 = 59 · 5 + 3  3 sind die 5er 59 = 11 · 5 + 4  4 sind die 25er 11 = 2 · 5 + 1  1 ist der 125er 2=0·5+2  2 ist der 625er  Dieses Verfahren in jedem System zu einer Basis g (g-adisches System) möglich.

50=1 ooo 3

Definition g-System: Es seien a, g, n ∈ N und g > 1.  1 wäre sinnlos, aber 2er-System gibt es („Computerschrift“: 0 & 1) Gibt es dann n+1 natürliche Zahlen z0, z1, …, zn ∈ {0,1, 2, …, g-1} mit a = zngn + zn-1gn-1 +…+ z1g1 + z0g0, so wird dies die g-adische Entwicklung von a genannt und mit (z nzn-1 …z1z0)g bezeichnet.  z: die verwendeten Ziffern (z.B. 5er-System: 0,1,2,3,4); a ist die ganze Zahl Einer

Nach Adam Ries:  Das Dezimalsystem mit den zehn Ziffern (mitsamt Null) hat sich im Laufe der Geschichte erst langsam in Deutschland etabliert.  0 stand vorher für nichts  verboten, diese Zahl zu schreiben; Angst davor an eine Stelle „nichts“ zu schreiben  Adam Ries (1492-1559) & besonders der Popularität seines zweiten Rechenbuches ist es zu verdanken, dass das Rechnen mit Ziffern und in Algorithmen auch in Deutschland endlich Fuß fassen konnte.  Er gibt in seinen Büchern unzählige Beispielaufgaben und Verfahren an, die nachvollzogen werden sollen. Dabei wird auf Begründungen völlig verzichtet, da es Ries primär um die schnelle Entwicklung von Rechenfertigkeiten ging.

3. Teilbarkeit Definition Teiler - Vielfache Für a, b ∈ N a|b : ⇔ ∃ k ∈ N: b = k · a  Vorsicht: a|b ist nicht a/b sondern „a teilt b“!  heißt: a teilt b genau dann, wenn ein k aus der Menge der natürlichen Zahlen existiert und dieses multipliziert mit a das Produkt b ergibt!  a ist Teiler von b und b ist Vielfaches von a. Beispiel: 5|15 ist das Gleiche wie 15 = 3 · 5  die 5 passt drei Mal in die 15

Eigenschaften der Teiler (Vielfachen) – Relation E1 Transitivität: a | b ∧ b | c ⇒ a | c  „wenn: a teilt b und b teilt c  dann: a teilt c“ E2 Abgeschlossenheit: a | b ∧ a | c ⇒ a | (b + c)  Summenregel a | b ∧ a | c ⇒ a | (b – c) mit b > c  Differenzregel  Produktregel a | b ⇒ a | b · n für beliebiges n ∈ N Beweise:  ad E1 (Transitivität): nach Definition existieren k, m ∈ N mit b = a · k und c = b · m c = b · m = (a · k) · m = a · (k · m)  ad E2 (Abgeschlossenheit): nach Definition existieren k, m ∈ N mit b = a · k und c = a · m b + c = a · k + a · m = a · (k + m) b - c = a · k - a · m = a · (k - m) b · n = (a · k) · n = a · (k · n) Teilbarkeitsregeln: Endstellenregeln  Zum Beispiel: Teilbarkeit durch 10, „wenn die Zahl auf 0 endet“.  Welche Teilbarkeit lässt sich noch an der letzten Ziffer ablesen?  Teilbarkeit durch 2 und durch 5  weil alle Zehner und höher durch 2, 5 und 10 teilbar sind  a = q⋅10 + r mit 0 ≤ r < 10 Teilbarkeitsregeln: Quersumme  = 3022 T H Z E  Quersumme = 3+0+2+2 = 7 ooo oo oo  Alle Ziffern warden so behandelt als seien sie „Einer”  -20+2 (für Zehner), -3000+3 (für Tausender)  In der Bilanz zeigt sich ein „Wertverlust“ der Ausgangszahl (im Bsp.: 999+999+999+9+9 (= 3015))  Der Verlust ist stets ein Vielfaches von 9 bzw. (g-1).  Quersumme zeigt Teilbarkeit durch 9 und 3 (drei weil 9 durch 3 teilbar ist)  wenn sie selbst 9 ist (wenn sie 6 oder 3 ist immerhin noch durch 3)  Ist g die Basis eines beliebigen Stellenwertsystems, so bewirkt das Verschieben eines Plättchens von der gn-Spalte in die Einerspalte eine Verminderung um gn-1.  Dieser Wert ist immer ein Vielfaches von g-1, denn gn-1 = (g-1) ⋅ (gn-1 + gn-2 + ... + g + 1)

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Eine Zahl und ihre Quersumme unterscheiden sich also immer um ein Vielfaches von g-1, daher haben sie bei Division durch g-1 den gleichen Rest. Die Quersummenregel im g-System prüft somit auf Teilbarkeit durch g-1 (und Teiler von g-1, falls vorh.)

Zusammenfassung: Endstellenregel bei geraden Zahlsystemen (2er, 4er, 6er, 8er, 10er) Quersummenregel bei ungeraden Zahlsystemen (3er, 5er, 7er, 9er)

Primzahlen Definition Primzahl:  Zahl p ∈ N mit p > 1, die nur durch sich selbst und 1 teilbar ist.  Zahl p ∈ N mit einer Teilermenge der Mächtigkeit 2.  durch 2 Zahlen teilbar (durch 1 und sich selbst) Tp = {1, p} oder auch |Tp| = 2 Primzahlen als Bausteine der natürlichen Zahlen - Primfaktorzerlegung (PFZ)

 Zahlen können immer in ihre Primfaktoren zerlegt werden 637 = 7 · 7 · 13 = 72 · 13 Bis zu welcher Zahl muss ich testen, um rauszufinden ob es sich um eine Primzahl handelt? Warum?  Bis zur Wurzel der Zahl  Bis zu einer Zahl die kleiner ist als die Zahl die mal sich selbst multipliziert größer als die Ausgangszahl wäre Primzahlen sind die „Bausteine“ der natürlichen Zahlen. Hauptsatz der Arithmetik  Jede natürliche Zahl n besitzt eine bis auf die Reihenfolge der Faktoren eindeutige Darstellung als Produkt von Primzahlen.

 j = Laufvariable  geht von 1 bis m Lemma von Euklid: Wenn eine Primzahl p ein Produkt teilt. Dann teilt sie mindestens einen der Faktoren.  p | a · b mit p PZ ⇒ p | a ∨ p | b  Beispiel: 6 · 7 = 42  7 ist ein Teiler von 42, weil sie die 7 teilt, aber auch z.B. 3 teilt sie, weil 6 durch 3 teilbar ist  außerdem 2 und 1 Indirekter Beweis des Hauptsatzes ( beweisen, dass das Gegenteil des Satzes nicht stimmt  Satz stimmt): Angenommen: Eine Zahl m kann auf zwei verschiedene Weisen in Primzahlen zerlegt werden (1) m = p1 · p2 · ... · pr = q1 · q2 · ... · qs aus p1 | q1 · q2 · ... · qs und Lemma folgt p1 | q1 (durch Umnummerieren!)  p1 teilt mit Sicherheit ein q  dieses q, das geteilt wird wird zu q1  da das alles Primzahlen sind (und es nicht sein kann, dass eins ein Vielfaches des anderen ist), kann man nun kürzen: p1 = q1  beide wegkürzen d. h. (2) p2 · p3 · ... · pr = q2 · q3 · ... · qs analog p2 = q2 usw. d. h. im Fazit: Alle Faktoren sind gleich und auch für die Anzahl der Faktoren ist gleich (hier: r = s). 

Sieb des Eratosthenes

 Wie funktioniert das Sieb?  man startet mit 1 und die erste Primzahl (=2) wird eingekreist  alle Vielfachen dieser Zahl werden gestrichen (da sie Vielfache dieser Zahl sind und somit keine Primzahl sein können)  die nächste nicht gestrichene Zahl (=3) wird eingekreist (muss eine Primzahl sein) und deren Vielfache werden wieder gestrichen  nächste noch nicht gestrichene Zahl (=5) ist eine Primzahl  deren Vielfache wieder streichen usw.  PZ überhaupt nur möglich in den Spalten 1, 3, 5 (da alle anderen Vielfache von 2), vor und nach Vielfachen von 6, oder mathematisch ausgedrückt: p = 6n – 1 ∨ 6n + 1 oder p ≡ 1 ∨ 5 mod 6 ( ≡= kongruent; im Modul 6 betrachtet) Bis zu welcher Zahl muss ich testen?  bis zur Quadratzahl der Seitenlänge des Quadrates (hier bis 36)

Teiler und Komplementärteiler Def. Teiler: Für a, b ∈ N a|b : ⇔ ∃ k ∈ N: b = k · a a ist Teiler von b damit gilt aber auch

b und a sind Komplementärteiler von b. a Venndiagramm - Teilermenge

1, 2, 4, 8, 16

 ungerade Teilermenge  Zahl ist eine Quadratzahl (da alle Teiler bis auf die Wurzel (=4 im Beispiel) einen „Partner“ haben Alle Teiler Tn einer Zahl n werden in ein Mengendiagramm eingetragen. Forscherfragen (für Kinder):  Gibt es eine Beziehung zwischen der Anzahl der Teiler und den passenden 1x1-Aufgaben?  Gibt es Zahlen mit ungerade vielen Teilern?  Ja, die Quadratzahlen Venndiagramme – gemeinsame Teiler

2, 4, 8, 16 1

5, 25

Teilermengen von zwei verschiedenen Zahlen. Gibt es Zahlen, die zu beiden Mengen gehören? (Schnittmenge)

Welches ist der größte gemeinsame Teiler? (ggT).  hier nur 1  16 und 25 sind teilerfremd Größte gemeinsame Teiler (ggT) über Euklidischen Algorithmus Sei a = 115 und b =20  anschaulich: 115 als Strecke und schauen wie oft die 20 reinpasst  es bleibt ein Rest  115 = 5 · 20 + 15  5 · 20 ist nicht mehr wichtig  ab jetzt nur noch der Rest und die kleinere Zahl (15 und 20) wichtig  15 = 3 · 5 + 0  Sobald kein Rest mehr da ist, muss man nicht weiter machen  zum ersten Mal eine Zahl identifiziert, die in alle Zahlen reinpasst (in diesem Fall 5)  ggT(115, 20) = 5

Vielfache und gemeinsame Vielfache V10 = {10, 20, 30, 40...} V6 = {6, 12, 18, 24, 30, 36 ...}  keine Venndiagramme möglich, da Mengen unendlich sind  aber man kann schauen, wann es das erste Mal ein gemeinsames Vielfaches gibt  kleinstes gemeinsames Vielfaches (kgV) gesucht  in diesem Fall 30  auch wieder mit Zahlenstrahl möglich  da wo man das erste Mal auf gemeinsamem Punkt landet = kgV

Satz vom ggT und kgV geometrisch a ⋅ b = ggT(a,b) ⋅ kgV(a,b)

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Produkte als Rechtecke interpretieren o Ausgangspunkt: a ⋅ b - Rechteck o Seite b in ggT Schichten teilen o Wie viele Schichten entstehen? Äquivalenz (Gleichwertigkeit) durch Umlegen geometrisch zeigen (  nebeneinander legen, passen sie auch in die andere Richtung ins große Ursprungsquadrat?)

Das Rechteck ggT(a,b)⋅kgV(a,b) in Schichten der Länge a teilen… ggT und kgV über PFZ am exemplarischen Beispiel:  gemeinsame PZ in der gemeinsamen Potenz: ggT (124, 24) 124 = 2 · 62 = 2 · 2 · 31 = 22 · 31 24 = 4 · 6 = 2³ · 3 ggT (124, 24) = 2²  also 4  alle PZ in der jeweils höchsten Potenz: kgV (25, 42) 25 = 5² 42 = 2 · 3 · 71

kgV (25, 42) = 2 · 3 · 5² · 71 ggT und kgV über PFZ allgemein Seien  a = p1e1⋅p2e2 ⋅… mit pi ∈ P und ei ∈ N0  b = p1f1⋅p2f2 ⋅… mit pi ∈ P und fi ∈ N0 So gilt:

 gemeinsames Minimum und gemeinsames Maximum Satz vom ggT und kgV über PFZ:  a = p1e1⋅p2e2 ⋅… mit pi ∈ P und ei ∈ N0  b = p1f1⋅p2f2 ⋅… mit pi ∈ P und fi ∈ N0

Regeln des Potenzrechnens (Beispiel für Potenzrechnen: 2³ · 27 = 210):

=a·b

4. Operationen und Grundvorstellungen  versuchen, das Denken der Kinder zu verstehen:  “We have no direct access to what goes on in other people´s heads“ (von Glasersfeld(1991, xvi)  Sensibilität für die bezüglich bestimmter Operationen oder Begriffe bereits vorhandenen oder sich entwickelnden Vorstellungen (vgl. Steffe1991, 177-194).  “… I speak of the constitution of mental objects, which in my view precedes concept attainment and which can be highly effective even if it is not followed by concept attainment (…) The fact that manipulating mental objects precedes making concepts explicit seems to me more important than the division of representations into enactive, ikonic, and symbolic.“ (Freudenthal 1983, 33) Grundvorstellungen  Mathematische Grundvorstellungen (Inhalte, Kern, Begriffe) zu den Operationen  ‚innere‘ Grundvorstellungen der Lernenden zu den Operationen  Grundvorstellungen repräsentiert oder didaktisch eingesetzt als ‚äußere‘ Bilder, d.h. visuelle Repräsentationen der gedanklichen Operationen mit mentalen Objekte (Freudenthal), z.B. auch verkörpert durch: o Handlungen mit Anschauungsmittel o Darstellungen von Handlungen mit Anschauungsmittel

Grundvorstellung (vom Hofe 1992, 1995) Grundvorstellung „als Beziehungen zwischen mathematischen Strukturen, individuell-psychologischen Prozessen und realen Sachzusammenhängen“ (vom Hofe, 1995, S.98)  „Sinnkonstituierung eines Begriffs durch Anknüpfung an bekannte Sachoder Handlungszusammenhänge bzw. Handlungsvorstellungen (Oehl nennt dies ‚Herauslösen‘ aus Umweltbezügen),  Aufbau entsprechender (visueller) Repräsentationen bzw. ‚Verinnerlichungen‘, die operatives Handeln auf der Vorstellungsebene (im Sinne Piagets) ermöglichen,  Fähigkeit zur Anwendung eines Begriffs auf die Wirklichkeit durch Erkennen der entsprechenden Struktur in Sachzusammenhängen oder durch Modellieren des Sachproblems mit Hilfe der mathematischen Struktur.“ (vom Hofe, 1992, S. 347) Grundvorstellung als ... ↓ individuelles Erklärungsmodell des Schülers bzw. der Schülerin, das in das System subjektiver Erfahrungsbereiche eingebunden und entsprechend aktivierbar ist, ↑ didaktische Kategorie der Lehrperson, die im Hinblick auf ein didaktisches Ziel aus inhaltlichen Überlegungen hergeleitet wurde und Deutungsmöglichkeiten eines Sachzusammenhangs bzw. dessen mathematischen Kerns beschreibt

Zahlvorstellungen Zahl und Zählen  Vorstellungswelt: Zahlen in der ordinalen Anordnung ( sind geordnet), wie sie z.B. auf einem Zahlenstrahl dargestellt werden kann Handlungsvorstellungen:  Zählen – vorwärts, rückwärts, in Schritten  Zahlen Vorgänger und Nachfolger zuordnen  Zahlen nach der Größe sortieren  Ordnungszahlen Ordinale Vorstellungsbilder / Anschauungsmittel  Um Grundvorstellung zu schaffen  Vollständige Reihe (=Zahlenstrahl) und unvollständige (20er-)Reihe:

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Zahlenstrahl, Zahlengerade  vollständige Zahlenstrahle nicht zum Rechnen verwenden! (verleiten zum einfachen Ablesen/Abzählen) Hundertertafel (=Tafel mit Zahlen von 1-100  wie geschlängelter Zahlenstrahl)/ Tausenderbuch Zahlenseiten Rechenstrich:

Zahl und Strukturierte Menge  wichtig: darauf achten, dass SuS Zahlen von Anfang an strukturieren  z.B. Plättchen in 10er-Reihen  im Gegensatz zum Zählen muss das Strukturieren von Zahlen oft erst gelernt werden  Vorstellungswelt: Anzahl (kardinaler Aspekt der Zahl), wie sie z.B. durch (strukturiertes) Mengenbild einer Zahl im 20er-Feld / 100er-Feld / Tausenderbuch Punkteseiten dargestellt werden kann  Objekte sinnvoll ordnen, dabei innermathematische Strukturen nutzen / Punktefelder (z.B. Finger als 5er- und 10er-Struktur im Anfangsunterricht)  aber nicht wieder nur abzählen!  im Blick haben  Anzahlen über Struktur quasi-simultan erfassen  durch Strukturiertheit die Möglichkeit mehr zu erfassen, als „normal“  Anzahlen vereinigen, vervielfachen ... (Rechenoperationen) kardinale Vorstellungsbilder / Anschauungsmittel  Zahlen als Mengen / Punktefelder  simultane Anzahlerfassung durch strukturierte Mengendarstellungen  z.B. am 20er-Feld, 100er-Feld ... unter Ausnutzung der Struktur „Kraft der Fünf“

Operationsvorstellungen Addition – mathematisch  Die Summe a + b zweier natürlicher Zahlen a und b ist die Mächtigkeit der Vereinigungsmenge A ∪ B von zwei disjunkten Mengen A und B mit |A| = a und |B| = b a+b:= |A ∪ B|, falls A ∩ B = ∅  “Ich definiere a + b als die Mächtigkeit der Vereinigungsmenge von A und B”  Addition in N heißt diejenige Abbildung von N×N in N, die jedem geordneten Paar natürlicher Zahlen seine Summe zuordnet (z.B. gehört zu dem Paar 2,3 die 5  es wird auf die 5 abgebil...