Geometrie in der Grundschule 3 2021 PDF

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Geometrie in der Grundschule Inhalt Organisatorisches zur Vorlesung + Übung: ............................................................................................. 3 LTB ....................................................................................................................................................... 3 Überblick über den Lehrplan ................................................................................................................... 4 LTB 1 .................................................................................................................................................... 5 Äquivalenz- und Ordnungsrelation bei der Behandlung von Flächen..................................................... 6 LTB 2 .................................................................................................................................................... 7 Geometrische Relationen bzgl. Flächenformen .................................................................................. 8 LTB 3 .................................................................................................................................................... 9 LTB 4 .................................................................................................................................................. 10 LTB 5 .................................................................................................................................................. 12 LTB 6 .................................................................................................................................................. 13 LTB 7 .................................................................................................................................................. 14 LTB 8 .................................................................................................................................................. 15 Umfangsmessung (mit Lineal messen oder mit einer Anzahl an Hölzchen bestimmen) .................. 15 LTB 9 .................................................................................................................................................. 16 LTB 10 ................................................................................................................................................ 18 LTB 11 ................................................................................................................................................ 18 Körper (ab 2. Klasse) .......................................................................................................................... 19 LTB 12 ................................................................................................................................................ 19 LTB 13 ................................................................................................................................................ 21 LTB 14 ................................................................................................................................................ 21 Die Platonischen Körper ........................................................................................................................ 22 LTB 15 ................................................................................................................................................ 23 Anzahl ............................................................................................................................................ 23 Dualität .......................................................................................................................................... 24 LTB 16 ................................................................................................................................................ 25 Graphen und Netze ............................................................................................................................... 29 LTB 17 ................................................................................................................................................ 29 LTB 18 ................................................................................................................................................ 30 LTB 19 ................................................................................................................................................ 32 LTB 20 (Zusatzaufgabe) ..................................................................................................................... 34

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LTB 21 ................................................................................................................................................ 36 LTB 22 ................................................................................................................................................ 37 Räumliche Orientierung ........................................................................................................................ 38 LTB 23 ................................................................................................................................................ 39 Begriffserwerb ....................................................................................................................................... 39 LTB 24 ................................................................................................................................................ 39 Vertiefung der Behandlung von Flächen und Körpern.......................................................................... 45 Körpermodelle für Würfel, Quader, Zylinder, Pyramide ....................................................................... 45 LTB 25 ................................................................................................................................................ 46 LTB 26 ................................................................................................................................................ 47 LTB 27 ................................................................................................................................................ 47 LTB 28 ................................................................................................................................................ 49 LTB 29 ................................................................................................................................................ 52 Symmetrie ............................................................................................................................................. 53 1. Allgemeines zur Symmetrie ....................................................................................................... 53 2. Symmetrie im Alltag und im Unterricht .................................................................................... 53 3. Arten der Symmetrie ................................................................................................................. 54 LTB 30 ................................................................................................................................................ 54 4. Achsensymmetrie ...................................................................................................................... 54 LTB 31 ................................................................................................................................................ 60 LTB 32 ................................................................................................................................................ 63 5. Drehsymmetrie .......................................................................................................................... 65 LTB 33 ................................................................................................................................................ 71 6. Verschiebung (früher 4. Klasse)................................................................................................. 72 7. Muster, Bandornamente, Parkette ........................................................................................... 72 LTB 34 ................................................................................................................................................ 74 LTB 35 ................................................................................................................................................ 77 LTB 36 ................................................................................................................................................ 80 8. Räumliche Symmetrie................................................................................................................ 83 LTB 37 ................................................................................................................................................ 85 Messen von Längen ............................................................................................................................... 91 Flächen .................................................................................................................................................. 93 LTB 38 ................................................................................................................................................ 94 LTB 39 (Abschlussreflexion) ............................................................................................................... 96

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Organisatorisches zur Vorlesung + Übung: Begleitend zu Vorlesung ist ein Lerntagebuch zu führen, in das in jeder Vorlesung (meistens am Ende der Veranstaltung) eine Reflexion geschrieben werden soll. Wesentliche Aspekte sollten jeweils sein: a) b) c) d) e)

Was habe ich dazu gelernt? Was war mir neu? Was wurde mir in Erinnerung gerufen? Was scheint mir wichtig im Hinblick auf den Geometrie-Unterricht an der Schule? Wo würde ich Schwierigkeiten bei den Kindern erwarten? Was war für mich persönlich interessant/ uninteressant? Was empfinde ich als schwierig? Welche Fragen sind mir gekommen?

Die Fragen, zu denen Sie im Lerntagebuch Stellung nehmen sollen, sind konkret formuliert und mit

LTB …

gekennzeichnet. Das Lerntagebuch ist am Ende der Vorlesungszeit (bei der Klausur) abzugeben. Zur Vorlesung gehört weiterhin eine Übungsstunde, in der Sie interessante Geometrie-Materialien kennenlernen. Dort gilt „Anwesenheitspflicht“ (2 Fehltage sind erlaubt). Die Übung kann in diesem Semester leider nur digital ablaufen, d.h. Sie müssen sich die Aufgaben daheim erarbeiten und Ihre Lösung an die Übungsleiter schicken. Diese stehen gerne für Fragen zur Verfügung. Wer Geometrie unbenotet belegt, kann, statt die unbenotete Version der Klausur mitzuschreiben, auch eine Übungsstunde vorbereiten (siehe entsprechendes Merklatt). Das Lerntagebuch ist auch in diesem Fall abzugeben. Hinweise zu den Schulbuchseiten: es ist jeweils das Werk und der Jahrgang angegeben: DR: Denken und Rechnen MP: Matheprofis NK: Nussknacker WdZ: Welt der Zahl ZB: Zahlenbuch ZZ: Zahlenzauber Beachten Sie bitte: das Inhaltsverzeichnis zum Skript liegt als eigene Datei vor.

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Überblick über den Lehrplan Geometrie ist ein wesentlicher Bestandteil des Mathematikunterrichts in der Grundschule. Aus dem „Fachprofil Mathematik“ des neuen Lehrplans PLUS heißt es dort bezüglich des Inhaltsbereiches „Raum und Form“:

Ihr räumliches Denken stärken die Schülerinnen und Schüler im Gegenstandsbereich Raum und Form. Sie untersuchen und vergleichen wichtige geometrische Flächenformen bzw. Körper (z. B. Quadrat und Rechtecke bzw. Würfel und Quader), beschreiben deren Eigenschaften und präsentieren sie in selbst gefertigten Modellen. Die Kinder erfassen Eigenschaften von Figuren (z. B. Achsensymmetrie) und erstellen einfache Abbildungen. Sie vergrößern oder verkleinern geometrische Figuren in der Ebene und wenden dabei erste Einsichten zum Maßstab an. Auch ästhetische Gesichtspunkte werden erschlossen, etwa wenn geometrische Anordnungen oder achsensymmetrische Figuren erzeugt und diese mit Kunstwerken sowie Phänomenen der Natur oder der alltäglichen Umwelt verglichen werden. Für den Lernbereich 2 „Raum und Form“ (M1/2) gibt es die Unterpunkte: M1/2 2.1

Sich im Raum orientieren

M1/2 2.2

Geometrische Figuren benennen und darstellen

M1/2 2.3

Geometrische Abbildungen erkennen und darstellen

M1/2 2.4

Geometrische Muster untersuchen und erstellen

M1/2 2.5

Flächeninhalte/Umfänge bestimmen und vergleichen

Für die Klassen 3 / 4 gibt es die gleichen Unterpunkte, nur 2.5 lautet dort „Rauminhalte bestimmen und vergleichen“. Die Kompetenzen, die die Schülerinnen und Schüler am Ende von 1 /2 bzw. 3 / 4 erworben haben sollten, sind: M 1/2:

o Sie orientieren sich in ihrem unmittelbaren Umfeld; räumliche Beziehungen zwischen Objekten ihres Alltags (z. B. links/rechts) beschreiben die Schülerinnen und Schüler sowohl in Bezug auf den eigenen Blickwinkel als auch auf den einer anderen Person. o Die Schülerinnen und Schüler beschreiben Eigenschaften von geometrischen Flächen- und Körperformen (z. B. Anzahl der Ecken); sie untersuchen Flächeninhalte und Umfänge einfacher ebener Figuren handelnd und vergleichen diese. o Sie stellen geometrische Muster her (z. B. aus Flächenformen oder in Bandornamenten) und beschreiben deren Gesetzmäßigkeiten.

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M 3 /4: o

Sie nutzen Pläne, Karten und Ansichten zur räumlichen Orientierung. Beim Beschreiben von Körpern und deren Lage zueinander sowie bei mentalen Handlungen setzen die Schülerinnen und Schüler ihr räumliches Vorstellungsvermögen ein.

o

Bei geometrischen Flächen- und Körperformen benennen und begründen sie Unterschiede (z. B. Anzahl der Ecken) und Zusammenhänge (z. B. Quadrat/Rechteck, Würfel/Quader); Flächen- und Rauminhalte werden handelnd bestimmt und verglichen.

o

Die Schülerinnen und Schüler nutzen Einsichten zum Maßstab beim Vergrößern und Verkleinern.

o

Sie beschreiben die Eigenschaften von Figuren (achsensymmetrisch / nicht achsensymmetrisch) und erzeugen achsensymmetrische Figuren bzw. Figuren und deren Spiegelbilder.

(http://www.lehrplanplus.bayern.de/jahrgangsstufenprofil/grundschule/3/mathematik)

LTB 1 Erinnern Sie sich noch an Ihre Grundschulzeit? Welchen Stellenwert hatte der GeometrieUnterricht damals? Wurden alle in der Übersicht genannten Themen bearbeitet? Haben Sie an ein Thema eine besondere Erinnerung? Welche Folgerungen ziehen Sie aus den erwünschten inhaltlichen Kompetenzen für den Geometrie-Unterricht?

Im Zusammenhang mit „Vergleichen“ werden auch in der Grundschule immer wieder Äquivalenzund Ordnungsrelationen gebildet, auch wenn sie nicht als solche benannt werden. Daher sollen im nächsten Kapitel die verschiedenen Bereiche der Geometrie darauf hin untersucht werden, inwiefern dort Äquivalenz- und Ordnungsrelation dort eine Rolle spielen.

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Äquivalenz- und Ordnungsrelation bei der Behandlung von Flächen Zur Wiederholung die wichtigsten Aspekte dieser Relationstypen (vgl. Skript zur Arith I): Dabei soll aRb heißen: das Element a steht in Relation zum Element b (Bsp. 3 < 5). I) Zunächst wird geprüft, wie die Elemente zu sich selber stehen: a) Gilt aRa für alle a aus der betrachteten Menge, so heißt die Relation reflexiv. Man darf also immer zweimal das gleiche einsetzen. Dies gilt z.B. für die Gleichheitsrelation: a = a gilt für jede Zahl (es würde auch für jeden Term gelten). Auch die Relation „≤“ ist ein Beispiel dafür, denn a ≤ a trifft ebenfalls immer zu. b) Gilt aRa nie, so heißt die Relation irreflexiv, d.h. man darf nie zweimal das gleiche einsetzen. Beispiele hierfür sind < und >, denn a < a und a > a gilt nie. c) Es gibt auch Relationen, die weder reflexiv noch irreflexiv sind. Dies sind Relationen, bei denen aRa nur für manche Elemente gilt und für andere nicht. Ein Beispiel aus dem Bereich der Menschen. Wenn die Relation lautet: „a mag b“, dann gibt es glücklicherweise viele Menschen, die sich selbst mögen, für die also „a mag a“ zutrifft. Es gibt aber leider auch immer wieder Menschen, die sich selbst nicht mögen, für sie wäre „a mag a“ falsch. Somit ist die Relation „a mag b“ weder reflexiv noch irreflexiv. Noch ein Beispiel aus der Mathematik: „a ist das Quadrat von b“. Für a = 1 und a= 0 stimmt der Satz „a ist das Quadrat von a“. Für alle anderen Zahlen stimmt er nicht. Also ist diese Relation ebenfalls weder reflexiv noch irreflexiv. II) Danach wird geprüft, wie es mit der Gegenseitigkeit steht: a) Beruht eine Relation auf Gegenseitigkeit, so heißt sie symmetrisch. Es muss gelten: Wann immer aRb der Fall ist, dann ist auch bRa der Fall. Bei der Gleichheitsrelation ist das so: aus a = b folgt immer b = a. Die linke und die rechte Seite dürfen vertauscht werden. b) Ist die Umkehrung immer falsch, sobald a und b verschieden sind, so heißt sie antisymmetrisch oder identitiv. (Beide Begriffe sind gleichwertig). (Formal: Aus aRb und a verschieden von b, folgt: bRa ist falsch). Beispiele sind hier < und >, aber auch ≤ und ≥ für Zahlen. Bei < ist klar: gilt a < b, so ist b < a falsch. Bei ≤ muss man ein bisschen genauer hinsehen: gilt a ≤ b, so ist b ≤ a falsch, wenn a und b verschiedene Zahlen sind. Wenn a ≤ b und b ≤ a gilt, so müssen a und b die gleichen Zahlen sein. Diese zweite Aussage wird in manchen Büchern auch dazu verwendet, die Eigenschaft antisymmetrisch/ identitiv zu definieren: Gilt aRb und bRa, so folgt: a und b sind das gleiche Element. Bei irreflexiven Relationen hat man bei der zweiten Definition das Problem, dass es sein kann, dass die Voraussetzung (es gilt aRb und bRa) gar nie zutreffen kann. Genau dann ist so eine irreflexive Relation auch antisymmetrisch. S. 6

Dass ein Satz dann stimmt, wenn seine Voraussetzung nicht erfüllbar ist, ist gewöhnungsbedürftig. Ein Beispiel aus dem Alltag: Sie versprechen einen Freund: „Wenn ich morgen eine Million gewinne, schenke ich dir ein Auto.“ Niemand wird Sie einen Lügner nennen, wenn Sie am nächsten Tag nicht gewinnen (und auch kein Auto verschenken). Sie können auch sagen: „Wenn ich gestern eine Million gewonnen hätte, hätte ich dir ein Auto geschenkt.“ Auch diesen Satz kann niemand anzweifeln und Ihnen beweisen, dass er nicht stimmt. Also noch mal: wenn die Voraussetzung nie eintritt, kann niemand beweisen, dass der Satz nicht stimmt. Also müssen wir ihn insgesamt als zutreffend einstufen. So auch hier: wenn aRb und bRa nie gleichzeitig auftreten, ist die Relation antisymmetrisch. Sollte es doch mal gleichzeitig auftreten, dann muss a das gleiche Element wie b sein, damit die Eigenschaft „antisysmmetrisch“ trotzdem gilt.

LTB 2 Man mache sich klar, dass beide Definitionen für „antisymmetrisch“ gleichwertig sind!

Schauen wir uns noch mal „a mag b“ an. Häufig ist es so, dass das Mögen auf Gegenseitigkeit beruht, aber es gibt auch Fälle, wo dem nicht so ist (vielleicht ohne dass b es immer weiß, dass a ihn eigentlich gar nicht mag). III) Zuletzt wird noch die Frage nach der Übertragbarkeit gestellt. Dann sind immer 3 im Spiel: Eine Relation heißt transitiv, wenn aus aRb und bRc auch aRc folgt, wenn also die über b übertragbar ist. Schauen wir die bekannten Beispiele an: Aus a=b und b= c folgt immer auch a= c. Ebenso gilt: Aus a < b und b < c folgt auch a < c. Analoges gilt für >, für ≤ und für ≥ . Die zwischenmenschliche Relation des Mögens ist nicht transitiv, denn wenn A den B mag und B mag den C, dann muss es noch lange nicht heißen, dass auch A den C mag. Relationen, die reflexiv, symmetrisch und transitiv sind, heißen Äquivalenzrelationen. „Äquivalent“ heißt „gleichwertig“. Mit Äquivalenzrelationen werden also gleichwertige Elemente zusammensortiert. Man kann sich leicht überlegen, dass eine Äquivalenzrelation Gruppen von gleichwertigen Elementen erzeugt. Die Gruppen sind unter sich a...