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Um Resumo sobre Ass ́ıntotas Bacharelado de Administra ̧c ̃ao - FEA - 1o. sem - NoturnoProfa. Maria Izabel Ramalho Martins Falando de uma forma bastante informal, diz-se que uma retarde equa ̧c ̃aoy= axaproxima” da reta+b ́e uma ass ́ıntota para uma fun ̧c ̃aorno infinito (no +∞ou noy=f(−∞x) ( no in...

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Um Resumo sobre Ass´ıntotas Bacharelado de Administra¸c˜ ao - FEA - 1o. sem.2009 - Noturno Profa. Maria Izabel Ramalho Martins Falando de uma forma bastante informal, diz-se que uma reta r de equa¸ca˜o y = ax + b ´e uma ass´ıntota para uma fun¸ca˜o y = f (x) ( no infinito) se o gr´afico de f “se aproxima” da reta r no infinito (no +∞ ou no −∞). De outro lado, tamb´em de uma forma informal, uma reta vertical x = p, com p ∈ / Dom f , ´e uma ass´ıntota para uma dada fun¸ca˜o f se seu gr´afico “se aproxima arbitrariamente” de tal reta, quando x se aproxima de p (pela direita ou pela esquerda ou por ambos). 1. Ass´ıntotas horizontais e obl´ıquas Defini¸c˜ ao: Seja y = f (x) uma fun¸ca˜o cujo dom´ınio cont´em o intervalo ]b, +∞[, para b ∈ IR. A reta y = mx + n ´e uma ass´ıntota(no +∞) para a fun¸ca˜o y = f (x) se o limite lim [f (x) − (mx + n)] = 0.

x→+∞

Em outras palavras, a fun¸c˜ao f admite a reta y = mx + n para ass´ıntota (no +∞) se ela “fica arbitrariamente pr´ oxima” de tal reta, quando x tende a +∞. • Se m 6= 0, a reta y = mx + n ´e dita uma ass´ıntota obl´ıqua. • Se m = 0, a reta y = n ´e dita uma ass´ıntota horizontal. Note que neste u´ltimo caso, pode-se dizer que f admite uma ass´ıntota horizontal y = n se se verifica que lim f (x) = n ∈ IR. x→+∞

De maneira an´aloga define-se a condi¸ca˜o para que uma fun¸ca˜o f , cujo dom´ınio cont´em um intervalo ] − ∞, a[, tenha a reta s, de equa¸c˜ao y = m1 x + n1 , como ass´ıntota (no −∞): ´e que o limite lim f (x) − (m1 x + n1 ) = 0. x→−∞

Como acima, se m1 6= 0, a reta s e´ dita uma ass´ıntota obl´ıqua para f (no −∞); caso m1 = 0, ent˜ ao diz-se que y = n1 ´e uma ass´ıntota horizontal para f (no −∞). 2. Ass´ıntotas verticais Defini¸c˜ ao: Sejam y = f (x) uma fun¸ca˜o e p ∈ IR. Suponhamos que o dom´ınio da f contenha um dos intervalos do tipo ]a, p [ ou ] p, b[. Dizemos que a reta vertical x = p ´e uma ass´ıntota vertical para f se um dos limites indicados estiver verificado: a. lim+ f (x) = +∞ ou b. lim+ f (x) = −∞ ou c. lim− f (x) = +∞ ou x→p

d. lim− f (x) = −∞ x→p

x→p

x→p

ou

e. lim f (x) = +∞ x→p

ou

f. lim f (x) = −∞. x→p

Utilidade das ass´ıntotas: Quando se deseja fazer um esbo¸co do gr´afico de uma certa fun¸ca˜o f ´e necess´ario ter algumas informa¸c˜oes a respeito dela para que tal esbo¸co seja feito com uma maior precis˜ ao. Uma dessas informa¸co˜es ´e o estudo da existˆencia de ass´ıntotas.

Como verificar a existˆ encia de ass´ıntotas Conforme as defini¸c˜oes dadas anteriormente, a verifica¸c˜ao de existˆencia de ass´ıntotas horizontais e ass´ıntotas verticais para uma fun¸c˜ao f depende de verifica¸c˜ao de alguns limites da pr´ opria f . Para relembrar: I) Ass´ıntota horizontal • Se

lim f (x) = n ∈ IR, ent˜ ao y = n ´e uma ass´ıntota horizontal para f.

x→+∞

Analogamente, • se

lim f (x) = n1 ∈ IR, ent˜ ao y = n1 ´e tamb´em uma ass´ıntota horizontal para f. x→−∞

II) Ass´ıntota vertical • Se p ∈ IR e um dos seguintes limites e´ verificado: a. lim+ f (x) = +∞, x→p

ou b. lim− f (x) = +∞,

d. lim− f (x) = −∞, x→p

x→p

ou c. lim+ f (x) = −∞, ou x→p

ou e. lim f (x) = −∞ ou f . lim f (x) = +∞, x→p

x→p

ent˜ ao x = p ´e uma ass´ıntota vertical para f.

III. Ass´ıntota obl´ıqua Existe um procedimento para a determina¸ca˜o de existˆencia de uma ass´ıntota obl´  ıqua para x → +∞ (i. ´e, se existem m 6= 0 e n ∈ IR, tais lim f (x) − (mx + n) = 0) x→+∞

que ´e o seguinte. f (x) = m ∈ IR e m 6= 0. x Caso exista tal m, ir para o passo seguinte.

Passo 1. Verificar se lim

x→+∞

Passo 2. Verificar se existe n ∈ IR tal que lim x→+∞



 f (x) − mx = n.

Observa¸c˜ ao: um procedimento an´ alogo deve ser seguido para a verifica¸ca˜o de existˆencia de ass´ıntota obl´ıqua no −∞. Um Exemplo: Verifique se a fun¸ca˜o f (x) =

2x2 + 1 admite ass´ıntotas. x

I) Tem ass´ıntota horizontal??? Como lim f (x) = +∞ (verifique!) e lim f (x) = −∞ (verifique!), ent˜ ao f n˜ ao x→+∞

x→−∞

admite ass´ıntotas horizontais (uma vez que nenhum dos limites mencionados, quando x tende a +∞ ou x tende a −∞, s˜ ao n´ umeros reais. II) Tem ass´ıntota vertical??? Observe primeiramente que x = 0 n˜ ao pertence ao dom´ınio de f . ao x = 0 ´e uma ass´ıntota vertical. Como lim+ f (x) = +∞ (verifique!), ent˜ x→0

Como lim f (x) = −∞(verifique!), ent˜ a o x = 0 ´e uma ass´ıntota vertical. x→0−

Logo, a reta vertical x = 0 (eixo y) ´e uma ass´ıntota vertical para f . III) Tem ass´ıntota obl´ıqua??? f (x) Passo 1: Como lim = 2 (verifique!), seja m = 2 e vai-se ao passo 2. x→+∞ x  2x2 + 1    Passo 2: Calculando o lim f (x) − mx = lim − 2x , obtem-se que: x→+∞ x→+∞ x   2x2 + 1  2x2 + 1 − 2x2  1 = 0. − 2x = lim = lim lim x→+∞ x x→+∞ x→+∞ x x Portanto, tomando n = 0, resulta que a reta y = 2x e´ uma ass´ıntota obl´ıqua para f . Pergunta: A fun¸ca˜o dada no exemplo acima tem tamb´em uma ass´ıntota obl´ıqua quando x → −∞?...