Bài tập lớn-giải tích 2-L21-HUỲNH-THỊ-HỒNG-DIỄM PDF

Preview

Summary

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINHTRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOABÁO CÁO BÀI TẬP LỚN GIẢI TÍCH 2CHỦ ĐỀ : ÔN TẬP CÁC DẠNG BÀI ĐÃ HỌC VÀSƯU TẦM CÁC VÍ DỤGiảng viên hướng dẫn : Huỳnh Thị Hồng Diễm Nhóm lớp: L21 ,nhóm: 07Tp Hồ Chí Minh,Ngày tháng 5 năm 2021Mục lụcSinh viên thực hiên:.................................

Description

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN GIẢI TÍCH 2 CHỦ ĐỀ : ÔN TẬP CÁC DẠNG BÀI ĐÃ HỌC VÀ SƯU TẦM CÁC VÍ DỤ Giảng viên hướng dẫn :Huỳnh Thị Hồng Diễm Nhóm lớp: L21,nhóm:07

Tp Hồ Chí Minh,Ngày tháng 5 năm 2021 1

Mục lục Sinh viên thực hiên:………………………………………….. Hoàn thành các chủ đề:………………………………………. I: Bài làm từng thành viên…………………………………… II:Nội dung …………………………………………………… Chủ đề 1:Vector Gradient, mặt phẳng tiếp diện Chủ đề 2: Vi phân Chủ đề 3: Đạo hàm của hàm nhiều biến Chủ đề 4: Ứng dụng hình học của tích phân kép Chủ đề 5: Tích phân bội ba Chủ đề 6: Tích phân đường Chủ đề 7 : Tích phân mặt Chủ đề 8 : Chuỗi ( chuỗi số,chuỗi lũy thừa)

Danh sách các thành viên trong nhóm 7 (L21) : + Lê Hoàng Đức

-MSSV: 2012991

+ Nguyễn Hữu Hạnh

-MSSV: 2013095

+ Hồ Thanh Hải

-MSSV: 2013066

+ Nguyễn Tấn Hào

-MSSV: 2013053

+ Phan Anh Hào

-MSSV: 2013055 2

+ Trần Công Hiển + Đặng Trung Hiếu

-MSSV: 2013188 -MSSV: 2013137

+ Đỗ Hữu Trung Hiếu

-MSSV: 2013138

I/ Bài làm từng thành viên STT:01 Tên: Đặng Trung Hiếu MSSV:2013137 Chủ đề 1: Vector Gradient, mặt phẳng tiết diện Ví dụ 1: Cho f(x,y) = +2x+4xy, M(1;2) , Mo(3;5). Tìm đạo hàm f tại M theo hướng với là vecto đơn vị của . Giải: = +2+4y = +4x =( (M), (M))= == .= (M)= (M).l₁ + (M).l₂= =4 Ví dụ 2: Viết phương trình mặt phẳng tiếp diện của mặt cong tại điểm P (. Giải: Đặt F(x,y,z) = Ta có: F’x = 2x ; F’y = 2y ; F’z = 2z 3

Tại P ( ta có F’x = 1 ; F’y = 1 ; F’z = Phương trình mặt phẳng tiếp diện của mặt cong tại P là : ( x - + (y–+ (zHay x + y +z – 2 =0. Chủ đề 2: Vi phân Ví dụ 1: Tính vi phân hàm số f(x,y)= tan( ? Giải: (x,y)= = (x,y)= = (x,y)dx+ (x,y)dy = + Ví dụ 2:Cho hàm số f(x,y) =. Tính df(1;-1)? Giải: =

=8

=

= -5

(x,y)dx+ (x,y)dy= 8dx-5dy

Chủ đề 3: Đạo hàm hàm nhiều biến: 4

Ví dụ 1: Cho doanh nghiệp sản xuất 2 mặt hang với giá P₁= 60 và P ₂=75. Hàm chi phí C= Q ₁²+ Q ₁².Q ₂²+ Q ₂². Tìm các mức sản lượng Q₁, Q₂ doanh nghiệp cần sản xuất để lợi nhuận cực đại ? Giải: Hàm doanh thu : R= P₁Q₁+ P₂Q₂= 60Q₁+75Q ₂ Hàm chi phí: C= Q ₁²+ Q₁².Q₂²+ Q₂² Hàm lợi nhuận: =R – C =60Q ₁+75Q ₂ - (Q ₁²+ Q ₁².Q ₂²+ Q ₂²) = -2 ;

= -1 ;= -2

Xét tại điểm M( 15; 30) có Vì và = -2 < 0 nên M( 15;30) là điểm cực đại khi đơn vị sản xuất 15 đơn vị hàng hóa thứ nhất và 30 đơn vị hàng hóa thứ hai.

Chủ đề 4: Ứng dụng hình học tích phân kép Ví dụ 1: Tính với D={ ? Giải: Chiếu lên trục Oy: D: = =. Ví dụ 2: Tính diện tích miền D được giới hạn bởi 5

Giải

Ta có: S= , đặt S= = =

Chủ đề 5: Tích phân bội ba Ví dụ 1: Tính I = với D là miền giới hạn bởi z +; z = 4. Hình chiếu của V xuống mặt phẳng Oxy là hình tròn Giải: Chuyển sang hệ tọa độ trụ V được giới hạn bởi I= = Ví dụ 2: Tính I= với V là miền giới hạn bởi . Giải: Chuyển sang hệ tọa độ cầu :, miền V được giới hạn bởi I= = 6

Chủ đề 6: Tích phân đường Ví dụ 1: Tính ; C là đường cong ; Giải: ◦ = 2a Ví dụ 2: Tính ? Giải:

Đặt: Từ công thức Green : Đặt Vậy

Chủ đề 7: Tích phân mặt 7

Ví dụ 1: Tìm phần diện tích mặt Parabolic có phương trình z = 1-x²-y² nằm trong mặt trụ x²+y²=1. Giải: S= Có: , Đặt

với

S= = . Ví dụ 2: Tính trong đó S là nửa mặt cầu , hướng chiếu của S là phía ngoài mặt cầu.? Giải:

Ta có mặt ; hình chiếu của S lên mặt phẳng Oxy là miền D: .Hơn nữa tạo với Oz góc nhọn nên: Đặt

8

Chủ đề 8: Chuỗi Ví dụ 1: Xét sự hội tụ phân kì của chuỗi số? Giải: Ta có: Mà hội tự Ví dụ 2:Khảo sát sự hội tụ phân kì của chuỗi Giải: ◦= = = . =

>1 nên chuỗi phân kì.

STT:02 Tên:Nguyễn Tấn Hào MSSV: 2013053 Chủ đề 1: Vector Gradient, mặt phẳng tiết diện Ví dụ 1:Tìm đạo hàm của tại điểm theo hướng pháp véctơ của đường tròn . Giải: => => Véctơ đơn vị => 9

=>

Ví dụ 2: Viết phương trình mặt tiếp diện và phương trình của pháp tuyến với mặt cong tại A(2,1,1). Giải: => Phương trình mặt phẳng tiếp diện: Phương trình pháp tuyến: Chủ đề 2:Vi phân Ví dụ 1: Cho hàm số . Tìm Giải: , Ví dụ 2: Tìm dz/dt của với x = cost, y = sint ? Giải: Ta có: , , ,

10

Chủ đề 3:Đạo hàm của hàm nhiều biến Ví dụ 1: Mỗi tuần, công ty A cung cấp cho thị trường Q đơn vị sản phẩm. Nếu số lượng nhân công sử dụng bao gồm x công nhân lành nghề và y công nhân chưa lành nghề, số lượng sản phẩm đầu ra mỗi tuần là Q (x, y) = 1350x + 360y + x2y – x3 – y2 (đơn vị), Tính tốc độ cung ứng sản phẩm của công ty theo số công nhân lành nghề tại thời điểm công ty đang sử dụng 40 công nhân lành nghề và 65 công nhân chưa lành nghề. Tốc độ này nói lên điều gì? Giải: Tốc độ cung ứng sản phẩm theo số công nhân lành nghề là (40, 65). (40, 65) = 1750 (đơn vị/người). Tại thời điểm này, khi tăng thêm 1 công nhân lành nghề, số sản phẩm tăng thêm 1750 đơn vị. Ví dụ 2:Một công ty sản xuất quạt máy có mô hình sản lượng Cobb-Douglas trong đó L là tổng chi phí nhân công (triệu đồng), C là vốn đầu tư hạ tầng, thiết bị (triệu đồng) thì số lượng quạt máy được sản xuất là P (L, C) = 105 L0.0457 C0.9543 (quạt máy) Tính tốc độ thay đổi sản lượng quạt máy của công ty theo chi phí nhân công tại thời điểm công ty đang chi 200 triệu đồng cho lao 11

động và 800 triệu đồng cho vốn đầu tư. Tốc độ này nói lên điều gì? Giải: Tốc độ thay đổi sản lượngquạt máy theo chi phí nhân công là (200, 800). (200, 800) 18 (quạt máy/triệu đồng). Tại thời điểm này, khi chi thêm 1 triệu đồng cho nhân công, số sản phẩm được sản xuất tăng thêm 18 quạt máy. Chủ đề 4:Ứng dụng hình học của TP kép Ví dụ 1: Cho Ω là miền giới hạn bởi Tính thể tích miền Ω (bỏ qua đơn vị tính).

Giải: Mặt trên là mặt paraboloid: Mặt dưới là mặt phẳng: Hình chiếu của Ω lên Oxy là miền D: Biến đổi trong tọa độ cực ta có: 12

Ví dụ 2: Tính diện tích phần mặt paraboloid bên trong mặt trụ Giải: Có: ; Hình chiếu giao tuyến xuống Oxy: D: Chuyển sang tọa độ trụ:

Chủ đề 5:Tích phân bội ba Ví dụ 1: Tính thể tích vật thể E được giới hạn bởi Giải: Thể tích Đặt 

, E1 :

Ví dụ 2: Tính tích phân 13

, trong đó V là vật thể giới hạn bởi: Giải: Đặt:

,

Mặt phía trên: Mặt phía dưới: Hình chiếu xuống Oxy: D: V1: Chủ đề 6:Tích phân đường Ví dụ 1: Tính , với C là nữa đường tròn ; Giải: Viết phương trình tham số cung C:

Ví dụ 2: Tính

14

, trong đó C là cung từ O(0,0) đến A(1,1) theo chiều kim đồng hồ. Giải: Ta có: =>

Chủ đề 7:Tích phân mặt Ví dụ 1: Tính tích phân , trong đó S là phần mặt phẳng x + y + z = 1, Giải: Trên mặt S ta có: , trong đó Do đó:

Ví dụ 2: Tính , trong đó S là nửa. mặt cầu , hướng của S là phái ngoài mặt cầu. Giải: 15

Vì hợp với chiều dương của Oz một góc tù nên

Chủ đề 8:Chuỗi Ví dụ 1: Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số Giải: Xét Vậy chuỗi phân kỳ. Ví dụ 2: Tìm miền hội tụ của chuỗi Giải: Đặt X = 2x – 3, (1) trở thành: Xét 

Bán kính hội tụ

Xét X = 5: 16

Xét X = -5:  

Miền hội tụ của (2) là Miền hội tụ của (1) là

Vậy miền hội tụ là (-1; 4). STT:03 Tên: Hồ Thanh Hải MSSV: 2013066

Chủ đề 1: Vector Gradient,mặt phẳng tiết diện Ví dụ 1:Nhiệt độ T tại 1 điểm trong quả cầu kim loại tỉ lệ nghịch với khoảng cách từ tâm cầu đến điểm đó, lấy tâm cầu là gốc tọa độ. Cho biết nhiệt độ tại điểm M(1,2,2) là 1200C. Tìm tốc độ biến thiên của T tại M theo hướng đến điểm N(2,1,3) ? Giải: Ta có :T(x,y,z)= Tại M(1,2,2) có nhiệt độ 1200C thì: TM(1,2,2)=1200C Suy ra =120 => c=360 Vậy T= +=(1,-1,1); =(1,2,2) Tốc độ biến thiên của T tại M theo hướng N là: T’MN(M)== 17

Ví dụ 2: Nếu f(x,y)=x.,tìm tốc độ biến thiên của f tại điểm P(2,0) theo hướng từ P đến Q(,2) có tốc độ biến thiên cực đại theo hướng nào ? Giải: Ta có : vectow Gradient; =(f’x,f’y)=(ey,x.ey) =(1,2),=(,2) =>=(,) Tốc độ biến thiên của f theo hướng P đến Q là (P)=(1,2).()=1.+2.=1 Chủ đề 2: Vi phân Ví dụ 1: Xét hệ z=f(x,y)=x4+y4-2x3y3 .Tìm vi phân sau ; ? Giải: +=4x3-6xy3 +=4y3-6x3y Ví dụ 2: Cho hàm ln(x2+xy+y2) .Tính x. +y. ? Giải: += ; += Vậy x. +y.==2 18

Chủ đề 3:Đạo hàm của hàm nhiều biến Ví dụ 1: Mỗi tuần, công ty A cung cấp cho thị trường Q đơn vị sản phẩm. Nếu số lượng nhân công sử dụng bao gồm x công nhân lành nghề và y công nhân chưa lành nghề, số lượng sản phẩm đầu ra mỗi tuần là Q (x, y) = 1350x + 360y + x2y – x3 – y2 (đơn vị), Tính tốc độ cung ứng sản phẩm của công ty theo số công nhân lành nghề tại thời điểm công ty đang sử dụng 40 công nhân lành nghề và 65 công nhân chưa lành nghề. Tốc độ này nói lên điều gì? Giải: Tốc độ cung ứng sản phẩm theo số công nhân lành nghề là (40, 65). (40, 65) = 1750 (đơn vị/người). Tại thời điểm này, khi tăng thêm 1 công nhân lành nghề, số sản phẩm tăng thêm 1750 đơn vị. Ví dụ 2: Bán kính dáy và chiều cao của hình nón tròn đứng được đo tương ứng là 10cm và 25cm, với sai số khả dĩ là 0,1cm. Sử dụng vi phân để tính sai số tối đa khi tính thể tích của hình nón. Giải: 19

-Ta có: Thể tích hình nón V=..r2.h +Khi vi phân ta được: dV=V’r.dr+ V’h.dh=.dr +.r2.dh dV(10,25)=.(0,1)+.(0,1) =20 Kết luận:Sai số thể tích tối đa khoảng 20 cm3.

Chủ đề 4:Ứng dụng hình học của TP kép Ví dụ 1: Tính diện tích phần mặt nằm ngoài đường tròn r=1 và nằm trong đường tròn r= ? Giải:

Trước tiên ,ta tìm giao điểm: cos= => ; Vậy : S= 20

= Ví dụ 2: Tính thể tích vật thể giới hạn bởi z= ;z= ? Giải: -Khi mặt phẳng giới hạn bởi 2 mặt thì ta tìm hình chiếu D của nó xuống mặt phẳng z=0 bằng cách khử z của 2 phương trình 2 mặt: + =2- x2+y2 =1 + Hình chiếu của giao tuyến là đường tròn thì hình chiếu vật thể là hình tròn x2+y21 + Với bất đẳng thức hình tròn ,ta thay ngược lên phương trình ta được :

Vậy ta có tích phân sau: I=.dx.dy =-r).dr.d =.( 21

Chủ đề 5: Tích phân bội ba Ví dụ 1:Tính tích phân I= thuộc E trong đó E là vật thể giới hạn bởi x2+y2=1,z=2-x2-y2,z=0 ? Giải: + Hình chiếu của E xuống Oxy: D:x2+y21 + Mặt phía trên z=2-x2-y2 + Mặt phía dưới z=0

Vậy ta có tích phân sau: I= =.dx.dy =.dr.d = 22

Ví dụ 2: Tính tích phân bội ba I= với E là vật thể giới hạn y=1x;z=1-x2 và các mặt phẳng tọa độ ? Giải: + Hình chiếu của E xuống Oxy là tam giác OAB + Mặt trên z=1-x2 + Mặt dưới z=0

Vậy ta có tích phân sau: I= =.dx.dy =.dx.dy = Chủ đề 6:Tích phân đường Ví dụ 1: Tính I= với AB là nữa đường tròn tâm I(1;0) bán kính 1 nối A(2,0) và B(0,0)? 23

Giải:

Ta có phương trình đường tròn tâm I(1;0) bán kính 1 là: (x1)2+y2=1 + Tham số hóa phương trình : -Tại A ta có : =>

=>t=0

Tương tự với B: => t= Vậy I= = =Ví dụ 2: Tính tích phân I= Trong đó L là đoạn thẳng nối 2 điểm O(0,0) và A(1,1) ? Giải: 24

Ta có: phương trình đoạn thẳng nối hai điểm O(0,0) và A(1,1) là y=x .Tại xO=0; xA=1 Khi đó dy=dx.Ta có: I= =).dx = Ví dụ 3:Tính I= với C là nửa đường tròn x2+y2=1 ? Giải:

Tham số hóa pt nữa đường tròn:;0 Vì x2+y2=1 25

Ta được tích phân sau: I=.dt =+2 Chủ đề 7:Tích phân mặt Ví dụ 1:(Tích phân mặt loại 1) Tính diện tích S của phần mặt paraboloid y=1-x2-z2 nằm trên mặt phẳng y=0 ? Giải: +Với y0 ta được hình chiếu xuống mp y=0 của paraboloid là Dxy :x2+z21 + Phương trình mặt phẳng S: y=1-x2-z2 => Vậy S=.dx.dz = =-1 Ví dụ 2:Tích phân mặt loại 2 Tính I = với S : mặt phía ngoài ngoài của mặt cầu x2 + y2 + z2 = R2 Giải: 26

Gọi S1, S2 là các nửa mặt cầu ứng với z ≥ 0 và z ≤ 0. Trên S1 ta có: z= I = dxdy D:

Trên S2 ta có: z = - và khi đưa về dấu tích phân kép thì lấy dấu âm, nên: I₂ = ) dxdy = dxdy

27

Vậy: I = 2 dxdy = dr = Chủ đề 8:Chuỗi Ví dụ 1:(Chuỗi số) Xét tính hội tụ của chuỗi số sau: ? Giải: - Ta có: an=nn. Do đó : +

= = ==2 Vậy chuỗi đã cho là chuỗi phân kỳ Ví dụ 2:(Chuỗi lũy thừa) Tìm tổng chuỗi hàm: ? Giải: -Dễ thấy miền hội tụ của chuỗi này là (-1,1) Vỡi x,xta có : + S(x)= =x. =x. =x. 28

=x.(x3.) =x.( => S(x)=2. Với x=0 => S(x)=6 vậy S(x)= STT:04 Tên:Nguyễn Hữu Hạnh MSSV:2013095

Chủ đề 1: Vector Gradient,mặt phẳng tiết diện Ví dụ 1:Nhiệt độ tại điểm được cho bởi

trong đó T được tính bằng và được tính bằng mét. a) Tìm tốc độ biến thiên của nhiệt độ tại điểm theo hướng tới điểm b) Nhiệt độ tăng nhanh nhất tại điểm theo hướng nào? c) Tìm tốc độ tăng tối đa tại . Giải Ta có: 29

a) Vector đơn vị: Tốc độ biến thiên của nhiệt độ tại điểm theo hướng tới điểm là:

b) Nhiệt độ tăng nhanh nhất tại điểm khi c) Tốc độ tăng tối đa tại P:

Ví dụ 2:Cho hàm số có đồ thị là mặt cong S. Tìm điểm A trên mặt S sao cho mặt phẳng tiếp diện tại A vuông góc với đường thẳng d: , , . Giải Đường thẳng d có vector chỉ phương là 30

Vector pháp tuyến của mặt phẳng tiếp diện tại điểm là Mặt phẳng tiếp diện tại A vuông góc với đường thẳng d cùng phương Vậy Chủ đề 2: Vi phân Ví dụ 1:Cho hàm số xác định từ phương trình Tính Giải

Ví dụ 2:Cho . Tính Giải

31

. Biết .

Chủ đề 3: đạo hàm của hàm nhiều biến Ví dụ 1:Giả sử hàm số có đạo hàm tại điểm (1, 0, 2) với , và . Nếu , , , tìm tại Giải

Ví dụ 2:Nhiệt độ của một đĩa kim loại mỏng đặt trên mặt phẳng Oxy tại mỗi điểm có tọa độ (x, y) cho bởi . Tính và cho biết sự thay đổi của nhiệt độ của đĩa kim loại này từ điểm (0, 1) theo hướng Ox, Oy. (Đơn vị của T là oC, của x, y là m). 32

Giải Ta có:

Vậy đi theo hướng trục Ox, nhiệt độ không đổi. Đi theo hướng trục Oy nhiệt độ giảm, mỗi m tăng lên theo hướng trục Oy, nhiệt độ giảm 50 oC. Chủ đề 4: Ứng dụng hình học của TP kép Ví dụ 1:Tính diện tích miền D giới hạn bởi các đường: , Giải

Miền :

33

Ví dụ 2:Tính thể tích của vật thể như hình bên dưới:

Giải Đặt ; ; 34

(đvtt) Chủ đề 5: Tích phân bội ba Ví dụ 1:Tính tích phân: khi G bị giới hạn bởi Giải

Đặt ; ; ;

Ví dụ 2:Tính tích phân , trong đó là miền giới hạn bởi: , Giải 35

Đặt ; ;

Chủ đề 6: Tích phân đường Ví dụ 1:Tính tích phân , với C: , , Giải

Ví dụ 2:Tính tích phân theo đường cong , với điểm đầu là và điểm cuối là Giải

Ví dụ 3:Tính tích phân trong đó C là nửa đường tròn Giải Đặt 36

Ví dụ 4:Tính công sinh bởi lực dọc theo cung AB: Ta có công sinh ra: Giải

Chủ đề 7: Tích phân mặt Ví dụ 1:Tính diện tích phần mặt trụ bị cắt bởi các mặt phẳng , , Giải

Miền : + Hàm điều kiện: , + Hình chiếu giao tuyến:

37

Ví dụ 2:Tính tích phân , trong đó S là phần mặt trụ , bị chắn bởi các mặt , , lấy phía trên theo hướng Giải VTPT: ; Miền : + Hàm điều kiện: + Hình chiếu giao tuyến:

Ví dụ 3:S là mặt trong của , Tính 38

Giải

Đặt ; ;

Chủ đề 8:Chuỗi Ví dụ 1:Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số:

Giải

Vậy chuỗi phân kì theo tiêu chuẩn D’Alambert

Ví dụ 2:Tìm miền hội tụ D của chuỗi lũy thừa

Giải 39

Khoảng hội tụ: * Tại :

Chuỗi phân kì (do không xác định) * Tại :

Chuỗi phân kì (do không xác định) Vậy miền hội tụ

STT: 05 Tên: Trần Công Hiển MSSV: 2013188 Chủ đề 1: Vector Gradient,mặt phẳng tiết diện Giải tích vectơ: Hiểu Gradient

40

Trong đó L là đoạn thẳng nối 2 điểm O(0,0) và A(1,1) ? Giải: 24

Ta có: phương trình đoạn thẳng nối hai điểm O(0,0) và A(1,1) là y=x .Tại xO=0; xA=1 Khi đó dy=dx.Ta có: I= =).dx = Ví dụ 3:Tính I= với C là nửa đường tròn x2+y2=1 ? Giải:

Tham số hóa pt nữa đường tròn:;0 Vì x2+y2=1 25

Ta được tích phân sau: I=.dt =+2 Chủ đề 7:Tích phân mặt Ví dụ 1:(Tích phân mặt loại 1) Tính diện tích S của phần mặt paraboloid y=1-x2-z2 nằm trên mặt phẳng y=0 ?

Giải: +Với y0 ta được hình chiếu xuống mp y=0 của paraboloid là Dxy :x2+z21 + Phương trình mặt phẳng S: y=1-x2-z2 => Vậy S=.dx.dz = =-1 Ví dụ 2:Tích phân mặt loại 2 Tính I = với S : mặt phía ngoài ngoài của mặt cầu x2 + y2 + z2 = R2 Giải: 26

Gọi S1, S2 là các nửa mặt cầu ứng với z ≥ 0 và z ≤ 0. Trên S1 ta có: z= I = dxdy D:

Trên S2 ta có: z = - và khi đưa về dấu tích phân kép thì lấy dấu

âm, nên: I₂ = ) dxdy = dxdy

27

Vậy: I = 2 dxdy = dr = Chủ đề 8:Chuỗi Ví dụ 1:(Chuỗi số) Xét tính hội tụ của chuỗi số sau: ? Giải: - Ta có: an=nn. Do đó : +

= = ==2 Vậy chuỗi đã cho là chuỗi phân kỳ Ví dụ 2:(Chuỗi lũy thừa) Tìm tổng chuỗi hàm: ? Giải: -Dễ thấy miền hội tụ của chuỗi này là (-1,1) Vỡi x,xta có : + S(x)= =x. =x. =x. 28

=x.(x3.) =x.( => S(x)=2.

Với x=0 => S(x)=6 vậy S(x)= STT:04 Tên:Nguyễn Hữu Hạnh MSSV:2013095

Chủ đề 1: Vector Gradient,mặt phẳng tiết diện Ví dụ 1:Nhiệt độ tại điểm được cho bởi

trong đó T được tính bằng và được tính bằng mét. a) Tìm tốc độ biến thiên của nhiệt độ tại điểm theo hướng tới điểm b) Nhiệt độ tăng nhanh nhất tại điểm theo hướng nào? c) Tìm tốc độ tăng tối đa tại . Giải Ta có: 29

a) Vector đơn vị: Tốc độ biến thiên của nhiệt độ tại điểm theo hướng tới điểm là:

b) Nhiệt độ tăng nhanh nhất tại điểm khi c) Tốc độ tăng tối đa tại P:

Ví dụ 2:Cho hàm số có đồ thị là mặt cong S. Tìm điểm A trên mặt S sao cho mặt phẳng tiếp diện tại A vuông góc với đường thẳng d: , , . Giải Đường thẳng d có vector chỉ phương là 30

Vector pháp tuyến của mặt phẳng tiếp diện tại điểm là Mặt phẳng tiếp diện tại A vuông góc với đường thẳng d cùng phương Vậy Chủ đề 2: Vi phân Ví dụ 1:Cho hàm số xác định từ phương trình Tính Giải

Ví dụ 2:Cho . Tính Giải

. Biết .

31

Chủ đề 3: đạo hàm của hàm nhiều biến Ví dụ 1:Giả sử hàm số có đạo hàm tại điểm (1, 0, 2) với , và . Nếu , , , tìm tại Giải

Ví dụ 2:Nhiệt độ của một đĩa kim loại mỏng đặt trên mặt phẳng Oxy tại mỗi điểm có tọa độ (x, y) cho bởi . Tính và cho biết sự thay đổi của nhiệt độ của đĩa kim loại này từ điểm (0, 1) theo hướng Ox, Oy. (Đơn vị của T là oC, của x, y là m). 32

Giải Ta có:

Vậy đi theo hướng trục Ox, nhiệt độ không đổi. Đi theo hướng trục Oy nhiệt độ giảm, mỗi m tăng lên theo hướng trục Oy, nhiệt độ giảm 50 oC.

Chủ đề 4: Ứng dụng hình học của TP kép Ví dụ 1:Tính diện tích miền D giới hạn bởi các đường: , Giải

Miền :

33

Ví dụ 2:Tính thể tích của vật thể như hình bên dưới:

Giải Đặt ; ; 34

(đvtt) Chủ đề 5: Tích phân bội ba Ví dụ 1:Tính tích phân: khi G bị giới hạn bởi Giải

Đặt ; ; ;

Ví dụ 2:Tính tích phân , trong đó là miền giới hạn bởi: , Giải 35

Đặt ; ;

Chủ đề 6: Tích phân đường Ví dụ 1:Tính tích phân , với C: , ,

Vậy: 



 I  0  2

Câu

3:

(Tọa

2cos

 0

độ

 1 1 28 8 r .rdr  d   cos3  d  2 2 03 9 

cầu)

Tính:

2 2 2 I   x  4 y  9 z dxdydz 

,

trong

đ

vật

t

x2  4 y2  9 z2 1; x, y , z 0.

Giải: 2

2

 y   z  :x      1 1/ 2  1/  3  2

Đặt: y  p sin  cos  ; x  p sin  sin  ;

z  p cos 

Mà: x, y, z 0 => Góc phần tám thứ nhất. 

 1

1  I  sin d .d . p 3 dp  6 48 0 0 0 2

=>

  0     2  0    2 Vậy: 

Câu

4: 2

2

2

(Ứng 2

dụng 2

 : x  y  z 4,3 z x  y

thực 2

tế)

. 61

Tính

thể

tích

của

Giải:  

x2  y2 ...