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Baumechanik 1 Formelsammlung Prof. Dr.-Ing. Agnes Weilandt;Prof. Dr.-Ing. Matthias Rohde;Prof. Dr.-Ing. Daniel Pfanner

Stand: 12.01.15

Formelsammlung Baumechanik 1

1. Geometrie

1.1. Rechtwinkliges Dreieck sin  

Gegenkathete a  Hypotenuse c

 c

cos  

Ankathete b  Hypotenuse c

tan  

Gegenkathete a  Ankathete b

b



 a

Satz des Pythagoras: c ² = a² + b²

1.2.

Allgemeines Dreieck

 c

b



 a

Kosinussatz:

c²  a²  b²  2ab cos 

Sinussatz:

a : b : c  sin  : sin  : sin 

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Formelsammlung Baumechanik 1

2. Zentrales Kraftsystem 2.1. Bestimmung der Resultierenden Kräfte, die auf verschiedenen Wirkungslinien liegen, können durch das Parallelogramm der Kräfte zur Resultierenden R zusammengefasst werden. –

Die geometrische Konstruktion entspricht der Vektoraddition.

–

Die Reihenfolge der Addition ist beliebig.

Zeichnerisches Verfahren -für beliebige Anzahl der Kräfte Vorgehen: –

1. Lageplan der Kräfte zeichnen

–

2. Kräfteplan (Krafteck, Kräftepolygon) zeichnen

–

Geometrische Beziehungen ergeben sich aus der Zeichnung

–

Die Resultierende ergibt sich immer aus der Geraden zwischen Anfangspunkt der ersten Kraft und Pfeilspitze der letzten Kraft.

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Formelsammlung Baumechanik 1

Graphisch analytisches Verfahren: Sinnvoll zur Ermittlung der Resultierenden von 2 Kräften mit verschiedenen Wirkungslinien Vorgehen: –

1. Lageplan der Kräfte zeichnen

–

2. Kräfteplan (Krafteck, Kräftepolygon) zeichnen

–

Geometrische Beziehungen rechnerisch mit Pythagoras, Cosinus- und Sinussatz lösen

Für die Resultierende ergibt sich bei bekanntem Winkel  zwischen den Kräften F1 und F2 ergibt sich aus dem Cosinussatz: R  F12  F22  2 F1 F2 cos 

Der Neigungswinkel der resultierenden Kraft kann mit dem Sinussatz bestimmt werden:

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Formelsammlung Baumechanik 1

Rechnerisches Verfahren: Allgemeines Verfahren zur Berechnung der Resultierenden im zentralen Kraftsystem Vorgehen: –

Lageplan der Kräfte zeichnen.

–

Ermittlung der Komponenten der Kräfte durch Berücksichtigung der Winkelbeziehungen in x-Richtung.

–

Ermittlung der Komponenten durch Berücksichtigung der Winkelbeziehungen in z-Richtung.

–

Addition der jeweiligen Komponenten.

–

Bestimmung der Resultierenden durch den Pythagoras.

Seite 4

Formelsammlung Baumechanik 1

2.2. Gleichgewicht im zentralen Kraftsystem Drei oder mehr Kräfte sind im Gleichgewicht, wenn sich ihre Wirkungslinien in einem Punkt schneiden und der Kräfteplan geschlossen ist (Einbahnverkehr). Der Umfahrungssinn muss stetig sein. Das heißt, dass die Resultierende Null sein muss: R   Fi  0

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F

i, x

0

F

i, y

0

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Formelsammlung Baumechanik 1

3. Allgemeines Kraftsystem 3.1. Grafisches Verfahren zur Bildung der Resultierenden aus zwei Kräften Vorgehen: –

Lageplan der Kräfte zeichnen (Kraft und Lage maßstäblich)

–

Gleichgewichtsgruppe K hinzufügen

–

Resultierende R1 und R2 bilden

–

Schnittpunkt der Wirkungslinien der Resultierenden R1 und R2 suchen - - - - - - -

–

Resultierenden R1 und R2 in den Schnittpunkt der Wirkungslinien verschieben

–

und Gesamtresultierende Rges bilden.

–

Die Länge und Lage der Resultierenden kann abgelesen werden.

Kann nicht bei Kräftepaaren angewandt werden

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3.2. Culmann-Verfahren- grafisches Verfahren zur Ermittlung des Gleichgewichts Üblicherweise zur Ermittlung des Gleichgewichts von drei Reaktionskräften mit einer gegebenen einwirkenden Kraft verwendet Vorgehen: –

Lageplan der vier Kräfte zeichnen.

–

Die Wirkungslinien jeweils zweier Kräfte schneiden.

–

Die Verbindung der Schnittpunkte ist die Wirkungslinie beider Teilresultierenden = Culmannsche Gerade.

Voraussetzung: Die vorgegebenen Wirkungslinien sind bekannt, schneiden sich nicht alle in einem gemeinsamen Punkt und sind nicht alle parallel zueinander.

Seite 8

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1. Lageplan der Kräfte zeichnen (Richtung und Lage der Wirkungslinien maßstäblich) 2. Wirkungslinien der Kräfte im Lageplan einzeichnen und Schnittpunkte suchen

3. Schnittpunkte der Wirkungslinien suchen (Kraft F mit einer der gesuchten Kräfte – hier S3- und die anderen beiden Kräfte – hier S1 und S2) 4. Culmann-Gerade zwischen den Schnittpunkten eintragen 5. Kraftplan zeichnen (Richtungen und Größe der Kraft maßstäblich) – hier Maßstab 10 kN: 4 cm 6. F zerlegen in Richtung der Culmann Geraden und der Kraft mit der F im Lageplan geschnitten wurde – hier S3 7. Culmann – Gerade zerlegen in die übrigen beiden Kraftrichtungen – hier S1 und S2

8. Richtungen der Kräfte eintragen (Krafteck muss geschlossen werden) 9. Kraftplan auswerten – Längen und Richtungen S1 = - 10 kN (abgelesene Länge 4 cm; negativ, da Richtung entgegengesetzt zu Lageplan) S2 = 3,3 kN (abgelesene Länge 1,32 cm; positiv, da Richtung wie in Lageplan) S3 = -12,1 kN (abgelesene Länge 4,82 cm; negativ, da Richtung entgegengesetzt zu Lageplan)

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3.3. Ermittlung der Resultierenden im allgemeinen Kraftsystem Die Resultierende im allgemeinen Kraftsystem kann mit Rx   Fix Rz   Fiz

R  Rx2  R2z

ermittelt werden. Die Richtung der Resultierenden ergibt sich aus.

tan  

Rz Rx

Die Lage der Resultierenden Kraft ergibt sich nach der Ermittlung des resultierenden Momentes um einen beliebigen Punkt mit M R   Mi

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h

MR oder R

x

MR Rz

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∑

∑

√

und

α = arctan (25 kN/ 5,98 kN) 76,55°

Resultierendes Moment um (0) infolge der äußeren Kräfte ()

∑

()

Lage der Wirkungslinie von R:

Seite 11

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3.4. Gleichgewicht im allgemeinen Kraftsystem Im allgemeinen Kraftsystem kann das Gleichgewicht über die drei Gleichungen

F

ix

0

F

iz

0

M

i

0

bestimmt werden. Statt der Kräftegleichgewichte können weitere Momentengleichgewichte um andere Punkte aufgestellt werden. Die Berechnung kann durch eine unabhängige Kontrolle, zum Beispiel Momentengleichgewicht um einen weiteren Punkt, kontrolliert werden.

S2

S3x S3

b

a S3z α = 33,7°

∑ ∑ ⁄ ∑ Unabhängige Kontrolle: ∑

Seite 12

(

)

(

)

S1

F = 10 kN

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4. Querschnittswerte 4.1. Bekannte Schwerpunkte

Seite 13

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4.2. Bestimmung des Schwerpunktes beliebiger zusammengesetzter Flächen Vorgehen: –

Aufteilen der Fläche in bekannte Teilflächen

–

Ursprung und Koordinatensystem und wählen

–

Ermitteln der Teilflächen Ai und der Teilflächenschwerpunkte i undi

–

Berechnung der Schwerpunktkoordinaten 

∑

Seite 14

∑

 

∑

∑



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5. Auflager

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6. Fachwerke 6.1. Statische Bestimmtheit beim Fachwerk –

Unbekannte: Lagerreaktionen r, Stabkräfte S 

–

Gleichungen: Je Knoten 2 Gleichungen ( ∑ 

–

also r + S unbekannte Kräfte ∑ )

also 2 k Gleichungen

statisch bestimmt: n= 0

mit

n = r+ s - 2 k

Auch wenn n= 0, kann ein Fachwerk kinematisch unbestimmt sein, d.h. n= r+s - 2  k=0 ist notwendige, aber nicht hinreichende Bedingung. Es müssen weitere Aufbaukriterien (=Bildungsgesetze) für Fachwerke eingehalten werden –

statisch unbestimmt: n> 0

–

 Fachwerk brauchbar, Berechnung aber nicht aus Gleichgewichtsbedingungen möglich.

kinematische Kette: n< 0

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 Fachwerk verschieblich und nicht brauchbar (kinematische Kette)

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6.2. Bildungsgesetze 1.Bildungsgesetz: An einem Einzelstab werden zwei weitere Stäbe angefügt, so dass ein Dreieck entsteht. Drei Stäbe ergeben eine in sich unverschiebliche Fachwerkscheibe. Die zwei neuen Stäbe dürfen nicht auf einer Geraden liegen.

2.Bildungsgesetz: Zwei nach dem 1. Bildungsgesetz konstruierte Fachwerke können durch 3 Stäbe verbunden werden, die nicht alle parallel sein dürfen und nicht alle durch einen Punkt gehen dürfen.

An die Stelle des dritten Stabes kann dann noch das einwertige Auflager durch ein zweiwertiges Auflager ersetzt werden.

3.Bildungsgesetz: Entfernt man einen Stab aus einem Fachwerk, das nach dem 1. und 2. Bildungsgesetz aufgebaut ist, wird es beweglich. Es muss ein neuer Stab eingefügt werden, damit das Fachwerk wieder starr wird.

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6.3. Stabkraftermittlung mit Knotenpunktverfahren –

Ermittlung der Auflagerkräfte mit dem äußeren Gleichgewicht am Gesamtsystem.

–

Ermittlung der so genannten Nullstäbe.

–

Freischneiden aller Knoten. Die Stabkräfte zeigen vom Knoten weg (nicht die Auflagerkräfte).

–

Ermittlung der Stabkräfte mit den zwei Gleichgewichtsbedingungen (inneres ∑ ) Gleichgewicht am Knoten). ( ∑

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6.4. Stabkraftermittlung mit dem Ritterschnittverfahren –

meist vorteilhaft für die Bestimmung einzelner Stabkräfte, da nicht alle Knoten freigeschnitten werden müssen ( weniger Aufwand).

–

das Fachwerk wird durch einen Schnitt in zwei Teile zerlegt

–

dabei müssen entweder 3 Stäbe geschnitten werden, die nicht alle zum gleichen Knoten gehören oder es muss durch 1 Stab und 1 Gelenk geschnitten werden.

Vorgehen: –

Wahl des Schnittes und Zerlegung des Systems in 2 Teile mit Darstellung der freigeschnittenen Schnittkräfte

–

Der linke und der rechte Teilkörper müssen für sich im Gleichgewicht sein

–

Mit den drei bekannten Gleichgewichtsbedingungen kann man die drei unbekannten Stabkräfte berechnen.

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6.5. Nullstäbe 1.

Sind an einem unbelasteten Knoten zwei Stäbe angeschlossen, die nicht in der gleichen Richtung liegen („unbelasteter Stabzweischlag“), so sind beide Stäbe Nullstäbe.

2.

Sind an einem belasteten Knoten zwei Stäbe angeschlossen und greift die äußere Kraft in Richtung des einen Stabes an, so ist der andere Stab ein Nullstab.

3.

Sind an einem unbelasteten Knoten drei Stäbe von denen zwei in einer Richtung liegen, so ist der dritte Stab ein Nullstab.

4.

wie 3., gilt am unbelasteten Knoten auch für weitere Stäbe, wenn der erste Nullstab bereits bekannt.

– Seite 20

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7. Biegeträger 7.1. Vorzeichenkonvention für Schnittkräfte – Positive Schnittgrößen für verschiedene Stabdrehwinkel

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7.2. Schnittkraftermittlung an einzelnen Schnitten Vorgehen: –

Ermittlung der Auflagerkräfte mit dem äußeren Gleichgewicht

–

Ermittlung der Schnittkräfte an markanten Stellen

–

Die Schnittkräfte werden als positive Schnittkräfte gem. der Vorzeichenkonvention an der Schnittstelle eingetragen.

–

Mit den drei Gleichgewichtsbedingungen werden die unbekannten Schnittgrößen N, V, M ermittelt. ∑

∑

∑

Am freien Ende ohne äußere Lasten sind die Schnittkräfte = 0.

–

Beispiel

Auflagerkräfte Σ M = 0 = -6,00 kN * 2,00 m + V * 10,00 m - 3,00 kN/m * 4,00 m * 6,00 m

⇔ V = 8,40 kN

Σ M = 0 = -V * 10,00 m + 6,00 kN * 8,00 m + 3,00 kN/m * 4,00 m * 4,00 m

⇔ V = 9,60 kN

Σ H = 0 = H + 2,00 kN

⇔ H = - 2,00 kN

A

B

B

A

A

B

A

A

Kontrolle der vertikalen Auflagerkräfte: Σ V = 0 = -9,60 kN - 8,40 kN + 6,00 kN + 3,00 kN/m * 4,00 m

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⇔0=0

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Schnitt A-1 Σ H = 0 = N1 – 2,00 kN Σ V = 0 = V1 – 9,60 kN Σ M = 0 = M1 – 9,60 kN/m * 2,00 m

⇔ N = 2,00 kN 1

⇔ V = 9,60 kN 1

⇔ M = 19,20 kNm 1

Schnitt 1-2 Σ H = 0 = N2 + 2,00 kN – 2,00 kN Σ V = 0 = V2 + 6,00 kN – 9,60 kN Σ M = 0 = M2 – 19,20 kNm

⇔ N = 0,00 kN 2

⇔ V = 3,60 kN 2

⇔ M = 19,20 kNm 2

Schnitt 2-3 Σ H = 0 = N3 – 0,00 kN Σ V = 0 = V3 – 3,60 kN

⇔ N = 0,00 kN 3

⇔ V = 3,60 kN 3

Σ M = 0 = M3 – 3,60 kN * 2,00 m - 19,20 kNm

⇔ M = 26,40 kNm 3

Schnitt 3-4

Σ H = 0 = N4 – 0,00 kN

⇔ N = 0,00 kN 4

Σ V = 0 = V4 + 3,00 kN/m * 4,00 m – 3,60 kN

⇔ V = - 8,40 kN 4

Σ M = 0 = M4 + 3,00 kN/m * 4,00 m * 2,00 m – 26,40 kNm – 3,60 kN * 4,00 m

⇔ M = 16,80 kNm 4

Schnitt 4-B - Kontrolle Σ H = 0 = 0,00 kN ⇔ 0,00 kN = 0,00 kN Σ V = 0 = 8,40 kN + ( - 8,40 kN ) ⇔ 0,00 kN = 0,00 kN Σ M = 0 = 16,80 kNm + ( - 8,40 kN ) * 2,00 m ⇔ 0,00 kNm = 0,00 kNm

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Formelsammlung Baumechanik 1

Berechnung des maximalen Moments Nulldurchgang der Querkraftlinie: X = 3,60 kN * 3 kN/m 0

⇔ X = 1,20 m 0

Maximales Moment: M = 26,40 kNm - 3,00 kN/m * 1,20 m * 0,60 m max

+ 3,6 kN * 1,20 m ⇔M

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max

= 28,56 kNm

Formelsammlung Baumechanik 1 7.3. Schnittkräfte – Zusammenhänge Zusammenhang zwischen Querkraft und Moment Einwirkung

V(x)-Funktion

M(x)- Funktion Linearfunktion in pos. x-Richtung abnehmend

Bemerkungen PII(quadratische Parabel) Extremum bei x mit V(x)= 0

V(x) = 0 bei x = Va/q

q(x) konstant

PII in pos. x-Richtung abnehmend

Kubische Parabel Extremum bei x mit V(x)= 0

q(x) Linearfunktion Änderung der Lastfunktion

Einwirkung

V(x)-Funktion

M(x)- Funktion

q(x) mit Knick in (i)

Tangentialer Übergang in (i)

Tangentialer Übergang in (i)

q(x) mit Sprung in (i)

Knick in (i)

Tangentialer Übergang in (i)

Einzelkraft in (i)

Sprung in (i) um F Vi, rechts = Vi, links -F

Einzelmoment in (i)

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Durchgehend konstant

Knick in (i) Sprung in (i) um ML

Bemerkungen

bei Vorzeichen-Wechsel von V ohne Vorzeichen-Wechsel von V Verlauf von M rechts und links von i abhängig von V

Formelsammlung Baumechanik 1 Geometrische Zusammenhänge Beschreibung

Beschreibung Ecke 90°

N(x)- Funktion/ V(x)-Funktion N→V V→N Vorzeichen abhängig von gestrichelter Linie

M(x)- Funktion konstant

Schräge Ecke

Anteiliger Wechsel von N und V Vorzeichen abhängig von gestrichelter Linie

Konstant

Gelenkiger Stabanschluss 90°

V, N im vertikalen Stab ändern sich sprunghaft V um NStab N um VStab Vorzeichen abhängig von gestrichelter Linie

konstant mit Knick, wenn Sprung in V

Schräger Stabanschluss

Anteilige Sprunghafte Änderung von N und V

Konstant, mit Knick, wenn Sprung in V

Gelenkiges Lager unter V ändert sich sprunghaft um P durchlaufendem Vi, rechts = Vi, links +P Träger

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Knick über Lager Verlauf links und rechts vom Lager abhängig von V

Formelsammlung Baumechanik 1 Berechnung von M(x) und V(x) bei bekanntem Ma und Va Die im Folgenden angegebenen Formel ergeben sich aus den Gleichgewichtsbedingungen ( Fz = 0 und  M = 0) des betrachteten freigeschnittenen Stababschnittes. Für andere Belastungssituationen können die Schnittgrößen am Stabende entsprechend berechnet werden. Belastungssituation

V(x)-Fläche

M(x) Ve = Va

Me = Ma + Va · l bei V > 0 positiv steigend bei V < 0 negativ steigend

Ve = Va - q·l V(x) = 0 bei x = Va/q

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Me = Ma + Va · l – q · l ²/2 Mmax bei x = Va/q Ermittlung über Gleichgewicht: Mmax = Ma + Va · x – q · x²/2 Ermittlung mit Integrationsmethode: Mmax = Ma + Va· x/2

Formelsammlung Baumechanik 1 Berechnung von V(x) bei bekanntem Ma und Me Die im Folgenden angegebenen Formel ergeben sich aus den Gleichgewichtsbedingungen (  Fz = 0 und  M = 0) des betrachteten freigeschnittenen Stababschnittes. Für andere Belastungssituationen können die Schnittgrößen am Stabende entsprechend berechnet werden. Belastungssituation

V(x)-Fläche

M(x) bei V > 0 positiv steigend bei V < 0 negativ steigend

Mmax bei x = Va/q Ermittlung über Gleichgewicht: Mmax = Ma + Va · x – q · x²/2 Ermittlung mit Integrationsmethode: Mmax = Ma + Va· x/2 V(x) = 0 bei x = Va/q Mmax bei x = l /2 Ermittlung über Gleichgewicht: Mmax = Ma + Va · x

Last greift bei l /2 an

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V(x) = 0 bei x = Va/q

Formelsammlung Baumechanik 1

8. Eigene Notizen

Seite 29

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