Calcoli e dosaggi farmacologici PDF

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Capitolo 2 Richiami di matematica

Rapporto, frazione, proporzione e percentuale I termini rapporto, frazione, proporzione e percentuale sono molto importanti nel campo dell’infermieristica perché sono i concetti matematici necessari per calcolare l’esatto dosaggio dei farmaci da somministrare. Un ripasso di questi concetti servirà per preparare i dosaggi in modo corretto, sicuro, a evitare errori e le relative conseguenze: un sovradosaggio può causare danni seri alla persona, un sottodosaggio può comportare, per esempio, una mancata riduzione del dolore, della febbre, della fibrillazione o determinare una mancata risposta terapeutica a un antibiotico. Quindi, non è solo importante il giusto farmaco, ma anche la giusta quantità, nonché la giusta via di somministrazione. Nei paragrafi seguenti, oltre a riprendere alcuni concetti di matematica, vengono proposti esercizi per “rinfrescare” le abilità matematiche “arrugginite” e per mantenere in esercizio chi quelle abilità non le ha mai perse. Quanto trattato rappresenta quindi la base: ciò che è indispensabile sapere per operare con le dosi (quantità) dei farmaci. 2.1 Rapporto Spesso si ha la necessità di confrontare (rapportare) due numeri o grandezze. Per esempio riteniamo una persona, in base alla sua altezza e al suo peso, proporzionata, normale, sovrappeso, obesa o sottopeso: in questo caso confrontiamo due grandezze, espresse in numeri (altezza e peso). Se calcoliamo il rapporto tra queste due grandezze, otteniamo un numero a cui viene attribuito un significato. Quindi, un rapporto è il confronto tra due numeri o grandezze e corrisponde al risultato della loro divisione. Per esempio, se in un cortile ci sono 2 cani e 5 gatti, il rapporto dei cani ai gatti è 2 cani a 5 gatti

oppure 2:5

oppure 2/5

Ogni rapporto dà luogo a un numero naturale (intero) o a un numero decimale. Il rapporto fra due numeri si può rappresentare sotto forma di: − divisione (il rapporto fra 9 e 5 è 9:5); ); − frazione (il rapporto fra 12 e 3 è − numero naturale o decimale (il rapporto fra 7 e 2 è 7:2, cioè 3,5).

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2.2 Frazione La frazione indica il rapporto fra due numeri: è il modo per esprimere una quantità basata sulla divisione di un oggetto in un certo numero di parti della stessa dimensione.

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Per rappresentarla si utilizza una linea di frazione che divide il numeratore (numero superiore) dal denominatore (numero inferiore)

Il denominatore indica in quante parti deve essere diviso un intero; il numeratore indica quante parti sono considerate.

Una frazione si dice propria se il numeratore è minore del denominatore

Dividendo il numeratore per il denominatore di una frazione propria si ottiene un numero minore di 1.

Una frazione si dice impropria se il numeratore è maggiore o uguale al denominatore

Dividendo il numeratore per il denominatore di una frazione impropria si ottiene un numero maggiore o uguale a 1

Una frazione impropria si dice apparente se il numeratore è multiplo o uguale al denominatore

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Dividendo il numeratore per il denominatore di una frazione apparente si ottiene un numero naturale.

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Quando si fanno i conti con le frazioni è necessario a volte ridurre ai minimi termini (semplificare) per poter proseguire le operazioni con numeri più piccoli. Semplificare quindi significa dividere il numeratore e il denominatore per un divisore comune.

A volte è necessario semplificare in due o più passaggi per ridurre la frazione a numeri piccoli.

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Se le frazioni hanno al numeratore e/o al denominatore numeri decimali, per procedere nella semplificazione è necessario moltiplicare la frazione per 10/10 o 100/100.

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2.2.1 I numeri decimali I numeri naturali sono i numeri che utilizziamo in sequenza per contare (1, 2, 3, 4, 5 … 10) e sono, nel nostro sistema numerico, in base 10. Una unità intera può essere divisa in parti: ognuna di queste parti può essere un decimo, un centesimo, un millesimo ecc. dell’unità intera. − Se dividiamo l’unità intera (1) in 10 parti uguali: ognuna di queste parti (0,10) è un decimo dell’unità intera. − Se dividiamo l’unità intera (1) in 100 parti uguali: ognuna di queste parti (0,010) è un centesimo dell’unità intera. − Se dividiamo l’unità intera (1) in 1000 parti uguali: ognuna di queste parti (0,0010) è un millesimo dell’unità intera Numero decimale 0,1 0,01 0,001 0,0001 0,00001 0,000001 0,0000001 0,00000001 0,000000001

Come si legge un decimo un centesimo un millesimo un decimillesimo un centomillesimo un milionesimo un decimilionesimo un centomilionesimo un miliardesimo

Il numero decimale viene scritto con la virgola. Il numero a sinistra della virgola è un numero intero, il numero a destra è la frazione (parte) di un numero intero. Esempio: 15,45 15 è la parte intera 45 è la parte decimale (frazione)

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La virgola serve a separare la parte intera dalla parte decimale del numero.

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Moltiplicare un numero per 10, 100, 1000 significa aumentare il valore del numero decimale. Ci sono due metodi per moltiplicare per 10, 100, 1000: il primo metodo è quello classico in colonna; il secondo metodo, più veloce, utilizza lo spostamento della virgola a destra di tanti posti quanti sono gli zeri.

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Dividere un numero per 10, 100, 1000 significa procedere con il calcolo inverso alla moltiplicazione. Come nella moltiplicazione, anche per la divisione ci sono due metodi: classico e veloce, dove lo spostamento della virgola anziché verso destra sarà verso sinistra.

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Sapere bene come moltiplicare o dividere per 10, 100, 1000 sarà utile quando si dovranno fare le equivalenze/conversioni nei sistemi di misura, per esempio per passare da grammi a milligrammi.

2.3 Approssimazione (arrotondamento) Il termine approssimazione deriva da “approssimare” che significa “avvicinare”. Un risultato approssimato si avvicina a quello esatto senza coincidervi. Approssimare è utile quando il risultato è molto lungo o contiene infinite cifre decimali.

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Nel definire il dosaggio dei farmaci da somministrare, operando con le frazioni il risultato può essere un numero decimale. La quantità di farmaco da somministrare è determinata da numeri interi o numeri decimali limitati (per esempio, non si possono somministrare frazioni di gocce, come 5,6 gtt). Per questo motivo può essere necessario dopo il calcolo procedere con l’approssimazione (arrotondamento). L’approssimazione si effettua per eccesso o per difetto. Di norma si usa approssimare per eccesso quando la cifra seguente a quella fissata per l’approssimazione è uguale o superiore a 5 e per difetto quando va da 0 a 4,9. L’approssimazione per difetto porta a un risultato inferiore, quella per eccesso porta a un risultato maggiore di quello esatto. L’approssimazione si effettua al primo decimale, al secondo, al terzo o al millesimo.

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Ecco alcune regole per arrotondare quando si fanno i calcoli con i farmaci. − Arrotondare a un numero intero quando si devono somministrare capsule o gocce, in quanto queste non possono essere divise in parti. − Arrotondare solo quando si è alla conclusione delle operazioni: arrotondare prima o ripetutamente porta a un risultato troppo poco vicino a quello reale. − I farmaci prescritti in Unità Internazionali (U) e milliequivalenti (mEq) non sono convertibili nel sistema di misura metrico o in quello casalingo, ma possono essere contenuti in essi.

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Per alcuni farmaci, come per esempio l’Acecumarolo (Sintrom®), è necessario fare attenzione al dosaggio, poiché deve essere somministrato con molta cautela. Se per esempio dopo un calcolo di dosaggi il risultato è 0,75 compresse, significa che è necessario somministrare 3/4 di compressa e non 1 compressa intera (come risulterebbe dall’arrotondamento). Quindi in questo caso non è possibile procedere con l’arrotondamento.

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2.4 Proporzione Una proporzione indica l’uguaglianza fra due rapporti (o frazioni).

La proprietà fondamentale della proporzione è che il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi

Si supponga che in una proporzione uno dei termini, indicato con una x, non sia noto.

Risolvere una proporzione significa calcolare il termine incognito essendo noti gli altri tre. Basta applicare la proprietà fondamentale, secondo la quale il prodotto degli estremi è uguale al prodotto dei medi. Per cui: − in ogni proporzione un estremo incognito è uguale al prodotto dei medi diviso per l’altro estremo

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− in ogni proporzione un medio incognito è uguale al prodotto degli estremi diviso per l’altro medio

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2.5 Percentuale La percentuale è un altro modo per esprimere rapporti e frazioni. Percentuale (simbolo %) significa “per cento”, utilizza il “100%” per rappresentare un intero. Poiché il per cento si basa su 100, è più facile da calcolare, visualizzare e confrontare rispetto alle frazioni. La percentuale è utilizzata come standard per confrontare delle parti di un intero. Esempio: 18 studenti su 82 hanno superato la prova in una classe (la prima riflessione che viene spontanea è che la prova era veramente dura). In un’altra classe 20 su 75 hanno superato la prova. In quale classe la percentuale di studenti che ha superato la prova è più alta? Come si procede: − rappresentare il rapporto con una divisione o frazione; − trasformare il decimale in percentuale (moltiplicare per cento); − aggiungere il segno di percentuale (%).

Il simbolo per cento (%) significa che si considera una parte rispetto a un totale di cento. Per esempio, il 50% significa che si considerano 50 parti di cento. Lo stesso significato lo si ha quando si utilizza come riferimento 1000 anziché 100. In questo caso il simbolo è ‰.

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2.5.1 Convertire una frazione in percentuale Per convertire le frazioni in decimali è necessario dividere il numeratore per il denominatore; poi moltiplicare il risultato per 100 e porre il simbolo di percentuale.

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Oppure si moltiplica direttamente la frazione per 100 e di fianco al risultato si pone il simbolo percentuale.

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2.5.2 Convertire i decimali in percentuali Per convertire un numero decimale in percentuale è necessario moltiplicare lo stesso per 100, spostando la virgola decimale di due posti verso destra e infine aggiungere il segno di percentuale.

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2.6 Le soluzioni Una soluzione è una miscela omogenea, di due o più sostanze, costituita da particelle di dimensioni atomiche o molecolari, con dimensioni inferiori a 1 nm, che si distribuiscono uniformemente in tutto il volume a disposizione. Qualsiasi soluzione è costituita da un solvente e da uno o più soluti. Il solvente è il mezzo in cui le altre sostanze vengono mescolate o disciolte. Di solito il solvente è liquido, generalmente è l’acqua. Il soluto invece è una sostanza disciolta nel solvente; può essere all’origine un solido, un liquido o un gas. Esempio: In una soluzione acquosa di zucchero, lo zucchero è il soluto e l’acqua è il solvente. Le soluzioni possono essere diluite (dove il rapporto tra soluto e solvente è molto piccolo, per esempio un cucchiaino di zucchero in un bicchiere di acqua), concentrate (dove il rapporto tra soluto e solvente è maggiore, per esempio uno sciroppo è una soluzione concentrata tra di zucchero e acqua), satura (è quella in cui presente il soluto in concentrazione tale che se si aggiunge altro soluto questo non si scioglierà ulteriormente e rimarrà sul fondo del recipiente), non satura/insatura (il rapporto tra soluto e solvente è più basso di quello esistente nella soluzione satura, per cui se viene aggiunto soluto, parte di esso si scioglierà). Qualora nella soluzione si formi un solido questo fenomeno è chiamato precipitazione e il solido che si separa è il precipitato. La quantità di soluto necessaria per formare una soluzione satura in una data quantità di solvente a una data temperatura, è definita come la solubilità di quel soluto in quel solvente.

Esistono vari tipi di soluzioni: a) soluzioni gassose (è il caso di tutte le miscele gassose, per esempio l’aria che si respira), b) soluzioni solide (per esempio alcune leghe metalliche), c) soluzioni liquide (che sono le più comuni). In questo paragrafo ci occuperemo delle soluzioni liquide, ossia di quei sistemi omogenei in cui uno o più soluti allo stato puro (gas, liquido, solido) vengono disciolti in un solvente liquido.

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2.6.1 La concentrazione delle soluzioni La misura della quantità di soluto rispetto alla quantità di solvente è detta concentrazione e viene misurata sia tramite unità fisiche, sia tramite unità chimiche. La concentrazione (o titolo) esprime la quantità di un componente presente in una determinata quantità di un campione (quest’ultima quantità viene assunta come riferimento). La concentrazione è quindi una grandezza che mette in relazione la quantità dei componenti di un miscuglio. I componenti (o il componente) disciolti in percentuale minore prendono il nome generico di soluto.

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I metodi principali per esprimere le concentrazioni sono: − percentuale (%) massa/massa o % peso/peso (%m/m o %p/p): quantità di soluto “solido” per 100 g di soluzione; − percentuale (%) volume/volume (%v/v): quantità di soluto “liquido” per 100 ml di soluzione; − percentuale (%) massa/volume (%p/v): quantità di soluto “solido” per 100 ml di soluzione. L’indicazione di un numero seguita semplicemente dal simbolo % (per esempio soluzione acquosa di acido solforico 5%) significa che sono presenti 5 grammi di acido solforico per ogni 100 grammi di soluzione totale. Quindi questa soluzione è composta da 5 grammi di acido solforico puro e da 95 grammi di acqua. Per alcune soluzione particolari, come l’acqua ossigenata e quelle alcoliche, si usa una diversa indicazione percentuale, in volume anziché in peso. La concentrazione percentuale in peso La concentrazione %m/m o %p/p è il numero di grammi di soluto sciolti in 100 g di soluzione. Spesso ritroviamo questa indicazione in peso sulle etichette di molti prodotti per indicare i grammi di un componente presenti in 100 grammi di prodotto (per esempio percentuali dei grassi presenti in 100 g di formaggio). Formula (grammi di soluto in 100 g di soluzione)

Il risultato non ha alcuna unità di misura e si può indicare con un numero decimale anche inferiore all’unità (per esempio 0,9) Esempio:

2,5 g di NaCl vengono sciolti in 30 g di acqua. Calcolare il contenuto della soluzione in massa%.

Massa soluto = 2,5 g Massa soluzione = massa soluto = 2,5 g NaCl = 32,5 g

+ +

massa solvente 30 g di acqua

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X g di soluto : 100 g di soluzione = 2,5 g soluto : 32,5 g di soluzione X = 2,5 g * 100 g / 32,5 g = 7,7 g, ovvero la concentrazione è 7,7%

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Esempio:

Qual è la concentrazione percentuale in peso della soluzione formata da 30 g di glucosio disciolti in 100 g di acqua?

a) Calcolare la massa complessiva della soluzione sommando la massa del solvente e la massa del soluto. Quindi: massa soluto 100

+ +

massa solvente 30

= =

massa complessiva 130

b) Determinare la concentrazione percentuale applicando la proporzione: g solvente 30 g

: :

g soluto 130 g

= =

x: x:

100 g 100 g

x = 23, 08 g

La soluzione di glucosio ha una concentrazione in peso del 23,08%. Se si conosce la concentrazione percentuale in peso di una soluzione si possono calcolare i grammi di soluto presenti in una soluzione. Esempio:

100 g : 100 g :

Quanti grammi di KCl sono contenuti in 300 g di soluzione acquosa di KCl al 10%? Si sa che se si ha a disposizione una soluzione acquosa al 10%, significa che in 100 g di soluzione ci sono 10 g di KCl. Applicando la proporzione si ha: g soluto 10 g

= =

g di soluzione : x 300 g :x

x = 30 g

Quindi se in 100 g di soluzione ci sono 10 g di KCl, in 300 g di soluzione ci sono 30 g di KCl.

Concentrazione percentuale in volume La concentrazione percentuale volume su volume (%v/v) è un altro modo per esprime le concentrazioni, soprattutto degli alcolici. Indica il numero di millilitri di soluto in 100 ml di soluzione. L’unità di misura della concentrazione percentuale in volume si scrive con il simbolo %vol. Esempio:

Se su una lattina di birra si legge “alcol 4,5%vol” significa che 100 ml di birra contengono 4,5 ml di alcol etilico.

Formula millilitri di soluto in 100 ml di soluzione

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%v/v =

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Per calcolare la concentrazione percentuale in volume, si usa la stessa formula utilizzata per la concentrazione in peso. L’unica differenza riguarda la quantità di soluto e soluzione: − nella concentrazione percentuale in volume le quantità sono espresse in millilitri; − nella concentrazione percentuale in peso sono espresse in grammi. Una specifica a parte deve essere fatta per l’acqua ossigenata (H2O2), che utilizza un sistema di concentrazione che può indurre in errore. Il perossido di idrogeno a temperatura ambiente è un liquido incolore viscoso e poco stabile, che può esplodere spontaneamente. Per questo motivo non viene mai utilizzato puro, ma in soluzione acquosa in percentuali mai superiori al 60%. In soluzione acquosa fino al 5% viene utilizzato come sbiancante o per schiarire i capelli, in soluzione ancora più diluita (3%) è usato per detergere escoriazioni e ferite. La concentrazione dell’acqua ossigenata, di solito, viene espressa in “volumi”: per esempio le soluzioni usate come detergenti di ferite hanno la dicitura “10 volumi” oppure “12 volumi”; esistono in commercio soluzioni anche più concentrate, per esempio a 130 volumi. I “volumi” non sono riferiti alla quantità di soluto in millilitri, ma rappresentano il rapporto tra il volume di ossigeno gassoso che si sviluppa per decomposizione completa dell’acqua ossigenata e il volume della soluzione in se stessa. Se, per esempio, una soluzione di acqua ossigenata ha un titolo pari a 10 volumi, questo significa che dalla decomposizione completa dell’acqua ossigenata contenuta in un litro di soluzione derivano 10 litri di ossigeno gassoso, volume di gas misurato alla temperatura di 0 °C e alla pressione di 1 atm. Lo sviluppo di ossigeno in forma di bollicine è molto evidente quando, per esempio, si applica l’acqua ossigenata su una ferita. Quindi, i “volumi” di perossido di idrogeno differiscono dalle concentrazioni in percentuale, l’utilizzo di questi due metodi di misura è talvolta causa di errore. Per ovviare a questo, esistono delle formule di conversione da concentrazione percentuali a volume e viceversa. In genere, i fornitori di laboratori di analisi chimiche indicano la concentrazione percentuale di acqua ossigenata, mentre i produttori di articoli destinati all’uso domestico indicano i “volumi”. Di seguito sono riportate alcune corrispondenze tra le due misure di concentrazioni: − − − − −

perossido di idrogeno 3% corrisponde a volumi 10 perossido di idrogeno 3,6% corrisponde a volumi 12 perossido di idrogeno 10% corrisponde a volumi 34 perossido di idrogeno 30% corrisponde a volumi 111 perossido di idrogeno 40% corrisponde a volumi 154

Concentrazione percentuale massa su volume La concentrazione percentuale massa su volume (%m/v) è il numero di grammi di soluto sciolti in 100 ml di soluzione

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% m/v =

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