Cantidad Movimiento - Ejercicios explicados paso a paso de mecanica de fluidos PDF

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Ecuación de cantidad de movimiento a Ejercicios resueltos de Mecánica de Fluidos

1.

Se considera una compuerta de anchura w = 3 m y apertura h0 = 0,4 m. La profundidad del agua aguas arriba de la compuerta es h1 = 10 m, tal como se ilustra en la figura 1. Aguas abajo de la compuerta el agua tiene una profundidad h2 = 0,244 m y la velocidad de descarga es V2 = 14 m/s. Comparar la fuerza resultante horizontal del agua sobre la compuerta cuando esta última está (a) abierta, (b) cerrada. Se supondrá para ello que las líneas de corriente son paralelas en las secciones 1 y 2, lo que implica:

Que el flujo es uniforme en las dos secciones Que las distribuciones de presión son hidrostáticas en las dos secciones.

Figura 1: Esquema de la compuerta Solución La fuerza resultante del fluido sobre la compuerta no aparece tal cuál en la ecuación de cantidad de movimiento, sea cuál sea el volumen de control elegido. En cambio, sí que 1

podemos hacer aparecer en la ecuación la fuerza F˛R que la compuerta ejerce sobre el fluido en el volumen de control en reacción a la que el fluido ejerce sobre la compuerta. Según la tercera ley de Newton (principio de acción-reacción), esta fuerza de reacción es de igual magnitud y dirección opuesta a la fuerza resultante que el fluido ejerce sobre la compuerta. Para que aparezca esta fuerza, es necesario elegir un volumen de control tal que la superficie de control tenga alguna intersección con la compuerta. Una posibilidad es el volumen representado en la figura 1. Nótese que si el peso de la compuerta no es despreciable, sería preferible excluirla en mayor parte del volumen de control, conservando una mínima parte para que aparezca la fuerza de reacción. La ecuación de conservación de la cantidad de movimiento planteada sobre V0 se expresa: ˆ ˛ + F˛visc + F˛R fl˛v dV + fl˛v (˛v · ˛n) dS = F˛m + Fpres ˆt V0 S0 Hacemos las siguientes hipótesis: ⁄

⁄

1. Movimiento estacionario 2. Fricción del agua sobre el fondo del canal despreciable 3. Flujo uniforme en las secciones 1 y 2 4. Distribución de presión hidrostática en 1 y 2 Al considerar el flujo como estacionario, el término temporal de la ecuación se cancela. Las fuerzas viscosas, al ser generadas por los esfuerzos tangenciales en el seno de un flujo, aparecen únicamente cuando el fluido circula tangencialmente a la superficies de control, por lo que en el volumen de control seleccionado la fuerza de viscosidad resultante aparece únicamente sobre el fondo. Como la superficie de contacto entre el agua y la pared del fondo es relativamente reducida, se puede despreciar su efecto tal como indica la hipotesis 2. En el resto de superficies de control el movimiento del fluido es perpendicular (superficies de control 1 y 2) o es aire en reposo por lo que no hay esfuerzos tangenciales y la resultante ˛ se hace nula. Fvisc  * 0 ˆ ⁄  ⁄ * 0˛ ˛ +  v dV + F˛visc fl˛v (˛v · ˛n) dS = F˛m + Fpres + FR  fl˛ ˆt V0 S0  Como la fuerza resultante sobre la pared actuará solo según el eje horizontal, resolveremos la ecuación únicamente en la dirección Ox, por lo que la fuerza másica debido a la gravedad, al actuar según Oz, se hace nula. Por lo tanto, la resultante de las fuerzas de presión en la dirección (Ox) es:

F˛pres = −

⁄

P dS˛n =

S0

⁄

S1

⁄

−P1 · ˛n1 dS1 +

S2

−P2 · ˛n2 dS2 = w

⁄ h1 0

flgzdz ˛i−w

⁄ h2 0

1 flgzdz ˛i = flw(h21 −h22 )˛i 2

En cuanto al término convectivo en la dirección x, se puede expresar como: ⁄

fl˛v (˛v · ˛n) dS = flV1 ( V˛1 · ˛n1 )S1 + flV2 (V˛2 · ˛n2 )S2 = flw(V2 2h2 − V12h1 )˛i

S0

2

Reemplazando la resultante de fuerzas de presión por su expresión en la ecuación de cantidad de movimiento, obtenemos: flgw 2 F˛Rx = flw(V 22 h2 − V12h1 ) − (h 1 − h22 ) ˛i 2 La velocidad V1 aguas arriba de la compuerta es desconocida, por lo que se aplica la ecuación de continuidad entre las secciones 1 y 2 para llegar a su expresión en función de V2 : 6

5

V1 = V2

h2 h1

Finalmente: F˛Rx =

C

flwV22h2

D B 2 h2 flgw 1 2 2 1− ) − h1 − h2 ˛i = −1, 33 × 106 ˛iN h1 2

A

Esta sería la fuerza que la compuerta ejerce sobre el fluido. Por lo tanto la fuerza resultante del agua sobre la compuerta sería: Fagua−→comp = −FRx

A B 2 flgw 1 2 h2 2 2 = h1 − h2 − flwV2 h2 1 − ) = 1, 33MN h1 2

Su signo positivo indica que la fuerza que el agua ejerce sobre la compuerta apunta en la dirección x positiva. En la expresión de Fagua−→comp , el primer término representa la fuerza resultante de presión, es decir, la fuerza hidrostática neta sobre la compuerta. Vemos que cuando 1 la compuerta 2 2 está abierta, esta fuerza está corregida por el término convectivo flwV 2 h2 1 − hh21 ) , dando una fuerza neta menor que la resultante de presión. ¿Por qué aparece esta corrección de la fuerza de presión?. La distribución de presiones aguas arriba y aguas abajo de la compuerta (lejos de la sección 0) es hidrostática. En cambio, cuando nos acercamos a la sección 0, que corresponde con la apertura de la compuerta, las variaciones de velocidades se hacen considerables, y por lo tanto las distribuciones de presiones se desviará de la hidrostática. Calcular el campo de presiones resultante sería una tarea compleja pero, afortunadamente, nuestra elección del volumen de control nos permite evitarlo. Cuando la compuerta está cerrada (figura 1), no hay movimiento de fluido, por lo que el término convectivo desaperece. En ese caso, estamos ante un problema de fluidostática, en él que la resultante de la fuerza del agua sobre la compuerta se debe únicamente a la presión hidrostática: flgw 2 h = 1, 47MN 2 1 Logicamente la fuerza resultante es mayor cuando la compuerta está cerrada. Fagua−→comp =

3

Figura 2: Compuerta cerrada

2.

Se considera un flujo estacionario e incompresible de aire en una expansión brusca, la cuál descarga a la atmósfera un caudal de aire Q = 10 L/s. La presión del aire en el conducto de sección A1 = 6 cm2 es P1 = 2 bar , y la sección de la expansión es A2 = 100 cm2 . Supondremos que el movimiento del aire es 1D, es decir, que el flujo es casi uniforme en las secciones de entrada y salida a la expansión. En la entrada a la expansión brusca, el flujo es casi paralelo, por lo que en la sección S-S representada en la figura 3, adyacente a las zonas de recirculación del aire, la presión es practicamente igual a la presión de entrada P1 . Se pide calcular:

a) La fuerza resultante ejercida por el aire descargado sobre el conducto b) La fuerza viscosa resultante en la expansión

Figura 3: Esquema de la expansión Solución

4

a) Como en el ejercicio anterior, la fuerza resultante del aire sobre el conducto no se puede calcular directamente, pero podemos escoger el volumen de control de tal forma que aparezca en la ecuación de cantidad de movimiento la fuerza de reacción del conducto sobre el aire en el volumen de control. Con el volumen de control V C 1 representado en la figura 4, esta fuerza de reacción va a aparecer ya que hay intersecciones entre la superficie de control y las paredes del conducto.

Figura 4: Volumen de control 1 La ecuación de conservación de la cantidad de movimiento planteada sobre V C 1 se expresa: ⁄ ˆ ⁄ ˛ + Fvisc ˛ + F˛R fl˛v (˛v · ˛n) dS = F˛m + Fpres fl˛v dV + ˆt V C1 SC1

Hacemos las hipotesis siguientes: a) Movimiento estacionario b) Flujo incompresible c) Flujo uniforme en las secciones 1 y 2 d) Presión igual a P1 en la sección de entrada a la expansión Las simplificaciones que resultan de estas hipótesis son las siguientes: 0 : 0⁄ ˆ ⁄ ⇠⇠⇠⇠⇠ * 0˛  ✓ ˛ ˛ ˛ + Fvisc Fpres F + + FR ⇠ fl˛ v dV + fl˛ v (˛ v · ˛ n ) dS = m ⇠  ⇠ ˆt V C1 SC1 La resultante de la fuerza de gravedad es despreciables frente a las demás fuerzas, ya que el fluido es un gas. La resultante de fuerza viscosa también es despreciable en V C 1 ya que: En la parte de la superficie de control que se encuentra en el ambiente, el aire se encuentra en reposo, por lo que no hay esfuerzos viscosos.

5

Tanto en la sección de entrada 1 como en la de salida, el aire se mueve perpendicularmente a la SC1 con lo cuál tampoco hay esfuerzos viscosos ya que estos se generan esencialmente cuando el fluido circula tangencialmente a la superficie de control. Proyectando la ecuación según el eje horizontal (Ox), quedamos con: flV1 (V˛1 · ˛n1 )A1 + flV2 (V˛2 · ˛n2 )A2 = Fpres,x + FR,cond−→aire La resultante de fuerza de presión en la dirección x se reduce a: Fpres,x = (P1 − Pa)A1 = P1man A1 Ya que en el resto de las secciones de entrada y salida, la presión atmosférica actúa en dirección opuesta a ambos lados. Reemplazando Fpres,x por su expresión, llegamos a: FR,cond−→aire = −P1man A1 + flV22 A2 − flV 12 A1 Por conservación de la masa, V2 se puede expresar en función de V1 de la siguiente forma: V2 = V1

A1 A2

La velocidad V1 se halla a partir del caudal volumétrico: V1 =

Q = 16, 7m/s A1

La fuerza resultante del aire sobre el conducto es, por lo tanto: Faire−→cond = −FR,cond−→aire = P1man A1 +

flV12 A1

3

1−

A1 A2

4

Esta fuerza es siempre positiva, ya que A1 /A2 < 1, es decir, la fuerza resultante del aire sobre el conducto actúa en la dirección del movimiento. Podemos ver por otro lado que esta fuerza es igual a la fuerza resultante de presión, corregida por la convección de cantidad de movimiento a través el volumen de control. El resultado numérico es: 3

Faire−→cond = 105 ∗ 6 × 10−4 + 1, 2 × 16, 72 × 6 × 10−4 1 −

6

6 = 60N 100 4

b) Para calcular la fuerza resultante de viscosidad, tenemos que elegir ahora un volumen de control tal que el fluido circule tangencialmente a la superficie que lo encierra. Una posibilidad es el volumen V C 2 representado en la figura 5: Las secciones de entrada y salida permanecen iguales, por lo tanto el término convectivo en la ecuación va a ser igual que con V C 1 , y el resto de la superficie de control coincide con la pared interna del conducto. De esta manera, la fuerza de reacción del conducto sobre el aire no aparece, ya que no hay intersección entre la superficie de control y el conducto.

Figura 5: Volumen de control 2 La ecuación de cantidad de movimiento a integrar es:  * 0 0 ˆ ⁄  ⁄  ✓ ˛ ˛ ˛ ˛ fl˛v (˛v · ˛n) dS = Fm + Fpres + Fvisc + F v dV +  fl˛ R ˆt V0 S0 

Esta vez, la resultante de fuerzas de presión es: Fpres,x = (P1 − Pa)A2 = P1man A2 Ya que la presión en la sección S-S a la entrada de la expansión es uniforme e igual a P1 . Proyectando la ecuación en la dirección x, obtenemos: flV12 A1

3

A1 − 1 = P1man A2 − Fvisc A2 4

Suponiendo que la resultante de viscosidad actúa en la dirección opuesta al movimiento del fluido, ya que resulta del rozamiento del aire sobre las paredes. Al final, obtenemos: Fvisc = P1man A2 +

flV12 A1

3

1−

A1 A2

4

La expresión es siempre positiva, confirmando que la fuerzas de viscosidad se oponen al movimiento del fluido. El resultado numérico es:

7

3

Fvisc = 105 × 100 × 10−4 + 1, 2 × 16, 72 × 6 × 10−4 1 −

6 = 1000N 100 4

Esta resultante es muy elevada y se debe a la hipótesis de flujo casi paralelo a la entrada en la expansión, la cuál supone la formación de recirculaciones muy importantes donde la fricción es muy elevada.

8...