Capítulo 2 Función Generadora de Momento inferencia estadística PDF

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Capítulo 2 Función Generadora de Momento inferencia estadística.Demostración distribución.Contenidos de el curso inferencia estadística. Disfrutenlo, me faltan palabras para llegar a verde....

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318 Capítulo 6 Funciones de variables aleatorias

6.34

Una función de densidad que a veces utilizan ingenieros para modelar duraciones de vida útil de componentes electrónicos es la densidad de Rayleigh, dada por 2y −y 2/u e , u

f ( y) = 0,

y > 0, en cualquier otro punto.

. a Si Y tiene la densidad de Rayleigh, encuentre la función de densidad de probabilidad para U =2Y b Utilice el resultado del inciso a para hallar E(Y) y V(Y). 6.35

Sean Y1 y Y2 variables aleatorias independientes, ambas uniformemente distribuidas en (0, 1). Encuentre la función de densidad de probabilidad para U = Y1Y2.

6.36

Consulte el Ejercicio 6.34. Sean Y1 y Y2 variables aleatorias independientes con distribución de Rayleigh. Encuentre la función de densidad de probabilidad para U = Y1 2+ Y 22. [Sugerencia: recuerde el Ejemplo 6.8.]

6.5 Método de las funciones generadoras de momento El método de las funciones generadoras de momento para determinar la distribución de probabilidad de una función de variables aleatorias Y1, Y2, . . . , Yn está basada en el siguiente teorema de unicidad.

TEOR EM A 6.1

Denotemos con mX (t) y mY (t) las funciones generadoras de momento de variables aleatorias X y Y, respectivamente. Si existen funciones generadoras de momento y mX (t) = mY (t) para todos los valores de t, entonces X y Y tienen la misma distribución de probabilidad. (La demostración del Teorema 6.1 está fuera del alcance de este libro.) Si U es una función de n variables aleatorias Y1, Y2, . . . , Yn, el primer paso al usar el Teorema 6.1 es hallar la función generadora de momento de U: m U (t) = E(etU ).

Una vez determinada la función generadora de momento para U, se compara con las funciones generadoras de momento para variables aleatorias con distribuciones bien conocidas. Si mU(t) es idéntica a una de éstas, por ejemplo la función generadora de momento para una variable aleatoria V, entonces, por el Teorema 6.1, U y V poseen distribuciones de probabilidad idénticas. Las funciones de densidad, medias, varianzas y funciones generadoras de momento para algunas variables aleatorias que se encuentran con frecuencia se presentan en el Apéndice 2. Ilustraremos el procedimiento con unos pocos ejemplos.

EJEM P LO 6.10

Sea Y una variable aleatoria normalmente distribuida con media m y varianza s2. Demuestre que Y −μ Z = s tiene una distribución normal estándar, una distribución normal con media 0 y varianza 1.

6.5 Método de las funciones generadoras de momento 319

Solución

Hemos visto en el Ejemplo 4.16 que Y − m tiene función generadora de momento et tanto, m Z (t) = E (et Z ) = E [e(t/s )(Y −m) ] = m (Y −m)

t s

2

2

2

a 2/ 2

. Por

2

= e(t/s ) (s / 2) = et / 2 .

Al comparar mZ(t) con la función generadora de momento de una variable aleatoria normal, vemos que Z debe estar normalmente distribuida con E(Z) = 0 y V(Z) = 1. Q

EJEM P LO 6.11

Solución

Sea Z una variable aleatoria normalmente distribuida con media 0 y varianza 1. Use el método de las funciones generadoras de momento para determinar la distribución de probabilidad de Z2. La función generadora de momentos para Z2 es q

2

m Z 2 (t) = E(et Z ) =

−q q

=

1 √2p

−q

2

q

2

et z f (z) dz =

et z −q

2

e−z / 2 √2p

dz

2

e−(z / 2)(1−2t) dz.

Esta integral se puede evaluar ya sea consultando una tabla de integrales o tomando en cuenta que, si 1 − 2t > 0 (de manera equivalente, t < 1/ 2), el integrando exp −

z2 (1 − 2t ) 2 √2p

exp − =

z2 2

(1 − 2t) −1

√2p es proporcional a la función de densidad de una variable aleatoria normalmente distribuida con media 0 y varianza (1 − 2t)–1. Para hacer del integrando una función de densidad normal (para que la integral definida sea igual a 1), multiplicamos el numerador y denominador por la desviación estándar, (1 − 2t)–1/2. Entonces m Z 2 (t) =

1 (1 − 2t) 1/2

1

q −q

√2p (1

− 2t) −1/ 2

exp −

z2 2

(1 − 2t) −1 dz.

Como la integral es igual a 1, si t < 1/ 2, m Z 2 (t) =

1 = (1 − 2t) −1/2 . (1 − 2t) 1/2

Una comparación de mZ2(t) con las funciones generadoras de momento del Apéndice 2 muestra que mZ2(t) es idéntica a la función generadora de momento para la variable aleatoria con distribución gamma y a= 1/2 y b = 2. Así, usando la Definición 4.10, Z2 tiene una distribución x2 con n = 1 grado de libertad. Se deduce que la función de densidad para U = Z2 está dada por

fU (u) =

u −1/2 e−u/ 2 , 1/ 2)21/2

u ≥ 0,

0,

en cualquier otro punto.

Q

320 Capítulo 6 Funciones de variables aleatorias El método de las funciones generadoras de momento es con frecuencia muy útil para hallar las distribuciones de sumas de variables aleatorias independientes.

TEOREMA 6.2

Sean Y1, Y2, . . . , Yn variables aleatorias independientes con funciones generadoras de momento m Y1 (t), m Y2 (t), . . . , m Yn (t), respectivamente. Si U = Y1 + Y2 + ⋅ ⋅ ⋅ + Yn, entonces m U (t) = m Y1 (t ) × m Y2 ( t ) ×. . . × m Yn (t).

Demostración

Sabemos que, como las variables aleatorias Y1, Y2, . . . , Yn son independientes (vea el Teorema 5.9), m U (t) = E et (Y1 +···+Yn ) = E etY1 etY2 . . . etYn = E etY1 × E e tY2 × . . . × E etYn .

Entonces, por la definición de funciones generadoras de momentos, m U ( t) = m Y1 ( t) × m Y2 (t) ×. . . × m Yn (t).

EJEM P LO 6.12

La cantidad de clientes que llegan a una caja para pagar en un intervalo determinado de tiempo posee aproximadamente una distribución de probabilidad de Poisson (vea la Sección 3.8). Si Y1 denota el tiempo que transcurre hasta la primera llegada, Y2 denota el tiempo entre la primera y la segunda llegadas, . . . , y Yn denota el tiempo entre la llegada del primer (n − 1) cliente y la n-ésima llegada, entonces se puede demostrar que Y1, Y2, . . . , Yn son variables aleatorias independientes, con la función de densidad para Yi dada por 1 −yi/u e , u 0,

fYi ( y i ) =

y i > 0, en cualquier otro punto.

[Como las variables Yi, para i = 1, 2, . . . , n, están distribuidas exponencialmente, se deduce que E(Yi) = u; esto es, u es el tiempo promedio que transcurre entre llegadas.] Encuentre la función de densidad de probabilidad para el tiempo de espera desde que se abre la caja de salida hasta que llega el n-ésimo cliente. (Si Y1, Y2,… denotan tiempos sucesivos entre llegadas, buscamos la función de densidad de U = Y1 + Y2 + ⋅ ⋅ ⋅ + Yn.) Solución

Para aplicar el Teorema 6.2 debemos conocer primero m Yi (t), i = 1, 2, . . . , n. Como cada una de las Yi está distribuida exponencialmente con media u, m Yi (t) = (1 − ut) −1 y, por el Teorema 6.2, m U (t ) = m Y (t) × m Y ( t ) × . . . × m Y ( t ) 1

1

n

= (1 − ut) −1 × (1 − ut) −1 × . . . × (1 − ut) −1 = (1 − ut) −n .

Ésta es la función generadora de momento de una variable aleatoria con distribución gamma y a= n y b = u. El Teorema 6.1 implica que U en realidad tiene esta distribución gamma y por tanto que 1 (u n−1 e−u/u ), u > 0, n)u n f U (u) = 0, en cualquier otro punto. Q

6.5 Método de las funciones generadoras de momento 321

El método de las funciones generadoras de momento se puede usar para establecer algunos resultados útiles e interesantes acerca de las distribuciones de funciones de variables aleatorias normalmente distribuidas. Como estos resultados se usarán en los Capítulos 7~9, los presentamos en la forma de teoremas.

TEOR EM A 6.3

Sean Y1, Y2, . . . , Yn variables aleatorias independientes normalmente distribuidas con E(Yi) = mi y V (Yi ) = si2, para i = 1, 2, . . . , n, y sean a1, a2, . . . , an constantes. Si n

U=

ai Yi = a1 Y1 + a 2 Y2 + ⋅ ⋅ ⋅ + a n Yn , i =1

entonces U es una variable aleatoria normalmente distribuida con n

E(U ) =

ai mi = a1 m1 + a2 m2 + ⋅ ⋅ ⋅ + an mn i =1

y

n

V (U ) = i =1

Demostración

ai2 si 2 = a 21 s12 + a22s22 + ⋅ ⋅ ⋅ + an2 sn2 .

Como Yi está normalmente distribuida con media mi y varianza si2, Yi tiene función generadora de momento dada por m Yi (t) = exp mi t +

si2 t 2 2

.

[Recuerde que exp(⋅) es una forma más cómoda de escribir e(⋅) cuando el término en el exponente es largo o complejo.] Por tanto, aiYi tiene función generadora de momento dada por a 2s2 t 2 m ai Yi (t) = E(etai Yi ) = m Yi (ai t) = exp mi ai t + i i . 2 Debido a que las variables aleatorias Yi son independientes, las variables aleatorias aiYi son independientes, para i = 1, 2, . . . , n, y el Teorema 6.2 implica que m U (t ) = m a1 Y1 ( t ) × m a2 Y2 (t ) × ⋅ ⋅ ⋅ × m an Yn ( t ) = exp m1 a1 t +

a12s12 t 2 2

n

ai mi +

= exp t i =1

t2 2

× ⋅ ⋅ ⋅ × exp mn an t + n i =1

ai2 si2 .

Entonces, U tiene una distribución normal con media

TEOR EM A 6.4

an2sn2 t 2 2

n i =1

ai mi y varianza

Sean Y1, Y2, . . . , Yn definidas como en el Teorema 6.3 y definimos Zi por Zi =

Entonces

n i =1

Yi − mi , si

i = 1, 2, . . . , n.

Zi2 tiene una distribución x2 con n grados de libertad.

n 2 2 i =1 ai si .

322 Capítulo 6 Funciones de variables aleatorias

Demostración

Como Yi está normalmente distribuida con media mi y varianza si 2, el resultado del Ejemplo 6.10 implica que Zi está normalmente distribuida con media 0 y varianza 1. Del Ejemplo 6.11, entonces tenemos que Zi 2 es una variable aleatoria con distribución x2 con 1 grado de libertad. En consecuencia, m Z i2 (t ) = (1 − 2t ) −1/2 ,

y del Teorema 6.2, con V =

n i =1

Z i2 ,

m V (t) = m Z12(t) × m Z 22 (t) × ⋅ ⋅ ⋅ × m Z 2n (t) = (1 − 2t) −1/ 2 × (1 − 2t) −1/2 × ⋅ ⋅ ⋅ × (1 − 2t) −1/ 2 = (1 − 2t) −n/ 2 .

Como las funciones generadoras de momento son únicas, V tiene una distribución x2 con n grados de libertad. El teorema 6.4 proporciona alguna aclaración de los grados de libertad asociados con una distribución x2. Si n es independiente, las variables aleatorias normales estándar se elevan al cuadrado y se suman y el resultado tiene una distribución x2 con n grados de libertad.

Resumen del método de las funciones generadoras de momento Sea U una función de las variables aleatorias Y1, Y2, . . . , Yn. 1. Encuentre la función generadora de momento para U, mU(t). 2. Compare mU(t) con otras funciones generadoras de momento bien conocidas. Si mU(t) = mV(t) para todos los valores de t, el Teorema 6.1 implica que U y V tienen distribuciones idénticas.

Ejercicios 6.37

Sean Y1, Y2, . . . , Yn variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas tales que para 0 < p < 1, P(Yi = 1) = p y P(Yi = 0) = q = 1 – p. (Tales variables aleatorias reciben el nombre de variables aleatorias de Bernoulli.) a Encuentre la función generadora de momento para la variable aleatoria Y1 de Bernoulli. b Encuentre la función generadora de momento para W = Y1 + Y2 + ⋅ ⋅ ⋅ + Yn. c ¿Cuál es la distribución de W?

6.38

Sean Y1 y Y2 variables aleatorias independientes con funciones generadoras de momento m Y1 (t) y m Y2 (t), respectivamente. Si a1 y a2 son constantes, y U = a1Y1 + a2Y2 demuestre que la función generadora de momento para U es mU (t) = m Y1 ( a 1 t) × m Y2 ( a 2 t).

6.39

En los Ejercicios 6.11 y 6.25 consideramos dos componentes electrónicos que operan independientemente, cada uno con una vida útil gobernada por la distribución exponencial con media 1. Use el método de las funciones generadoras de momento para obtener la función de densidad para el promedio de vida útil de los dos componentes.

Ejercicios 323

6.40

Suponga que Y1 y Y2 son variables aleatorias normales estándar e independientes. Encuentre la función de densidad de U = Y12 + Y22 .

6.41

Sean Y1, Y2, . . . , Yn variables aleatorias normales e independientes, cada una con media m y varianza s2. Denote con a1, a2, . . . , an constantes conocidas. Encuentre la función de densidad de la combinación lineal U = in=1 ai Yi .

6.42

Un tipo de elevador tiene una capacidad máxima de peso Y1, que está normalmente distribuida con media de 5000 libras y desviación estándar de 300 libras. Para un cierto edificio equipado con este tipo de elevador, la carga del elevador, Y2, es una variable aleatoria normalmente distribuida con media de 4000 libras y desviación estándar de 400 libras. Para cualquier tiempo determinado en el que el elevador está en uso, calcule la probabilidad de que sea sobrecargado, suponiendo que Y1 y Y2 son independientes.

6.43

Consulte el Ejercicio 6.41. Sean Y1, Y2, . . . , Yn variables aleatorias normales e independientes, cada una con media m y varianza s2. n

1 Yi . a Encuentre la función de densidad de Y = n i =1

b Si s2 = 16 y n = 25, ¿cuál es la probabilidad de que la media muestral, Y , tome un valor que esté a no más de una unidad de la media poblacional, m? Esto es, encuentre P (  Y − m ≤ 1). c Si s2 = 16, encuentre P (  Y − m ≤ 1) si n = 36, n = 64 y n = 81. Interprete los resultados de sus cálculos. *6.44

El peso (en libras) de sandías de “tamaño mediano” está normalmente distribuido con media de 15 y varianza de 4. Un recipiente de empaque para varias sandías tiene una capacidad nominal de 140 libras. ¿Cuál es el número máximo de sandías que deben ponerse en un solo recipiente de empaque si el límite de peso nominal debe excederse sólo el 5% del tiempo? Justifique su respuesta.

6.45

El gerente de una obra de construcción necesita hacer una cotización de precios con todo cuidado antes de presentar un presupuesto. También necesita tomar en cuenta la incertidumbre (variabilidad) en las cantidades de productos que podría necesitar. Para simplificar al máximo la situación real, suponga que un gerente de proyectos representa la cantidad de arena, en yardas, necesaria para un proyecto de construcción como si fuera una variable aleatoria Y1, que está normalmente distribuida con media de 10 yardas y desviación estándar de .5 yarda. La cantidad de mezcla de cemento necesaria, en cientos de libras, es una variable aleatoria Y2 que está normalmente distribuida con media de 4 y desviación estándar .2. La arena cuesta $7 por yarda, y la mezcla de cemento cuesta $3 por cien libras. Sumando $100 por otros costos, el gerente calcula que su costo total es U = 100 + 7Y1 + 3Y2. Si Y1 y Y2 son independientes, ¿qué presupuesto debe presentar el gerente para asegurar que los costos reales rebasarán la cantidad cotizada con una probabilidad de sólo .01? ¿En este caso es razonable la suposición de independencia?

6.46

Suponga que Y tiene una distribución gamma con a = n/2 para algún entero positivo n y b igual a algún valor especificado. Use el método de las funciones generadoras de momento para demostrar que W = 2Y/b tiene una distribución x2 con n grados de libertad.

6.47

Una variable aleatoria Y tiene una distribución gamma con a = 3.5 y b = 4.2. Use el resultado del Ejercicio 6.46 y los puntos porcentuales para las distribuciones x2 dadas en la Tabla 6, Apéndice 3, para hallar P(Y > 33.627).

6.48

En un programa de prueba de misiles, una variable aleatoria de interés es la distancia entre el punto de impacto del misil y el centro del blanco al que fue dirigido el misil. Si consideramos el centro del blanco como el origen de un sistema de coordenadas, podemos denotar con Y1 la distancia norte-sur entre el punto de impacto y el centro del blanco y denotar con Y2 la correspondiente distancia este-oeste.

324 Capítulo 6 Funciones de variables aleatorias (Suponga que norte y este definen direcciones positivas.) La distancia entre el punto de impacto y el centro del blanco es entonces U = Y1 2+ Y22 . Si Y1 y Y2 son variables aleatorias normales estándar e independientes, encuentre la función de densidad de probabilidad para U. 6.49

Sea Y1 una variable aleatoria binomial con n1 intentos y probabilidad de éxito dada por p. Sea Y2 otra variable aleatoria binomial con n2 intentos y probabilidad de éxito también dada por p. Si Y1 y Y2 son independientes, encuentre la función de probabilidad de Y1 + Y2.

6.50

Sea Y una variable aleatoria binomial con n intentos y probabilidad de éxito dada por p. Demuestre que n – Y es una variable aleatoria binomial con n intentos y probabilidad de éxito dada por 1 – p.

6.51

Sea Y1 una variable aleatoria binomial con n1 intentos y p1 = .2 y sea Y2 una variable aleatoria binomial independiente con n2 intentos y p2 = .8. Encuentre la función de probabilidad de Y1 + n2 – Y2.

6.52

Sean Y1 y Y2 variables aleatorias de Poisson independientes con medias l1 y l2, respectivamente. Encuentre a la función de probabilidad de Y1 + Y2, b la función de probabilidad condicional de Y1, dado que Y1 + Y2 = m.

6.53

Sean Y1, Y2, . . . , Yn variables aleatorias binomiales independientes con ni intentos y probabilidad de éxito dada por pi, = 1, 2, . . . , n. a Si todas las ni son iguales y todas las p son iguales, encuentre la distribución de i =1n Yi . b Si todas las ni son diferentes y todas las p son iguales, encuentre la distribución de i =1n Yi . c Si todas las ni son diferentes y todas las p son iguales, encuentre la distribución condicional Y1 dado n que i =1 Yi = m. d Si todas las ni son diferentes y todas las p son iguales, encuentre la distribución condicional Y1 + Y2 n dado que i =1 Yi = m. e Si todas las p son diferentes, ¿el método de las funciones generadoras de momento funciona bien para n encontrar la distribución de i =1 Yi? ¿Por qué?

6.54

Sean Y1, Y2, . . . , Yn variables aleatorias independientes de Poisson con medias l1, l2, . . . , ln, respectivamente. Encuentre n a la función de probabilidad de i =1 Yi . n b la función de probabilidad condicional de Y1, dado que i =1 Yi = m . n c la función de probabilidad condicional de Y1 + Y2, dado que i =1 Yi = m.

6.55

Llegan clientes a la caja de una tienda departamental de acuerdo con una distribución de Poisson, con media de 7 por hora. En un periodo determinado de dos horas, ¿cuál es la probabilidad de que 20 o más clientes lleguen a la caja?

6.56

El tiempo necesario para afinar un automóvil está exponencialmente distribuido con una media de .5 hora. Si dos autos están en espera de una afinación y los tiempos de servicio son independientes, ¿cuál es la probabilidad de que el tiempo total para afinar los dos automóviles sea mayor que 1.5 horas? [Sugerencia: recuerde el resultado del Ejemplo 6.12.]

6.57

Sean Y1, Y2, . . . , Yn variables aleatorias independientes tales que cada Yi tiene una distribución gamma con parámetros ai y b. Esto es, las distribuciones de las Y podrían tener diferentes a, pero todas tienen el mismo valor para b. Demuestre que U = Y1 + Y2 + ⋅ ⋅ ⋅ + Yn tiene una distribución gamma con parámetros a1 + a2 + ⋅ ⋅ ⋅ + an y b.

6.58

Vimos en el Ejercicio 5.159 que la variable aleatoria binomial...