Capítulo 20. Representación Numérica PDF

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Capítulo 20. Representación Numérica para realizar la Pac 3...

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Representación numérica

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J. M. Serra Grabulosa

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Resumen conceptual

✓ ¿Cuántas horas faltan para las 17:00? ¿Qué número es mayor, el 389 o el 401? Sea fácil o difícil responder ambas preguntas, el concepto de magnitud está en la base de los procesos que hacen falta para responder correctamente a ellas. El concepto de magnitud debe entenderse como un concepto que permite cuantificar la realidad, facilitando una mejor adaptación al entorno, ya que facilita escoger una u otra opción en función del número de elementos o calculando el tiempo entre dos hechos. ✓ Como sucede con otras funciones cognitivas, el procesamiento numérico depende del correcto funcionamiento de regiones cerebrales especializadas, que son comunes a diversas especies y que en el ser humano se desarrollan e interactúan hasta alcanzar niveles muy superiores a los de otras especies. ✓ A lo largo de los últimos años se han ido identifi cando la mayor parte de estas regiones cerebrales, en especial gracias a la incorporación por parte de la neurociencia de técnicas no invasivas de visualización del cerebro, por ejemplo, la imagen por resonancia magnética cerebral, en sus modalidades estructural y funcional. ✓ A lo largo de este capítulo se estudiarán cuáles son las bases cerebrales del procesamiento numérico y se describirá un trastorno del aprendizaje en el que se ve afectada la correcta adquisición de las habilidades aritméticas, la discalculia del desarrollo.

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Objetivos de aprendizaje

• Conocer qué capacidad numérica tienen otras especies animales. • Conocer cómo se desarrolla el procesamiento numérico en el ser humano. • Saber identifi car las bases cerebrales de la representación numérica. • Describir las principales alteraciones relacionadas con las lesiones de las regiones cerebrales que sustentan el procesamiento numérico.

■ DESARROLLO DE LAS CAPACIDADES NUMÉRICAS

En la vida de cualquier persona, los números la bombardean constantemente. Los utiliza para tomar el autobús adecuado, para saber el día y la hora, para ir de compras, para telefonear a sus amigos, para recordar las fechas de aniversario, etc. Aquello que hace que los números sean tan especiales es su gran flexibilidad y versatilidad: pueden utilizarse para cualquier cosa imaginable y pueden encontrarse en cualquier formato: palabras (uno, dos, tres, mil), números arábigos (1, 2, 3, 1.000), números romanos (I, II, II, M), patrones en un dado, en las cartas o en el dominó, así como también en expresiones aritméticas (3 ¥ 5), en procedimientos aritméticos (restar llevando) o en leyes aritméticas (ax2 + bx + c = 0). Es evidente, pues, que los números forman parte del día a día. ¿Dónde se

sona? ¿Hay algún mecanismo innato que ayude a comprender el significado de los números? Todas estas preguntas son de difícil respuesta, aunque las investigaciones realizadas en los últimos años, en gran medida gracias al desarrollo de las técnicas de neuroimagen, han permitido responder parcialmente algunos de estos interrogantes. Al igual que sucede con otras capacidades intelectuales, el procesamiento numérico y el cálculo se desarrollan mediante la escolarización, de manera que progresivamente se van asumiendo una serie de competencias. Ahora bien, ¿cuál es el punto de partida de este desarrollo? Los estudios científicos recientes parecen indicar que el cerebro del ser humano ya está preparado desde el nacimiento para distinguir grupos de objetos según el número de elementos que los forman. Es decir, el ser humano parece disponer de un mecanismo básico de procesamiento numérico, sobre el que posterior-

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culo. Este mecanismo innato no es exclusivo del ser humano, sino que también ha sido descrito en otras especies animales, y neuroanatómicamente depende del surco intraparietal. Las alteraciones de esta región cerebral ocasionan déficit en las capacidades de procesamiento numérico y cálculo, como se ha observado en la discalculia. A lo largo de este primer punto se comentarán las características del desarrollo de los aspectos básicos de las capacidades numéricas y del cálculo, sobre las que se trabajarán posteriormente las competencias propias del currículo escolar.

Sentido numérico La cuantificación de los elementos que forman parte del entorno es una capacidad básica no sólo del ser humano, sino también de otras especies animales, que contribuye a la adaptación del organismo a su medio. Esta capacidad, denominada sentido numérico o numerosidad (numerosity), permite percibir el número de objetos que componen un grupo de forma aproximada y distinguir entre «mucho» y «poco». Los estudios realizados hasta la actualidad parecen indicar que este sentido numérico es innato, tanto en el ser humano como en otras especies animales, habiéndose detectado en anfibios, aves y varios mamíferos como los ratones, los delfines y los chimpancés (Recuadro 20-1). Aun siendo innato, el sentido numérico se consolida a lo largo del desarrollo, facilitando el desarrollo de otras habilidades numéricas y de cálculo. El buen funcionamiento del sentido numérico implica que: • Se entiende el principio de correspondencia de uno a uno. • Se entiende que los conjuntos de elementos tienen propiedades numéricas, de manera que variando estos conjuntos, estas propiedades se modifican (los conjuntos crecen, disminuyen o se equiparan). • Los conjuntos de elementos no tienen que ser visibles, sino que pueden hacer referencia a elementos auditivos, sensitivos o abstractos, como las ideas y los deseos. • Se pueden identificar pequeñas cantidades sin necesidad de emplear el código verbal (hasta cuatro elementos).

Recuadro 20-1. Capacidades numéricas de los animales Un hecho de especial interés en el estudio de las capacidades numéricas de los animales lo marcó un caballo alemán, al que se atribuían capacidades aritméticas propias del ser humano, como sumar, restar y multiplicar entre otras. Famoso por suponérsele estas habilidades, era mostrado en lugares públicos, donde se exhibía ante una numerosa audiencia. Cuando su cuidador le pedía que hiciera una operación, por ejemplo, sumar 3 + 4, él respondía dando 7 coces al suelo, lo que sorprendía tanto a cuidador como espectadores, provocando entusiastas aplausos. No obstante, después de someter al caballo a un minucioso análisis, se concluyó que las supuestas habilidades del caballo Hans eran producto de cómo éste percibía las reacciones de la audiencia. Por el interés y la polémica que suscitó, al caballo se lo bautizó como Clever Hans (Fig. 20-1) y al fenómeno se lo llamó Efecto Clever Hans.

Figura 20-1. El caballo Hans en una fotografía tomada durante una de sus representaciones.

En el ser humano, el sentido numérico es la base sobre la que se construye una capacidad numérica más compleja, dependiente de la escolarización. Estudios realizados en bebés ya han observado cierto grado de capacidad numérica. No obstante, este sentido numérico básico no explica la complejidad del conocimiento matemático en los adultos, de manera que la mayor parte de los conocimientos y habilidades se desarrollan con la escolarización y con la participación del lenguaje (v. cap. 19). Los bebés de pocos meses tienen aún poco desarrollados los sistemas sensoriales, por lo que los estudios que se realizan con ellos son muy simples. Uno de los mecanismos de aprendizaje utilizados para el estudio de la numerosidad en bebés ha sido el de la habituación. Tal como hemos visto en el capítulo 16, la habituación es un tipo de aprendizaje que se manifiesta tanto a nivel sináptico como conductual, siendo considerado un mecanismo con el que se filtran los estímulos según su relevancia y en función de las necesidades propias del organismo, de manera que permite responder adaptando mejor la conducta del organismo al entorno. Concretamente, la habituación se caracteriza por el hecho de que la presentación repetitiva del mismo estímulo ocasiona una disminución de la respuesta a éste. Aprovechando que a los bebés les gusta mirar hacia objetos y situaciones novedosas y pierden interés si se les presenta el mismo estímulo repetidamente, la habituación ha sido utilizada en el estudio de sus capacidades numéricas. El primer estudio realizado al respecto fue el de P. Starkey y R. G. Cooper en 1980, quienes observaron que los bebés de 4 meses ya eran capaces de discriminar si en los estímulos presentados había 1, 2 o 3 elementos. Poco después, S. E. Antell y D. P. Keating observaron que los bebés de pocos días ya eran capaces de discriminar entre dos cantidades relativamente pequeñas. Si se les presentaba una serie de tres puntos, aunque fuera en diferentes configuraciones, se habituaban y perdían el interés. Pero si después se presentaba un estímulo de dos puntos recuperaban el interés (se deshabituaban). Y de la misma manera que había pasado con los tres puntos, si se mostraban repetidamente estímulos de dos puntos los bebés se volvían a habituar y perdían el interés, el

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los, repitiéndose el patrón de habituación-deshabituación a lo largo de la serie de estímulos. Resultados parecidos habían sido encontrados poco antes por M. S. Strauss y L. E. Curtis en bebés y usando estímulos diferentes y variados como llaves y naranjas, lo que sugiere que es el número de elementos del conjunto lo que provoca la habituación y no los objetos en sí mismos. Más recientemente, en 2006, la incorporación de la neuroimagen al estudio de las capacidades numéricas en niños de pocos años ha permitido delimitar las regiones cerebrales que sustentan el sentido numérico y demostrar que es una capacidad que se desarrolla antes de la escolarización.

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La utilización de la imagen por resonancia magnética funcional (RMf) ha sido clave en la obtención del conocimiento relativo al sustrato neural de la numerosidad, ya que permite visualizar de forma no invasiva qué regiones cerebrales están activas a lo largo del tiempo que se realiza la resonancia.

Utilizando un diseño innovador, Cantlon et al. evaluaron qué regiones cerebrales se encargaban de procesar la magnitud, comparando los resultados observados entre niños y adultos. Para ello diseñaron una tarea en la que la magnitud estaba representada por estímulos formados por un número variable (16 o 32) de elementos (círculos, cuadrados y triángulos). Los estímulos se presentaban rápidamente (un estímulo por segundo y medio), de forma que predominaban los estímulos con 16 elementos (estímulos repetidos) respecto a los de 32 elementos (estímulos desviados por número) o respecto a los estímulos con elementos diferentes (estímulos desviados por forma, en los que variación se producía en la forma del elemento, no en el número) (en ambos casos la relación repetido: desviado era de 2:1) (Fig. 20-2). Simultáneamente, se llevaba a cabo una RMf, con el fin de evaluar las regiones cerebrales responsables de la detección del cambio en el número de puntos presentados. Los resultados pusieron de manifiesto la activación del surco intraparietal bilateral en el procesamiento de la magnitud, observándose un incre-

mento de la señal cuando se presentaban los estímulos desviados y, en cambio, una disminución ante presentaciones sucesivas del estímulo estándar. Por su parte, cuando los cambios se producían en la dimensión «forma», el surco intraparietal no modificaba su actividad. Un aspecto interesante del estudio fue observar que el patrón de activación observado en niños era el mismo que el observado en adultos durante la realización de la misma tarea, lo que refuerza la idea de que el surco intraparietal es la región cerebral responsable del sentido numérico básico, manifestándose desde los primeros estadios del desarrollo. ¿Existe un límite de elementos en el sentido numérico? La respuesta es que sí, que el sentido numérico está limitado a una pequeña cantidad de elementos. Y, ¿qué cantidad máxima de elementos se pueden percibir sin tener que contar? Todo parece indicar que este «límite superior» es de 4 elementos, tanto en niños como en adultos, y que estaría determinado por las propias características del sistema perceptivo visual. El concepto de numerosidad lleva implícito algo más que determinar a simple vista si dos conjuntos de elementos son iguales o no. También implica la habilidad para conocer que el conjunto varía si se añaden o se quitan elementos.Y parece ser que los bebés tienen también esta capacidad. Un estudio muy revelador al respecto es el realizado por K. Wynn en la década de 1990, en el que observó cómo respondían bebés de 4-5 meses de edad si se modificaba un conjunto inicial de elementos. Para ello utilizó muñecas, de manera que en cada ensayo mostraba una o dos muñecas, escondiéndolas a continuación detrás de una cortina. Cuando retiraba la cortina, registraba el tiempo que el bebé miraba las muñecas, observando que si durante el «amago» había retirado o añadido una muñeca, el bebé pasaba más tiempo mirándolas que si el número de muñecas era igual. El autor del estudio interpretó estos resultados acorde con la existencia de un sentido numérico innato, ya que la razón de mirar más tiempo cuando había habido variaciones era porque se violaba la expectancia numérica, es decir, el número de muñecas que se esperaba encontrar detrás de la cortina (v. Material web. Contenido complementario. Sentido numérico).

Figura 20-2. Representación de la secuencia de estímulos Repetido Repetido Repetido Repetido Desviado utilizada en el estudio de Cantlon et al. (2006) para localizar las regiones cerebrales relacionadas con el procesamiento de la magnitud. Como se aprecia en la imagen, los estímulos de 16 elementos se repetían a intervalos de 1,5 segundos (1.500 ms), con el fin de habituar la respuesta cerebral a la 1.200 ms magnitud. Para cada estímulo, en cambio, la distribución y el 300 ms área empleada variaban, de manera que sólo se producía habituación para la cantidad de elementos. Pasados un mínimo de 8 y un máximo de 12 estímulos repetidos, aparecía en pantalla un estímulo desviado (32 elementos), que deshabituaba la respuesta cerebral en aquellas zonas encargadas de procesar la magnitud. Los estímulos de la imagen han sido creados con un software especial desarrollado por el equipo de la Unidad 562 del Institut National de la Santé

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En resumen, hasta la actualidad, los estudios realizados apuntan a que el surco intraparietal es la región responsable del sentido numérico, ya que éste es innato, manifestándose desde los primeros meses de vida. Posiblemente este hecho tenga un significado adaptativo muy importante, ya que es una función que permite cuantificar de forma automática el entorno circundante, para actuar sobre él en función del número de estímulos presente. En el ser humano, el sentido numérico es la base sobre la que se desarrollan otras capacidades numéricas, como contar y calcular.

él, el concepto de numerosidad se desarrolla a partir de conceptos lógicos y de razonamiento, aproximadamente a los 6 años.

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La habilidad para contar implica diferentes aprendizajes, como el aprendizaje de las palabras para contar (el desarrollo del sistema numérico verbal), la coordinación entre la producción de las palabras y la identificación de los objetos que se han de contar, y la correspondencia «uno a uno», de manera que cada elemento del conjunto sea contado una sola vez.

Principios básicos de aritmética Respondiendo a la pregunta: ¿cuántos animales hay en este dibujo? El desarrollo del sistema numérico verbal se realiza en la etapa preescolar, desde los 2 a los 6 años. Durante este tiempo, se aprende a asociar las cantidades a una palabra numérica (•••/tres). Se adquieren las habilidades de contar en voz alta y se desarrollan estrategias para contar. Los estudios realizados hasta el momento indican que esta función se localiza en la región prefrontal izquierda y en la circunvolución angular izquierdo. Una alteración en el desarrollo del lenguaje puede ocasionar un retraso en la adquisición de la habilidad para contar y en el almacenaje de hechos numéricos y aritméticos, por ejemplo, las tablas de multiplicar. Al respecto, la presencia de dislexia es un factor que altera considerablemente la adquisición de las habilidades numéricas y de cálculo, siendo uno de los signos más evidentes las dificultades que se presentan en el aprendizaje de las tablas de multiplicar. Asimismo, la presencia de alteraciones atencionales y en la memoria de trabajo repercute negativamente en el proceso de contar, como se observa, por ejemplo, en el caso del trastorno por déficit de atención, con hiperactividad o sin ella.

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El concepto de cardinalidad o numerosidad se refiere a la asignación numérica cuantitativa que se aplica al número de elementos de un conjunto. Sería el equivalente a responder a la cuestión: ¿cuántos? Se aplica tanto a cantidades discretas como a medidas continuas.

Por otra parte, la correspondencia de «uno a uno» es una habilidad que se desarrolla a partir de los 2 años, durante la adquisición del sistema numérico verbal. Durante estas fases iniciales, las palabras que representan a los números son vistas como meras etiquetas, sin una asociación con el conjunto final de objetos. Más adelante, ya a los 3 años y medio, los niños son capaces de contar hasta 3, con correspondencia de «uno a uno», en voz alta o interiormente, y responder a la pregunta ¿cuántos elementos hay en total? A partir de este momento ya se utiliza el contar para conocer el total elementos de un conjunto, por lo que se aplica el principio de cardinalidad. No obstante, el desarrollo de estas capacidades podría realizarse siguiendo otros mecanismos, por lo que habrá que se-

La habilidad para contar está en la base del desarrollo de las operaciones aritméticas elementales: la suma, la resta, la multiplicación y la división. En todas estas operaciones, la magnitud de los números representados es un aspecto muy importante, ya que la manipulación de números grandes afecta a la dificultad del proceso.

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La importancia de la magnitud: la magnitud de los números interviene de forma determinante en la realización de tareas aritméticas, en especial en las de cálculo aproximado. Estudios realizados midiendo el tiempo de reacción así lo indican, como se describe a continuación: • Cuando se comparan 2 números entre sí, y a igual distancia numérica, la discriminación entre ellos empeora a medida que se incrementan sus valores numéricos. Es decir, es más difícil decidir qué valor es mayor entre 9 y 8 que entre 3 y 2 (en este último caso se tarda menos). A este efecto se lo denomina efecto del tamaño. • Igualmente, cuando se comparan dos números entre sí, el tiempo que se tarda en identificar cuál de los dos es mayor o menor depende de la diferencia entre ambos (distancia numérica): a mayor distancia entre ellos, menos tiempo. Es decir, se tarda más en decidir cuál de dos números es mayor cuando se presentan el 9 y el 8 que cuando se presentan el 9 y el 2. A este segundo efecto se lo denomina efecto de la distancia. Estos dos efectos se han explicado desde la presunción de que los números naturales se pueden representar mediante distribuciones en un continuo interno, similar a una línea numérica orientada de izquierda a derecha, que comienza en el 0 y avanza hacia la derecha.

¿Cuántos son 3 + 4? y ¿5 – 2? La realización de las sumas lleva implícito el hecho que se entienda que hay que unir dos conjuntos de elementos y contar el total de éstos. Ello se puede conseguir a través de diferentes estrategias: 1. Contar todos los elementos: siguiendo esta estrategia, para calcular 3 + 5 se contarían «uno, dos y tres» por un lado, y

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tando el número final de ambos pasos mediante los dedos. Una vez hecho esto, se cuentan todos los dedos dando por resultado «8». 2. Contando desde el primero. En este caso no...