Capitulo 3 Estado de tensión PDF

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Anotaciones de estados de tension...

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Ing. Ricardo Falú

ESTADO TENSIONAL EN UN PUNTO

CAPITULO III ESTADO TENSIONAL EN UN PUNTO 3.1. Conceptos generales La idea general de tensión se puede establecer al considerar un cuerpo deformable sometido a diversas fuerzas o cargas externas ante las cuales dicho cuerpo mantiene el equilibrio estático y además conserva lo que denominamos equilibrio elástico. La tensión media sobre una superficie, como sabemos, se obtiene de dividir la fuerza por el área en la que ésta actúa. Si la tensión media es constante sobre toda la superficie, a dicha tensión la llamamos tensión uniforme; si la misma no es uniforme, se hace necesario obtener la tensión en cada punto de la superficie considerando la fuerza que actúa sobre un elemento de área alrededor de un punto y haciendo que este nuevo elemento superficial sea cada vez menor, tendiendo a cero. En realidad y en otras palabras, la tensión en un punto define la tensión media uniformemente distribuida sobre un elemento diferencial de área. Ahora bien, por un punto pasan infinitos planos, por lo que podremos imaginar infinitas áreas pequeñas alrededor del punto y para cada una de éstas pequeñas áreas será evidente una componente del valor de tensión, de acuerdo a la orientación del plano que la contiene. Denominamos "estado de tensión o régimen de tensión en un punto” al conjunto de las infinitas componentes de la tensión en ese punto que se corresponden con los infinitos planos que pasan por el mismo. Cabe destacar que el esfuerzo en el punto siempre será un valor único, siendo mensurable según la orientación de los infinitos planos que pasan por dicho punto. La complejidad de cargas variables o sistemas complejos de tensiones que soportan los diferentes elementos estructurales hacen necesario hoy en día el análisis pormenorizado de las solicitaciones que sufre el material y su respuesta, lo que impone el estudio de los esfuerzos para cada punto de la pieza o elemento y, fundamentalmente, la determinación de los máximos valores de tensiones normales y de cortaduras como, así también, la orientación de los planos en las que éstas se presentan. En las distintas solicitaciones que estudiaremos tales como, tracción, compresión, corte, torsión, flexión y sus posibles combinaciones, veremos

que la valoración del

esfuerzo por unidad de superficie en un plano, que pasa por un punto determinado del cuerpo en tensión, depende de la orientación de dicho plano. Es necesario remarcar que el tremendo avance tecnológico de los últimos tiempos, con materiales cada vez más PAGINA

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livianos y resistentes, hace que conocer y estudiar profundamente este tema sea determinante en la evaluación del comportamiento de un elemento solicitado a cargas; puesto que ante la presencia de estas cargas se desarrollan, en algún plano que pasa por un punto determinado, tensiones máximas que pueden alcanzar el límite de elasticidad o bien el límite de fluencia o el de rotura del material constituyente, ya sean tensiones normales de tracción o tensiones tangenciales de cortadura. En estos casos el cuerpo puede fallar por no tener la capacidad necesaria para poder resistir satisfactoriamente cualquier nuevo incremento de cargas. El límite de elasticidad a tensiones de tracción se considera que es, por lo general, el que limita las cargas estáticas que pueden admitirse sobre miembros de material frágil, los que fallan por fractura; por el contrario, el límite de fluencia por tensiones de cortadura se considera, por lo general, como el limitante al aumento de cargas en un elemento de material dúctil, y su falla se evidencia por una ligera deformación inelástica en las fibras más esforzadas del miembro, aun cuando el comportamiento esencial del miembro, en su conjunto, pueda ser elástico. Experimentalmente se ha demostrado que los materiales dúctiles como los aceros blandos, el cobre, el aluminio, etc., fallan debido a que la tensión de corte, inducida por un estado de cargas cualquiera, excede la resistencia a fricción interna del material en un plano de su punto más crítico. Por otra parte, los materiales frágiles como la fundición gris, los hormigones, el ladrillo, los aceros de alta resistencia, etc., fallan por que la tensión de tracción, inducida por un estado de cargas cualesquiera, supera en algún plano el límite de su resistencia cohesiva. Por lo tanto, es de gran importancia determinar los valores de las tensiones normales y de las tensiones cortantes que se inducen en un plano oblicuo cualquiera con respecto a un plano de referencia, plano corrientemente transversal de una barra y que pasa por un punto determinado. De esta manera, poder determinar los máximos valores de estas tensiones en dicho punto, como así también la inclinación de los planos en los que actúan las mismas, será nuestro desafío. Cuando la tensión en un punto se define por las componentes que actúan en varias direcciones en el espacio, ésta puede representarse por las tensiones que actúan sobre un elemento diferencial de volumen que rodea al punto considerado. Al elemento diferencial así concebido, lo llamaremos paralelepípedo elemental o elemento esforzado (Figura 3.1.a). Suponiendo un sólido cargado por un sistema arbitrario de fuerzas, vemos que al pasar de un punto a otro el estado de tensiones varía de manera suficientemente lenta y siempre existe la posibilidad de escoger en la vecindad de un punto cualquiera, una zona suficientemente pequeña donde se pueda considerar que el estado de tensiones es

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homogéneo. Está claro que esta hipótesis es aceptable mientras se parta de un supuesto cumplimiento de condiciones de isotropía, homogeneidad y continuidad del material. Este paralelepípedo elemental de peso propio despreciable puede considerarse ahora como un nuevo cuerpo libre que está sometido a fuerzas externas y que debe estar en equilibrio bajo la acción de las solicitaciones que actúan en sus caras. Como las caras del paralelepípedo se admiten muy pequeñas y las tensiones distribuidas uniformemente en éstas, entonces la fuerza que actúa en cada cara es igual al producto de la correspondiente tensión representativa multiplicada por el área correspondiente; área diferencial que en algunos casos podemos considerar igual a la unidad y, en este caso particular, la tensión representativa como la fuerza adquieren el mismo valor numérico, pero con unidades distintas (Figura 3.1.b).

(a) Tensiones

(b) Fuerzas internas1

FIGURAS 3.1. Elementos de un sólido en equilibrio

3.2. Determinación de tensiones en distintos planos que pasan por un punto Conocido el sistema de fuerzas que solicita a un cuerpo, para determinar las tensiones que actúan en un plano seccional inclinado de dirección dada que pasa por un punto, es conveniente seguir los siguientes pasos: 

Se secciona al cuerpo con un plano de referencia pasante por el punto, que generalmente es normal al eje de la barra y coincidente con un eje de

un

sistema

coordenado

rectangular

x, y, z 

de

referencia

x y

previamente adoptado. 

Se estudia el equilibrio de una de estas partes del cuerpo que por un lado está solicitado por las fuerzas externas que allí actúan y por otra parte con las componentes de las fuerzas internas resultantes en dicho plano,

1En

este elemento las fuerzas internas de Corte son tales que Qx≡Qxz≡Qxy ; Qy≡Q yz≡Qyx ; Qz≡Qzy≡Qzx ; en donde la notación de doble subíndice se introduce a los efectos de dejar claro el valor del esfuerzo que genera cada tensión .

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convenientemente reducidas al centroide de la sección, o sea con las fuerzas internas que hemos denominado esfuerzos característicos. 

Finalmente evaluamos las componentes normales y tangenciales de las tensiones como así también su distribución a lo largo de la sección considerada, las que tienen como resultantes los esfuerzos característicos que mantienen el equilibrio del cuerpo ante las cargas que la solicitan.

Esto último podemos expresarlo transcribiendo las ecuaciones de equivalencia entre las fuerzas componentes de la resultante interna (ecuaciones 3.1), y los momentos generados al ser reducidas las fuerzas al centroide de la sección considerada (ecuaciones 3.2) en los respectivos ejes coordenados ( x , y , z ) con las tensiones o intensidad de fuerza que se desarrollan a lo largo de dicha sección:

N x    x. dA - (a) ; Qxy    xy. dA - (b) ; Qxz    xz . dA - (c) A

(3.1)

A

A

M y    x . z. dA - (d) ; M z    x . y.dA - (e) ; M x   ( xz . y  xy . z)  dA - (f) (3.2) A

A

A

Como advertimos, si consideramos tan solo un punto de la sección en la que hemos separado imaginariamente el cuerpo, se evidencian para el equilibrio del paralelepípedo elemental generado alrededor del punto, tensiones normales y/o tensiones cortantes actuantes en cada cara y proveniente de cualquier tipo de esfuerzos característicos o fuerzas resultantes internas determinadas por el método de las secciones. Según sean las direcciones posibles de las tensiones que actúan en un paralelepípedo elemental de referencia, podemos distinguir distintos estados de tensión tales como: a.

Estado simple de tensión, estado lineal de tensión o estado axial de tensión,

es el estado en que, para una determinada posición del elemento esforzado, el conjunto de tensiones visibles se mantienen todas paralelas a una misma dirección. b.

Estado plano de tensión, estado doble de tensión y, particularmente,

estado biaxial de tensión, es el estado en el que al rotar el elemento esforzado a través de un eje, los tensores representativos de las tensiones varían en dirección, intensidad y sentido, pero se mantienen paralelos a un mismo plano normal a dicho eje de rotación. c.

Estado triple de tensión, estado espacial de tensión y particularmente

estado triaxial de tensión, es el estado que surge cuando, al rotar el elemento esforzado

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alrededor de un eje arbitrario que pase por el punto, las tensiones varían en intensidad, dirección y sentido, adoptando cualquier orientación arbitraria en el espacio. Es conveniente destacar que en realidad todos los estados son triples o espaciales, constituyendo los estados simples y dobles casos particulares del estado triple, sea por ausencia de tensiones en otras direcciones en el caso del estado simple o por ausencia de tensiones en otros planos, como es el caso del estado doble. A fin de evitar pasos matemáticos que puedan entorpecer o desviar la mirada física y conceptual del problema, comenzaremos nuestro estudio en el punto siguiente con el caso más elemental, o sea el de "Estado simple, lineal, unidimensional o axial de tensiones", optando entonces por un planteo de análisis del estado general de tensiones que vaya de lo particular a lo general, sabiendo de antemano que el estado simple no es sino un estado particular del estado triple de tensiones, como quedará plasmado más adelante cuando se aborde el estado triple y en particular el estado triaxial de tensiones.

3.3. El Estado Simple de Tensión 3.3.1. Procedimiento Analítico Para estudiar el estado simple de tensión consideramos una barra de sección constante sometida a una fuerza de tracción simple, que idealmente la cortamos con un plano cuya traza es

m  n , lo que genera una superficie material transversal de área A

normal al eje de dicha barra (Figura 3.2). Sabemos ya que debido a la carga de tracción

P en una sección transversal a la barra tendremos una resultante interna producto de la suma de las tensiones a lo largo de toda la sección y de igual magnitud a la carga P , cuyo punto de aplicación es centroidal y su dirección es normal a dicha sección, por lo que la resultante interna

Ri se reduce al esfuerzo característico normal N x , de dirección

x , cuyo valor también deberá ser igual a P , o sea: Ri  P  N x    x .dA

(3.3)

A

FIGURA 3.2. Barra sometida a esfuerzos de tracción debido a la carga P

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Si aislamos un punto

C de dicha sección a través de un paralelepípedo

elemental, tal que una de sus caras sea un diferencial de la sección transversal A , obtenemos un elemento esforzado de área A0  Lim A , tal como el que se muestra en la A 0

Figura 3.3 a), en la que actúa una tensión de valor medio acuerdo a la ecuación (3.1- a), donde se considera que

x

x 

N , en un todo de A0

se distribuye uniformemente

en toda la sección transversal A . y y x =Nx /A0

x =Nx /A0

x =Nx /A0

x =Nx /A0

x x z

a)

b)

FIGURA 3.3. Elemento esforzado- a) representación en el espacio - b) representación en el plano x, y.

Determinemos ahora las tensiones asociadas a planos que, pasando por el punto

C , cortan a la barra con distintas inclinaciones respecto al plano de referencia, cuya traza es la m-n de la figura 3.2. Tomemos por ejemplo la sección inclinada generada por un plano cortante de traza p-q (Figura 3.2), de forma tal que la normal a este plano forme un ángulo eje



con el

x normal al plano de referencia y coincidente con la dirección de la carga P . En este

plano, determinado por el corte de la traza p  q , y para ese punto

C , actúan las

tensiones normal   y cortante   .

a)

b)

FIGURA 3.4. Elemento esforzado – cuña:

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a) en el espacio – b) en el plano

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Para obtener una expresión que nos permita calcular las magnitudes de estas tensiones debemos considerar el equilibrio de fuerzas del elemento diferencial esforzado, tal elemento tiene forma de cuña, ver Figura 3.4., y es representativo del punto que todas sus caras se supone que contienen a dicho punto

C puesto

C.

Las fuerzas que actúan sobre las caras del elemento esforzado se obtienen al multiplicar las tensiones por las áreas sobre las que estas actúan, o sea por las áreas de las caras del elemento esforzado. Así, la fuerza en la cara izquierda es igual a

 x .A0 , donde

A0 es el área de dicha cara. Teniendo en cuenta que el espesor del elemento es considerado constante, el área de la cara inclinada es sobre la cara inclinada será

x .A'0 ,

A0' 

A0 ; por lo tanto la fuerza cos

fuerza que se puede descomponer en una fuerza

normal y en una fuerza tangencial o cortante en el plano inclinado, cuyos valores son

  .A0'

y

  .A0' , respectivamente (Fig. 3.5.).

FIGURA 3.5. Elemento esforzado – cuña en el plano

Haciendo la sumatoria de las fuerzas en la dirección de

 x  A0   x

x obtenemos:

A0  0   x   x cos  cos 

(3.4)

Ahora bien:

 x .A´0 cos    . A´0 Reemplazando



cos  

  x

  x cos 

(3.5)

 x obtenemos:    x  cos 2 

(3.6)

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Por otra parte, se tiene que:

(x . A0' ). sen    . A0'  sen   Reemplazando

x

      x  sen x

(3.7)

por la igualdad de la ecuación (3.4), obtenemos:

     x  sen   cos 

(3.8)

Las expresiones (3.6) y (3.8) permiten determinar el valor de las tensiones normales y de las tensiones tangenciales que actúan en los planos inclinados rotados en un ángulo  con respecto al plano de referencia. Se ve claramente que conforme varía el ángulo  las tensiones normales y tangenciales cambian su magnitud. En particular si plano de traza p  q coincide con el plano de traza una sección transversal normal al eje

 0,

el

m  n y se convierte por tanto en

x , luego será:

  x

y

  0

Vemos entonces que en un punto, la magnitud de las tensiones varía en forma continua conforme varía la inclinación del plano asociado a la misma y que pasa por ese punto. Esto significa que existen planos para los que las tensiones normales como las tensiones tangenciales alcanzan valores máximos y mínimos. También es importante apreciar que más allá de que la carga P es una fuerza normal de tracción a lo largo del eje de la barra, la que genera solo tensiones normales de tracción en planos normales a la dirección de la fuerza, en planos oblicuos a dicho plano de referencia emergen tensiones cortantes   conjuntamente con tensiones normales   , necesariamente.

3.3.1.1. Tensiones Principales Es trascendental, como ya lo expresamos anteriormente, conocer cuáles son los valores máximos de las tensiones normales y de las tensiones tangenciales que actúan en un punto, como así también los planos en las que éstas se originan. Para ello basta derivar la expresión (3.6) respecto del ángulo



e igualarla a cero, reemplazando previamente

las igualdades trigonométricas siguientes:

cos2 

1  cos 2 2

(3.9)

Y

sen   cos  

sen2 2

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(3.10)

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Luego:

   x Derivando e igualando a

1  cos2 2

 



x 2



 x .cos 2 2

0 tenemos:

   0   x  2  sen 2  0  sen 2  0  2 Igualdad que se satisface para los ángulos:

1  0

y para

2 



(3.11)

2

Reemplazando los valores determinados en (3.11) para los ángulos

1

y

2

en la

expresión (3.6) obtenemos las magnitudes de las tensiones normales máximas y mínimas en los respectivos planos que pasan por el punto, así: 

Para

1  0 ,



    x . cos 2 0 1

    x   máx

. (3.12)

1



Para

2 



,

2

    2   x . cos 2  



2 

  2  0   min

(3.13)

Lo anterior indica que el esfuerzo normal máximo se presenta en el plano de

  1  0

y el esfuerzo normal mínimo en el plano de

   2  90 .

A las tensiones

normales máximas y mínimas se las denomina tensiones principales y a los planos donde éstas se manifiestan: planos principales. Determinaremos ahora el valor de las tensiones tangenciales en los planos donde actúan las tensiones principales. Para ello reemplazamos los valores de

1

y

2

en la

expresi...