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ENUNCIADOTurkeyco produce dos tipos de chuleta de pavo que vende a restaurantes de bocadillos. Cada tipo de chuleta consta de carne blanca y carne oscura, la chuleta 1 se vende en 4 dólares/lb, y debe consistir por lo menos en 70% de carne blanca, la chuleta 2 se vende 3 dólares/libra, y consiste en...

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ENUNCIADO Turkeyco produce dos tipos de chuleta de pavo que vende a restaurantes de bocadillos. Cada tipo de chuleta consta de carne blanca y carne oscura, la chuleta 1 se vende en 4 dólares/lb, y debe consistir por lo menos en 70% de carne blanca, la chuleta 2 se vende 3 dólares/libra, y consiste en por lo menos 60% de carne blanca. Se pueden vender cuando mucho, 50 libras de la chuleta 1 y 30 libras de la chuleta 2. Los dos tipos de pavo usados para elaborar las chuletas se compran en la granja Gobble Gobble Turkey. Cada pavo tipo 1 cuesta 10 dólares y rinde 5 lb de carne blanca y 2 lb de carne oscura. Cada pavo tipo 2 cuesta 8 dólares y rinde 3 lb de carne blanca y 3 libras de carne oscura. Plantee una PL para maximizar la utilidad de Turkeyco. Del texto anterior tomamos la información importante y la organizamos en las siguientes tablas para poder hacer un mejor manejo de ella. INFORMACION: Chuleta 1 2

Pavo

Precio/lb $ $

Costo 1 $ 2 $

4 3

Restricción carne Blanca Max Venta (lb) 70% 50 60% 30

Rendimiento carne blanca (lb) Rendimiento carne oscura (lb) 10 5 2 8 3 3

CONTEXTO Turkeyco es una empresa dedicada a la producción de chuleta de pavo para comercializar a otros restaurantes. Las chuletas que esta empresa produce contienen carne blanca y carne oscura, este restaurante comercializa dos tipos de chuletas, la primera está compuesta mayormente de un 70% de carne blanca y el restante de carne oscura, y la chuleta 2 posee un poco más de la mitad de su contenido en carne blanca y el restante de carne oscura. Turkeyco tiene una capacidad de producción de 50 lb de la chuleta 1 y 30 lb de la chuleta 2.

Resolución del problema

En el problema nos piden maximizar las utilidades obtenidas por Turkeyco en la venta de cada tipo de chuleta. Para empezar a resolverlo primero tenemos que determinar las variables de decisión, establecer los requerimientos, la función objetivo y plantear las restricciones que nos dicta el problema para la producción de chuletas tipo 1 y 2.

Variables de decisión: X i , Donde:  i es la cantidad de numero de pavos de tipo i para comprar (i=1,2). 1. Pavo tipo 1 2. Pavo tipo 2

y , j ,k 

Donde: j , k numero de libras de la carne de tipo j usadas para hacer chuletas tipo k (j=1,2) (k=1,2).

Para J: 1. Carne blanca 2. Carne oscura Para K: 1. Chuleta tipo 1 2. Chuleta tipo 2

Función Objetivo Max Z =4 × ( Y 1+ Y 2) +3× ( Y 3+ Y 4 )−( 10 Z 1+8 Z 2 ) Para maximizar Z, tenemos que multiplicar la cantidad en (Lb) de carne tipo (Blanca y oscura) usadas para hacer chuleta tipo 1 ( Y1+ Y2) por su precio de venta (4), sumarlo con la cantidad en (Lb) de carne tipo (Blanca y oscura) usadas para hacer chuletas tipo 2 (Y3+Y4) multiplicando por su precio de venta (3) y finalmente restar esto con el costo de compra de cada tipo de pavo (10Z1+8Z2). Restricciones: Requerimientos de producción: Y 1 ≥ 0,7(Y 1+ Y 2) El porcentaje de carne blanca usada para fabricar chuletas de tipo 1 debe ser mayor o igual al 70% del total de carne usada (Blanca y Negra). Y 3≥ 0,6 (Y 3+Y 4) El porcentaje de carne blanca usada para fabricar chuletas de tipo 2 debe ser mayor o igual al 60% del total de carne usada (Blanca y Negra). Capacidad de producción: Y 1+Y 2 ≤50

La cantidad de chuletas tipo 1 producidas y vendidas no debe ser mayor a 50 libras. Y 3+ Y 4 ≤ 30

La cantidad de chuletas tipo 2 producidas y vendidas no debe ser mayor a 30 libras.

Uso de carne: Y 1+Y 3 ≤ 5 Z 1+3 Z 2

El total de carne blanca usada para fabricar chuletas tipo 1 y 2 debe ser menor igual al total de carne blanca disponible de acuerdo a la cantidad de pavos tipo 1 y 2 (comprados). Y 2+Y 4 ≤ 2 Z 1+3 Z 2

El total de carne negra usada para fabricar chuletas tipo 1 y 2 debe ser menor igual al total de carne negra disponible de acuerdo a la cantidad de pavos tipo 1 y 2 (comprados).

SOLUCION SOLVER. Para construir la solución de este problema en la hoja de cálculo, comenzamos insertando la información que ya teníamos anteriormente de las restricciones y los precios. Imagen 1, información construcción en Excel.

La imagen 1 presenta la información del problema organizada en Excel con la escala adecuada de celdas, más adelante se tomará esta escala para la construcción del solver. Como podemos ver, las restricciones del problema se subrayan en amarillo y las casillas referentes a ingresos y costos se subrayan en verde y naranja, respectivamente, cabe aclarar que estos colores se tendrán en cuenta en toda la construcción para facilitar la interpretación. Siguiendo la lógica de anteriores ejemplos propuestos en clase, pasamos a definir las variables de decisión acordes con las planteadas algebraicamente. En este caso, para darle una solución al problema, hay que tener en cuenta un total de 6 variables de restricción, dos para la compra de tipos de pavo y cuatro para la fabricación de las chuletas. Las variables de decisión se resaltan en las casillas de color azul, y los valores que verá en las siguientes imágenes no se deben tener en cuenta puesto que los pusimos para ejemplificar y la solución la veremos más adelante. VARIABLES PARA LA FABRICACION DE CHULETAS: Imagen 2

VARIABLES PARA LA COMPRA DE TIPOS DE PAVO: Imagen 3

Una vez definidas las variables de decisión, pasamos a construir las restricciones sobre las cuales limitaran nuestras variables de decisión. RESTRICCIONES PARA LOS TIPOS DE CARNE USADOS Imagen 4

En el enunciado también encontramos la restricción sobre la proporción de carne blanca usada para producir cada tipo de chuleta, la cual definimos en las siguientes casillas: RESTRICCIONES PARA LA PROPORCION DE LIBRAS DE CARNE BLANCA USADA EN CADA TIPO DE CHULETA. Imagen 5

En la imagen 5 podemos ver la restricción de libras de carne blanca usadas para cada tipo de chuleta, los valores de las celdas D30 y D32 se obtienen igualando dichas celdas a las variables de decisión de la imagen 2 cuyas celdas son H19 y H20, respectivamente. Por último, el problema también cuenta con una restricción máxima de venta, por lo que la producción no deberá sobrepasar los valores definidos.

RESTRICCION PARA LA PRODUCCION MAXIMA.

Con esto concluye la definición del problema en Excel, ahora pasamos a introducir la información en los parámetros del solver: Después de ejecutar el Solver, nos arroja los valores de las imágenes 6 y 7, junto con un informe de sensibilidad que analizaremos más adelante.

Imagen 6

Imagen 7

Interpretación y análisis de resultados:

En este caso analizamos cual es el comportamiento de las variables de decisión con relación a la función objetivo. Para lograr esto, hicimos uso de la herramienta SOLVER la cual nos genera un análisis completo de las variables y nos entrega una serie de cantidades permisibles para aumentar o reducir conservando la solución obtenida.

Carne blanca: el valor final en libras de carne blanca es de 58.3, el precio por cada libra que se disminuya o aumente es de 1.5. Es posible aumentar las libras hasta 86.9 sin perder la solucion obtenida, asi mismo se puede reducir hasta 42.35 sin afectar la misma. Carne oscura: se obtiene un valor de 29.7 libras, teniendo como precio sombra 1.1 por libra y un permisible aumentar de 6.38 libras y un permisible reducir de 286 libras. Carne blanca chuleta 1: en la chuleta 1 se encuentran 38.5 libras de carne blanca, en este caso el precio sombra es negativo, lo cual significa que por cada libra que se disminuya sin disminuir más de 14.3, la función objetivo aumentará en proporción a la reducción de este parámetro. Por el otro lado, si se aumenta no más de 4.5 libras, la función objetivo disminuirá proporcionalmente a la cantidad aumentada. Carne blanca chuleta 2: al igual que en el caso anterior, el precio sombra es negativo, sucede lo mismo que en el caso anterior en caso de reducir o aumentar la cantidad de libras. Libras totales chuleta 1: el valor final es de 55 libras, permitiendo reducir su totalidad y permitiendo aumentar una cantidad casi infinita, pero no sería posible aumentar ya que incumpliría la restricción de máximo 55 libras de chuleta 1. Ya la solución se generó con el máximo permitido. Libras totales chuleta 2: al igual que en el caso anterior la solución se dio justo en la berrera del máximo, pero en este caso el máximo es 33 libras, es posible reducir la totalidad de las unidades e incrementar una gran cantidad, pero si se aumenta más de 33 ya incumpliría la restricción de máximo 33 libras.

Análisis gráfico:

Grafico 1: El primer paso para realizar el análisis grafico fue crear una tabla con variaciones en las restricciones como:    

porcentaje de carne blanca en la chuleta 1. porcentaje de carne blanca en la chuleta 2. máxima cantidad en libras de chuleta 1 a producir. máxima cantidad en libras de chuleta 2 a producir.

Cada combinación de nuevas restricciones fue nombrada con un número de índice de optimización, fueron 11 índices en total donde el #6 es el índice óptimo para el problema base cumpliendo las restricciones planteadas.

En Segundo lugar, se realizaron pruebas en el problema previamente planteado, con la intención de observar el comportamiento de la función objetivo con respecto a los cambios realizados en las restricciones. Cada índice de optimización junto con la restricción modificada genera un nuevo valor de la función objetivo, los cual nos ayuda a determinar con claridad cual es el índice óptimo. En la tabla se puede observar como hay diferentes índices óptimos, pero para el caso base el índice óptimo es el #6 ya que cumple con todas las restricciones.

Grafico 2: En el siguiente grafico se puede observar cuales son las restricciones mas y menos relevantes al momento de tener la función óptima.

Por ejemplo, la restricción de mayor relevancia es la cantidad máxima de chuleta #1 que se puede producir, si la restricción aumenta con los parámetros mostrados en el índice #11 las ganancias serán mayores. En pocas palabras, si la empresa logra aumentar su capacidad de producción de chuletas #1 y #2 sus ganancias aumentarán. Una restricción de poca relevancia sería la cantidad de carne blanca que contiene la chuleta #1, por más de que se aumente o se reduzca esta restricción la variación en la función objetivo será mínima.

Grafico 3: Para el siguiente grafico tomamos en cuenta las variables de mayor relevancia las cuales fueron las cantidades máximas de chuleta #1 y #2 que se pueden producir. El caso base establecía como máximo 50 libras de chuleta #1 y 30 libras de chuleta #2, pero al ver que aumentando esta restricción se obtenía mayor beneficio entramos a analizar el comportamiento de la función objetivo al aumentar estas restricciones.

Después de esto asignamos al eje Y y al eje X como nuestras variables pudiendo observar el valor de la función objetivo con respecto a la combinación de los dos ejes, es decir las dos restricciones.

Finalmente, del gráfico de superficie y de la tabla podemos concluir que: A medida que se aumenta la máxima cantidad en libras de chuleta #1 y #2 que se puede producir, la función objetivo aumenta generando mayor beneficio. Para obtener mayor beneficio, es necesario aumentar la capacidad de producción de la empresa para que así se logre aumentar el máximo número de libras de chuleta producidas, esto va a generar mayores ingresos y como resultado, mayor beneficio....