Chapitre 7 Les tableaux de contingence PDF

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Chapitre 7 : Les tableaux de contingence

La contingence signifie la dépendance. Un tableau de contingence est donc tout simplement un tableau qui montre comment une caractéristique dépend d’une autre.

I.

LA CONSTRUCTION DU TABLEAU DE CONTINGENCE

1) Les données brutes Considérons un groupe d’individu que l’on veut décrire par deux variables qualitatives A et B. Supposons que la variable A a trois modalités (x, y et z) et la variable B en a trois aussi Les données brutes collectées sont souvent sous la forme suivante

2) Le tableau croisé La forme brute du tableau ne permet pas de lire aisément le nombre d’individu ayant à la fois la modalité “x” et la modalité “b”) par exemple. Le plus simple est de réaliser un tableau croisé (ou tableau à double entrée) appelé tableau de contingence comme celui-ci :

II.

LA LECTURE DU TABLEAU DE CONTINGENCE

1) Lecture croisée Dans un tableau de contingence, la ligne est i et la colonne j. On lit d’abord la ligne et ensuite la colonne. La lecture croisée permet de déterminer l’effectif 𝑛ij de la population qui présente simultanément le caractère de la ligne i et de la colonne j. À la question combien y a-t-il d’individus présentant simultanément les caractères 2 en lignes et le caractère q en colonne ? Il faudrait lire sur la ligne 2 : n21 ; n22 ; … ; n2q A la qst combien y a-t-il d’individus présentant simultanément les caractères i en lignes et le caractère j en colonne ? Il faudrait lire sur la ligne i et la colonne nij 1

2) Lecture à la marge La lecture à la marge (partie bleuté) est une originalité du tableau de contingence par rapport au tableau statistique à une dimension. Les marges permettent d’introduire la notion de calcul marginal :

(𝑛 – 𝑖 – 𝑝𝑜𝑖𝑛𝑡) ≡ 𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑙𝑖𝑔𝑛𝑒 𝑖 (𝑛 – 𝑗 – 𝑝𝑜𝑖𝑛𝑡) ≡ 𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑e 𝑙𝑎 𝑐𝑜𝑙𝑜𝑛𝑛𝑒 j (𝑛 − 𝑝𝑜𝑖𝑛𝑡 − 𝑝𝑜𝑖𝑛𝑡) ≡ 𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑔é𝑛é𝑟𝑎𝑙

Combien d’individus présentent le caractère 2 en lignes ? Combien d’individus présentent le caractères j en colonnes ?

III.

L’EXPLOITATION DU TABLEAU DE CONTINGENCE

A) Les fréquences 1) Les fréquences partielles o Les effectifs partiels : On appelle effectifs partiels, les effectifs qui sont lus à l’intérieur du tableau de contingence. Les effectifs partiels correspondent au nombre d’individus qui présentent à la fois la modalité 𝑥i et la modalité 𝑦j . Les effectifs partiels sont repérés par 𝑛𝑖𝑗. o La fréquence partielle est la proportion par rapport à l’effectif total d’individus qui présentent à la fois la modalité 𝑥i et la modalité 𝑦j . On a : fij = nij / n.. Exemple :

La proportion des salariés de 22 à 24 ans qui gagnent 5 à 7 k€ est : f23 = n23 / n.. = 4/24= 16,7 %

2) Les fréquences conditionnelles La fréquence conditionnelle est la proportion d’individus qui présentent la modalité 𝑥i parmi les individus qui présentent la modalité 𝑦j De même, on aura : fi/j

= nij / n.j

et fj/i = nij / ni. 2

Exemple : La proportion des salariés qui gagnent 1 à 3 k€ rapport aux salariés de 24 à 26 ans est : f1/3 = n31 / n3. = 2/6= 33,3 %

3) Les fréquences marginales o On appelle effectifs marginaux, les effectifs qui sont lus à la marge du tableau de contingence. Les effectifs marginaux correspondent au nombre total d’individus pour chaque modalité 𝑥i (total de chaque ligne) noté 𝒏i. (lire n-i-point) et au nombre total d’individus pour la modalité 𝑦 (total de chaque colonne) noté 𝒏.j (lire n-point-j). On peut vérifier que : 𝒏i. + 𝒏.j = 𝒏.. Exemple :

o Les fréquences marginales sont les rapports des effectifs marginaux à l’effectif total. On a : fi.

= ni / n..

et f.j = n.j / n..

Exemple :

f2. = n2. / n.. = 12/24 = 50,0%. Les salariés de 22 à 24ans représentent 50% de l’effectif total. f.1 = n1. / n.. = 4/24 = 16,7%. Les salariés gagnant entre 1 et 3 K€ représentent 16,7% de l’effectif total.

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B) La distribution Avant de traiter des questions de moyennes et de variances, explicitons d’abord deux notions importantes : la distribution conditionnelle et la distribution marginale.

1) La distribution conditionnelle La distribution conditionnelle de x selon y est celle qui met en regard les modalités de x et les effectifs partiels de y pour une valeur j considérée. La distribution conditionnelle de y selon x est celle qui met en regard les modalités de y et les effectifs partiels de x pour une valeur i considérée.

2) La distribution marginale La distribution marginale de x est celle qui met en regard les modalités de x les effectifs marginaux de x. La distribution marginale de y est celle qui met en regard les modalités de y les effectifs marginaux de y.

C) Moyennes et variances 1) La moyenne conditionnelle La moyenne conditionnelle se calcule comme une moyenne arithmétique à partir de la distribution conditionnelle de x selon y (ou de y selon x).

2) La moyenne marginale La moyenne marginale se calcule comme une moyenne arithmétique à partir des distributions marginales . 4

3) La variance conditionnelle La variance conditionnelle se calcule comme la variance d’une distribution simple à partir de la distribution conditionnelle.

4) La variance marginale La variance marginale se calcule comme la variance d’une distribution simple à partir de la distribution marginale.

D) La corrélation 1) Le Khi – 2 Le Khi – 2 permet de mesurer la dépendance de variable qualitative

2) Le coefficient de corrélation Le coefficient de corrélation mesure le degré de dépendance de deux variables. Le coefficient de corrélation varie entre -1 et +1. Plus il tend vers +1 (ou -1) plus la corrélation est forte positivement (ou négativement) Le signe du coefficient indique le sens de variation des deux variables : même sens si coefficient positif et en sens contraire s’il est négatif.

E) La régression 1) La régression linéaire La régression linéaire permet de faire l’ajustement des valeurs des deux variables sous la forme d’une droite d’équation : y = ax + b.

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