Consignia 1 Estrella Paredes Marcela Lorena PDF

Preview

Summary

MARCELA LORENAESTRELLA PAREDESPROBLEMARIO 2ECUACIONESDIFERENCIALESGRUPO APROBLEMARIO ECUACIONES DIFERENCIALESSEGUNDO MOMENTO DE APRENDIZAJEEJERCICIOSSe desea enfriar una sustancia, la cual se introduce en un refrigerador que está a una temperatura constante de 5º. Al cabo de 30 minutos, la sustancia...

Description

MARCELA LORENA ESTRELLA PAREDES PROBLEMARIO 2 ECUACIONES DIFERENCIALES GRUPO A

MARCELA LORENA ESTRELLA PAREDES

GRUPO A

ECUACIONES DIFERENCIALES

PROBLEMARIO ECUACIONES DIFERENCIALES SEGUNDO MOMENTO DE APRENDIZAJE EJERCICIOS Se desea enfriar una sustancia, la cual se introduce en un refrigerador que está a una temperatura constante de 5º. Al cabo de 30 minutos, la sustancia está a 8º y después de 40 min está a 6º. Hallar la temperatura inicial de la sustancia. 𝑡=0

𝑡 = 30 𝑚𝑖𝑛 𝑡 = 40 𝑚𝑖𝑛

𝑇 = 𝑇0

𝑇 = 8° 𝑇 = 6°

𝑑𝑇 = 𝑘(𝑇 − 𝑇𝑚 ) 𝑑𝑡

∫

𝑑𝑇 = 𝑘𝑑𝑡 (𝑇 − 𝑇𝑚 )

𝑑𝑇 = ∫ 𝑘𝑑𝑡 (𝑇 − 𝑇𝑚 )

ln(𝑇 − 𝑇𝑚 ) = 𝑘𝑡 + 𝐶 𝑇 − 𝑇𝑚 = 𝐶𝑒 𝑘𝑡

𝑇 = 𝐶𝑒 𝑘𝑡 + 𝑇𝑚

De acuerdo a los datos proporcionados la Temperatura de medio ambiente es 5° Sustituyendo las condiciones iniciales 𝑡 = 0 Sustituyendo las condiciones 𝑡 = 30𝑚𝑖𝑛

Sustituyendo las condiciones t=40, T=6

La solución particular es

𝑇 = 𝐶𝑒 𝑘𝑡 + 5 𝑇 = 𝑇0

𝑇0 = 𝐶𝑒 𝑘(0) + 5 𝐶 = 𝑇0 − 5

𝑇 = 8°

8 = 𝐶𝑒 𝑘(30) + 5 𝐶𝑒 30𝑘 = 3

6 = 𝐶𝑒 𝑘(40) + 5 𝐶𝑒 40𝑘 = 1

MARCELA LORENA ESTRELLA PAREDES

GRUPO A

ECUACIONES DIFERENCIALES

Un cuerpo de masa m=2kg se lanza verticalmente en el aire con una velocidad inicial de 3m/s. El cuerpo encuentra una resistencia al aire proporcional a su velocidad, hallar a) La ecuación del movimiento

Fuerza neta del sistema 𝐹 = 𝑚𝑎 − 𝑘𝑣

𝑚

𝑚

𝑑𝑣 = 𝑚𝑎 − 𝑘𝑣 𝑑𝑡

𝑑𝑣 + 𝑘𝑣 = 𝑚𝑎 𝑑𝑡

𝑑𝑣 𝑘 + 𝑣=𝑎 𝑑𝑡 𝑚 𝑘

𝜇(𝑡) = 𝑒𝑚 ∫

𝑣(𝑡) =

𝑣(𝑡) =

1

𝑘 𝑒𝑚𝑡

𝑑𝑡

𝑘

= 𝑒 𝑚𝑡

∫ 𝑎𝑒

𝑘 𝑡 𝑚 𝑑𝑡.

1 𝑎𝑚 𝑘 𝑡 𝑒 𝑚 + 𝐶) ( 𝑘 𝑘 𝑡

𝑒𝑚

𝑣(𝑡) =

𝑘 𝑎𝑚 𝑡 + 𝐶𝑒 −𝑚 𝑘

b) La velocidad en un tiempo t=20 s Cuando v=3 y t=0

𝑣=

𝑘 𝑎𝑚 + 𝐶𝑒 −𝑚(0) 𝑘 𝑎𝑚 𝐶=3− 𝑘

3=

Cuando t=20 y v=?

𝑣=

𝑣=

𝑘 𝑎𝑚 (𝑡) + 𝐶𝑒 −𝑚 𝑘

𝑎𝑚 𝑎𝑚 − 𝑘 (20) + (3 − )𝑒 𝑚 𝑘 𝑘

19.62 19.62 −𝑘 (20) )𝑒 2 + (3 − 𝑘 𝑘

c) El tiempo necesario para que llegue a su máxima altura Un cuerpo de masa 9.7 kg se suelta de una altura de 300 m sin velocidad inicial. El cuerpo encuentra una resistencia al aire proporcional a su velocidad. Si la velocida des límite debe ser 95m/s, encontrar a) La velocidad del cuerpo en un tiempo

MARCELA LORENA ESTRELLA PAREDES

GRUPO A

ECUACIONES DIFERENCIALES

b) La posición del cuerpo en un tiempo c) El tiempo que necesita el cuerpo para alcanzar la velocidad de 50 m/s Un circuito RL tiene una fem de 8 sin 2𝑡 voltios, una resistencia de 10 ohmios, una inductancia de 2 𝜋 henrios y una corriente inicial de 5 amperios, hallar la corriente en el circuito cuando 𝑡 = 2 𝑠 𝑑𝑙 𝑅 𝐸 + 𝐼= 𝑑𝑡 𝐿 𝐿

La cantidad de corriente I, en amperios queda expresada por:

8 sin 2𝑡 𝑑𝑙 10 + 𝐼= 𝑑𝑡 2 2 𝑑𝑙 + 5𝐼 = 4 sin 2𝑡 𝑑𝑡

Entonces

𝜇(𝑡) = 𝑒 5 ∫ 𝑑𝑡 = 𝑒 5𝑡

𝐼(𝑡) =

𝐼(𝑡) =

4

𝑒 5𝑡

(

𝐼(𝑡) = 5=

Para 𝐼 =?

𝑡= 𝑠 2 𝜋

4 ∫ sin 2𝑡 (𝑒5𝑡 )𝑑𝑡 𝑒 5𝑡

2 𝑥 5 5𝑥 𝑒 sin 2𝑥 − 𝑒 cos 2𝑥 ) + 𝐶 29 29

20 8 sin 2𝑥 − cos 2𝑥 + 𝐶𝑒 −5𝑡 29 29 𝐼 =5−−−𝑡 =0

20 8 cos 2𝑡 + 𝐶𝑒 −5(0) sin 2𝑡 − 29 29

𝐼(𝑡) =

𝐶=

153 29

8 153 − 5𝑡 20 sin 2𝑡 − cos 2𝑡 + 𝑒 29 29 29

20 8 153 − 5𝑡 𝑒 sin 2𝑡 − cos 2𝑡 + 29 29 29 8 153 −5𝜋 20 𝑒 2 sin 𝜋 − cos 𝜋 + 𝐼(𝑡) = 29 29 29

𝐼(𝑡) =

𝐼(𝑡) = −0.2356

Hallar el Wronskiano de las funciones: 𝑦1 = cos (𝑥 − 2 ) ; 𝑦2 = sin (𝑥 + 2 ) ; 𝑦3 = sin 𝑥 𝜋

𝜋

MARCELA LORENA ESTRELLA PAREDES

GRUPO A

ECUACIONES DIFERENCIALES

𝜋 sin 𝑥 𝜋) ) sin (𝑥 + 2 𝜋 𝑊(𝑦1 , 𝑦2 , 𝑦3 ) = 𝜋) cos 𝑥 | |− sin (𝑥 −2 ) cos (𝑥 + 2 𝜋 2 𝜋 ) − sin 𝑥 − cos (𝑥 − ) − sin (𝑥 + 2 2 𝜋 𝜋 𝜋 𝑊 = cos (𝑥 − ) (cos (𝑥 + ) (− sin 𝑥) − 𝑐𝑜𝑠𝑥 (− sin (𝑥 + 2 ))) 2 2 𝜋 𝜋 𝜋 + sin (𝑥 − ) (sin (𝑥 + ) (− sin 𝑥) − sin 𝑥 (− sin (𝑥 + ))) 2 2 2 𝜋 𝜋 𝜋 − cos (𝑥 − ) (sin (𝑥 + ) (cos 𝑥) − sin 𝑥 (cos (𝑥 + ))) 2 2 2 cos (𝑥 −

𝜋 𝜋 𝜋 𝑊 = sin (𝑥 − ) (sin (𝑥 + ) (− sin 𝑥) − sin 𝑥 (− sin (𝑥 + ))) 2 2 2

Hallar la dependencia o independencia lineal de las siguientes soluciones de 𝑦 ′′ + 4𝑦 = 0 𝑦1 = cos 2 𝑥

𝑦2 = cos 2 𝑥 − sin2 𝑥

𝑦 = cos 2 𝑥 + cos 2 𝑥 − sin2 𝑥 𝑦 = 2 cos 2 𝑥 − sin2 𝑥

𝑦 ′ = −4 cos 𝑥 sin 𝑥 − 2 cos 𝑥 sin 𝑥 = −6 cos 𝑥 sin 𝑥

𝑦 ′′ = −6(− sin 𝑥 (sin 𝑥 ) + cos 𝑥 (cos 𝑥)) = 6 sin2 𝑥 − 6 cos 2 𝑥 𝑦 ′′ + 4𝑦 = 0

6 sin2 𝑥 − 6 cos 2 𝑥 + 8 cos 2 𝑥 − 4 sin2 𝑥 = 0 2 sin2 𝑥 + 2 cos 2 𝑥 = 0

2 = 0; 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 𝑒𝑛 𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑙𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒

Usando el principio de superposición, probar si las funciones dadas son solución de las siguientes ecuaciones diferenciales: 𝑦1 = 𝐶1 𝑒 −𝑥 ; 𝑦2 = 𝐶2 𝑥𝑒 −𝑥 ; 𝑑𝑒 𝑦 ′′ + 2𝑦 ′ + 𝑦 = 0

Por el principio de superposición

𝑦 = 𝐶1 𝑒 −𝑥 + 𝐶2 𝑥𝑒 −𝑥

𝑦 ′ = −𝑒 −𝑥 + 𝑒 −𝑥 − 𝑥𝑒 −𝑥 = −𝑥𝑒 −𝑥 Sustituyendo

𝑦 ′′ = −𝑒 −𝑥 + 𝑥𝑒 −𝑥 𝑦 ′′ + 2𝑦 ′ + 𝑦 = 0

−𝑒 −𝑥 + 𝑥𝑒 −𝑥 − 2𝑥𝑒 −𝑥 + 𝑒 −𝑥 + 𝑥𝑒 −𝑥 = 0 Resolver por el método más conveniente

0=0

MARCELA LORENA ESTRELLA PAREDES

a) 𝑦 ′′ − 𝑦 ′ +

5

4

GRUPO A

𝑦 = 0

5 −(−1) ± √(−1)2 − 4(1) (4) 2(1)

=

ECUACIONES DIFERENCIALES

5 𝑚2 − 𝑚 + 4 = 0

1 ± √1 − 5 1 ± √−4 1 2 1±𝑖 = = ± 𝑖=2 2 2 2 2 𝑚= 𝑎+𝑏

Al ser las raíces complejas la solución es 𝑦 = 𝐶1 𝑒2𝑥 cos 𝑖𝑥 + 𝐶2 𝑒 2𝑥 sin 𝑖𝑥 1

b) 𝑦 ′′ − 3 𝑦 ′ + 9 𝑦 = 0 4

4

1

4 4 𝑚2 − 𝑚 + = 0 9 3 2 2 (𝑚 − ) = 0 3 2 𝑚1 = 𝑚2 = 3 2 2 𝑥 𝑥 3 Al ser raíces iguales la solución es 𝑦 = 𝐶1 𝑒 + 𝐶2 𝑥𝑒 3 c) 𝑥 2 𝑦 ′′ + 8𝑥𝑦 ′ + 10𝑦 = 0

Proponer la solución

𝑦 = 𝑥𝑚

𝑦′ = 𝑚𝑥 𝑚−1

Proponer la ecuación

Sustituir

𝑦 ′′ = 𝑚(𝑚 − 1)𝑥 𝑚−2 = (𝑚2 − 𝑚)𝑥 𝑚−2 𝑎𝑥 2 𝑦′′ + 𝑏𝑥𝑦 ′ + 𝑐𝑦 = 0

𝑎𝑥 2 ((𝑚2 − 𝑚)𝑥 𝑚−2) + 𝑏𝑥(𝑚𝑥 𝑚−1) + 𝑐𝑥 𝑚 = 0 𝑎𝑥 𝑚 (𝑚2 − 𝑚) + 𝑏𝑥 𝑚 𝑚 + 𝑐𝑥 𝑚 = 0 𝑥 𝑚 (𝑎𝑚2 − 𝑎𝑚 + 𝑏𝑚 + 𝑐) = 0 𝑎𝑚2 − 𝑎𝑚 + 𝑏𝑚 + 𝑐 = 0

Escribiendo la ecuación caracteristica

𝑎𝑚2 + 𝑚(−𝑎 + 𝑏) + 𝑐 = 0

Con los valores establecidos en la ecuación dada 𝑥2

𝑑2𝑦 𝑑𝑦 + 10𝑦 = 0 + 8𝑥 2 𝑑𝑥 𝑑𝑥

𝑎𝑚2 + 𝑚(−𝑎 + 𝑏) + 𝑐 = 0

MARCELA LORENA ESTRELLA PAREDES

GRUPO A

1𝑚2 + 𝑚(−1 + 8) + 10 = 0 𝑚2 + 7𝑚 + 10 = 0 (𝑚 + 5)(𝑚 + 2) = 0

ECUACIONES DIFERENCIALES

𝑚1 = −5

𝑚2 = −2

Como las raices son reales diferentes la solucion general es: 𝑦 = 𝐶1 𝑥 −5 + 𝐶2 𝑥 −2

d) 𝑦 𝑉 + 4𝑦 𝐼𝑉 + 5𝑦 𝐼𝐼𝐼 − 6𝑦 𝐼 − 4𝑦 = 0 𝑚5 + 4𝑚4 + 5𝑚3 − 6𝑚 − 4 = 0 1 4 5 0 −6 −4 | 1 5 10 10 4 1 1 5 10 10 4 0 𝑚1 = 1 𝑚4 + 5𝑚3 + 10𝑚2 + 10𝑚 + 4 1 5 10 10 4 | −1 −4 −6 −4 − 1 1 +4 +6 +4 +0 𝑚2 = −1 𝑚3 + 4𝑚2 + 6𝑚 + 4 = 0 1 4 6 4 | −2 −4 −4 − 2 1 +2 +2 +0 𝑚3 = −2

9.

𝑚2 + 2𝑚 + 2 = 0 −(2) ± √(2)2 − 4(1)(2) −2 ± √2 − 8 −2 ± √−6 √6 𝑖 = = = −1 ± 2 2(1) 2 2 Al ser las raíces diferentes y complementarias la solución es: √6 √6 𝑖𝑥 𝑦 = 𝐶1 𝑒 𝑥 + 𝐶2 𝑒 −𝑥 + 𝐶3 𝑒 −2𝑥 + 𝐶4 𝑒 𝑥 cos 𝑖𝑥 + 𝐶5 𝑒 𝑥 sin 2 2 Encontrar la ecuación diferencial correspondiente a la solución propuesta

a) 𝑦 = 𝐶1 𝑥 −1 + 𝐶2 𝑥 2

b) 𝑦 = 𝑥 3 (𝑐1 + 𝑐2 ln 𝑥 10.

Encontrar yp por el método de coeficientes indeterminados dada la ecuación

a) 𝑦 ′′ + 2𝑦 ′ + 4𝑦 = 5𝑥 4 + 3𝑥 2 − 𝑥

MARCELA LORENA ESTRELLA PAREDES

GRUPO A

ECUACIONES DIFERENCIALES

Primero se resuelve la parte homogenea Obtener la ecuación característica

𝑚2 + 2𝑚 + 4 = 0

Resolver la ecuación para obtener las raíces Por factorización

𝑚2 + 2𝑚 + 4 = 0 𝑚 = −1 ±

√−8 2

Al ser las raíces complementarias la solución es 𝑦 = 𝐶1 𝑒 −𝑥 cos 2 𝑖 + 𝐶2 𝑒 −𝑥 sin Resolviendo la parte no homogénea

√8

5𝑥 4 + 3𝑥 2 − 𝑥

√8 2

𝑖

Se utilizan los coeficientes indeterminados proponiendo una solución particular 𝑦𝑝 = 𝐴𝑥 4 + 𝐵𝑥 3 + 𝐶𝑥 2 + 𝐸𝑥 + 𝐹

Se deriva hasta la derivada que indique la parte homogénea, en este caso 2 𝑦𝑝′ = 4𝐴𝑥 3 + 3𝐵𝑥 2 + 𝐶𝑥 + 𝐸 𝑦𝑝′′ = 12𝐴𝑥 2 + 6𝐵𝑥 + 𝐶

Se sustituye en la ecuación diferencial

𝑦 ′′ + 2𝑦 ′ + 4𝑦 = 5𝑥 4 + 3𝑥 2 − 𝑥

12𝐴𝑥 2 + 6𝐵𝑥 + 𝐶 + 2(4𝐴𝑥 3 + 3𝐵𝑥 2 + 𝐶𝑥 + 𝐸) + 4(𝐴𝑥 4 + 𝐵𝑥 3 + 𝐶𝑥 2 + 𝐸𝑥 + 𝐹 ) = 5𝑥 4 + 3𝑥 2 − 𝑥

12𝐴𝑥 2 + 6𝐵𝑥 + 𝐶 + 8𝐴𝑥 3 + 6𝐵𝑥 2 + 2𝐶𝑥 + 2𝐸 + 4𝐴𝑥 4 + 4𝐵𝑥 3 + 4𝐶𝑥 2 + 4𝐸𝑥 + 4𝐹 = 5𝑥 4 + 3𝑥 2 − 𝑥 Separando 𝑥 2 𝑐𝑜𝑛 𝑥 2 , 𝑥𝑐𝑜𝑛 𝑥 𝑦 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑛 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠. 4𝐴𝑥 4 = 5𝑥 4 𝐴=

5 4

8𝐴𝑥 3 + 4𝐵𝑥 3 = 0𝑥 3 𝐵=−

10 4

12𝐴𝑥 2 + 6𝐵𝑥 2 + 4𝐶𝑥 2 = 3𝑥 2 𝐶=

3 − 15 + 15 3 = 4 4

6𝐵𝑥 + 2𝐶𝑥 + 4𝐸𝑥 = −𝑥

MARCELA LORENA ESTRELLA PAREDES

GRUPO A

ECUACIONES DIFERENCIALES

32 25 8 −1 + 15 − 𝐸 =𝐶 + 2𝐸 4+ 4𝐹 ==0

3 25 7 −4 − 4 =4 𝐹= 4 Sustituyendo los coeficientes en la solución particular propuesta 𝑦𝑝 = 𝐴𝑥 4 + 𝐵𝑥 3 + 𝐶𝑥 2 + 𝐸𝑥 + 𝐹

𝑦𝑝 =

5 4 10 3 3 2 25 7 𝑥 − 𝑥 + 𝑥 + 𝑥+ 4 4 4 8 4

La solución final sería la de la homogénea + la no homogénea 𝑦 = 𝐶1 𝑒 −𝑥 cos

5 10 3 25 7 √8 √8 𝑖 + 𝐶2 𝑒 −𝑥 sin 𝑖 + 𝑥4 − 𝑥3 + 𝑥2 + 𝑥+ 4 2 2 4 4 4 8

b) 𝑦 𝐼𝑉 − 5𝑦 𝐼𝐼𝐼 + 9𝑦 𝐼𝐼 − 7𝑦 𝐼 + 2𝑦 = 2𝑒 𝑥 + 𝑥

2𝑒 𝑥 + 𝑥

Se utilizan los coeficientes indeterminados proponiendo una solución particular 𝑦𝑝 = 𝐴𝑒 𝑥 + 𝐵𝑥 + 𝐶

Se deriva hasta la derivada que indique la parte homogénea, en este caso 2 𝑦𝑝′ = 𝐴𝑒 𝑥 + 𝐵 𝑦𝑝′′ = 𝐴𝑒 𝑥

𝑦𝑝′′′ = 𝐴𝑒 𝑥

𝑦𝑝𝐼𝑉 = 𝐴𝑒 𝑥

Se sustituye en la ecuación diferencial

𝑦 𝐼𝑉 − 5𝑦 𝐼𝐼𝐼 + 9𝑦 𝐼𝐼 − 7𝑦 𝐼 + 2𝑦 = 2𝑒 𝑥 + 𝑥

𝐴𝑒 𝑥 − 5𝐴𝑒 𝑥 + 9𝐴𝑒 𝑥 − 7𝐴𝑒 𝑥 − 7𝐵 + 2𝐴𝑒 𝑥 + 2𝐵𝑥 + 2𝐶 = 2𝑒 𝑥 + 𝑥 −7𝐵 + 2𝐵𝑥 + 2𝐶 = 2𝑒 𝑥 + 𝑥

Separando 𝑥 2 𝑐𝑜𝑛 𝑥 2 , 𝑥𝑐𝑜𝑛 𝑥 𝑦 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑛 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠. 0𝐴 = 2𝑒 𝑥 𝐴=0

2𝐵𝑥 = 𝑥

MARCELA LORENA ESTRELLA PAREDES

GRUPO A

ECUACIONES DIFERENCIALES

1 𝐵= 2 −7𝐵 + 2𝐶 = 0 72

7 𝐶 = 2 =4 Sustituyendo los coeficientes en la solución particular propuesta 𝑦𝑝 =

c) 𝑦 ′′ + 4𝑦 = −16 sin 2𝑥

1 7 𝑥+ 4 2

−16 sin 2𝑥

Se utilizan los coeficientes indeterminados proponiendo una solución particular 𝑦𝑝 = 𝐴 cos 2𝑥 + 𝐵 sin 2𝑥

Se deriva hasta la derivada que indique la parte homogénea, en este caso 2 𝑦𝑝′ = −2𝐴 sin 2𝑥 + 2𝐵 cos 2𝑥

𝑦𝑝′′ = −4𝐴 cos 2𝑥 − 4𝐵 sin 2𝑥

Se sustituye en la ecuación diferencial

𝑦 ′′ + 4𝑦 = −16 sin 2𝑥 −4𝐴 cos 2𝑥 − 4𝐵 sin 2𝑥 + 4𝐴 cos 2𝑥 + 4𝐵 sin 2𝑥 = −16 sin 2𝑥 0 = −16 sin 2𝑥

Sustituyendo los coeficientes en la solución particular propuesta

d) 𝑦 ′′ − 𝑦 = −6 sin 𝑥 + 10𝑒 𝑥 − 7𝑥 2 + 14

𝑦𝑝 = 0

−6 sin 𝑥 + 10𝑒 𝑥 − 7𝑥 2 + 17

Se utilizan los coeficientes indeterminados proponiendo una solución particular 𝑦𝑝 = 𝐴 cos 𝑥 + 𝐵 sin 𝑥 + 𝐶𝑒 𝑥 + 𝐸𝑥 2 + 𝐹𝑥 + 𝐺

Se deriva hasta la derivada que indique la parte homogénea, en este caso 2 𝑦𝑝′ = −𝐴 sin 𝑥 + 𝐵 cos 2𝑥 + 𝐶𝑒 𝑥 + 2𝐸𝑥 + 𝐹 𝑦𝑝′′ = −𝐴 cos 𝑥 − 𝐵 sin 𝑥 + 𝐶𝑒 𝑥 + 2𝐸

Se sustituye en la ecuación diferencial

𝑦 ′′ − 𝑦 = −6 sin 𝑥 + 10𝑒 𝑥 − 7𝑥 2 + 17 −𝐴 cos 𝑥 − 𝐵 sin 𝑥 + 𝐶𝑒 𝑥 + 2𝐸 − 𝐴 cos 𝑥 − 𝐵 sin 𝑥 − 𝐶𝑒 𝑥 − 𝐸𝑥 2 − 𝐹𝑥 − 𝐺 = −6 sin 𝑥 + 10𝑒 𝑥 − 7𝑥 2 + 17

MARCELA LORENA ESTRELLA PAREDES

GRUPO A

ECUACIONES DIFERENCIALES

−2𝐴 cos 𝑥 − 2𝐵 sin 𝑥 + 2𝐸 − 𝐸𝑥 2 − 𝐹𝑥 − 𝐺 = −6 sin 𝑥 + 10𝑒 𝑥 − 7𝑥 2 + 17 −2𝐴 cos 𝑥 = 0 𝐴=0 −2𝐵 sin 𝑥 = −6 sin 𝑥 𝐵=3 0𝐶 = +10𝑒 𝑥 𝐶=0 −𝐸𝑥 2 = −7𝑥 2 𝐸=7 −𝐹𝑥 = 0 𝐹=0 +2𝐸 − 𝐺 = +17 𝐺 = −17 + 14 = −3

Sustituyendo los coeficientes en la solución particular propuesta 𝑦𝑝 = 3 sin 𝑥 + 7𝑥 2 − 3

11.

Resolver por variación de parámetros

a) 𝑦 ′′ − 4𝑦 ′ + 4𝑦 =

2𝑒 2𝑥 𝑥

; 𝑦1 = 0, 𝑦1′ = 1

𝑚2 − 4𝑚 + 4 = 0 ( 𝑚 − 2) 2 = 0 𝑚1 = 𝑚2 = 2

𝑦𝑐 = 𝐶1 𝑒 2𝑥 + 𝐶2 𝑥𝑒 2𝑥 𝑦1 𝑦2 𝑒 2𝑥 𝑊=| ′ ′| = | 𝑦1 𝑦2 2𝑒 2𝑥

0 𝑊1 = | 2𝑒 2𝑥 𝑥

𝑦1 = 𝑒 2𝑥

𝑦2 = 𝑥𝑒 2𝑥

𝑥𝑒 2𝑥 | = 𝑒 2𝑥 (𝑒 2𝑥 + 2𝑥𝑒 2𝑥 ) − 𝑥𝑒 2𝑥 (2𝑒2𝑥 ) = 𝑒 4𝑥 𝑒 + 2𝑥𝑒 2𝑥

𝑊2 = |

2𝑥

𝑥𝑒 2𝑥

𝑒 2𝑥 + 2𝑥𝑒 2𝑥

𝑒 2𝑥

2𝑒 2𝑥

𝑢1′ =

|=

−𝑥𝑒 2𝑥

2𝑒 2𝑥 ( ) = −2𝑒 4𝑥 𝑥

0 2𝑒 4𝑥 2𝑒2𝑥 2𝑒 2𝑥 | = 𝑒 2𝑥 ( )= 𝑥 𝑥 𝑥 𝑊1 −2𝑒 4𝑥 = 4𝑥 = −2 𝑒 𝑊

𝑢1 = −2 ∫ 𝑑𝑥 = −2𝑥

MARCELA LORENA ESTRELLA PAREDES

GRUPO A

ECUACIONES DIFERENCIALES

𝑥 2𝑒 4𝑥 2 =𝑥 4𝑥 =−1𝑒= 2 ln 𝑥 𝑢2 = 2𝑊∫ 𝑥

𝑢′2 = 𝑊2

𝑦𝑝 = −2𝑥𝑒 2𝑥 + 2 ln 𝑥 (𝑥𝑒 2𝑥 ) = 2𝑥𝑒 2𝑥 (−1 + ln 𝑥) 𝑦 = 𝐶1 𝑒 2𝑥 + 𝐶2 𝑥𝑒 2𝑥 + 2𝑥𝑒 2𝑥 (−1 + ln 𝑥)

Sustituyendo las condiciones iniciales

b) 𝑦 ′′ + 𝑦 ′ − 6𝑦 = 10𝑒 𝑥 sin 𝑥 , 𝑦0 =

𝑦(1) = 0,

2

17

, 𝑦0′ = 0

𝑦′(1) = 1

𝑚2 + 𝑚 − 6 = 0

(𝑚 + 3)(𝑚 − 2) = 0 𝑚1 = 2

𝑚2 = −3

𝑦𝑐 = 𝐶1 𝑒 2𝑥 + 𝐶2 𝑒 −3𝑥 𝑊=|

𝑦1 𝑦2 𝑒 2𝑥 ′ ′| = | 𝑦1 𝑦2 2𝑒 2𝑥 𝑊1 = |

𝑦1 = 𝑒 2𝑥

𝑦2 = 𝑒 −3𝑥

𝑒 −3𝑥 | = 𝑒 2𝑥 (−3𝑒 −3𝑥 ) − 𝑒 −3𝑥 (2𝑒 2𝑥 ) = −3𝑒 −𝑥 − 2𝑒 −𝑥 = −5𝑒 −𝑥 −3𝑒 −3𝑥

0 𝑥 10𝑒 sin 𝑥

𝑊2 = | 𝑒 2𝑥 2𝑒 2𝑥

𝑒 −3𝑥 | = −𝑒 −3𝑥 (10𝑒 𝑥 sin 𝑥 ) = −10𝑒 −2𝑥 sin 𝑥 −3𝑒 −3𝑥

0 | = 𝑒 2𝑥 (10𝑒 𝑥 sin 𝑥) = 10𝑒 3𝑥 sin 𝑥 10𝑒 𝑥 sin 𝑥

𝑢1′ =

𝑊1 −10𝑒 −2𝑥 sin 𝑥 = = 2𝑒 −𝑥 sin 𝑥 𝑊 −5𝑒 −𝑥

𝑢′2 =

𝑊2 10𝑒 3𝑥 sin 𝑥 = −2𝑒 4𝑥 sin 𝑥 = −5𝑒 −𝑥 𝑊

𝑢1 = 2 ∫ 𝑒 −𝑥 sin 𝑥 𝑑𝑥 = −𝑒 −𝑥 (sin 𝑥 + cos 𝑥) 𝑢2 = −2 ∫ 𝑒 4𝑥 sin 𝑥 𝑑𝑥 = −2𝑒 4𝑥 (

4 1 cos 𝑥) sin 𝑥 − 17 17

4 1 sin 𝑥 − cos 𝑥)) 𝑒 −3𝑥 17 17 4 1 = 𝑒 𝑥 (sin 𝑥 + cos 𝑥) − 2𝑒 𝑥 ( sin 𝑥 − cos 𝑥) 17 17

𝑦𝑝 = (−𝑒 −𝑥 (sin 𝑥 + cos 𝑥))𝑒 2𝑥 + (−2𝑒 4𝑥 (

MARCELA LORENA ESTRELLA PAREDES

GRUPO A

𝑦 = 𝐶1 𝑒 2𝑥 + 𝐶2 𝑥𝑒 2𝑥 + 𝑒 𝑥 (sin 𝑥 + cos 𝑥) − 2𝑒 𝑥 (

ECUACIONES DIFERENCIALES

4

1 cos 𝑥) sin 𝑥 − 17

17 12. Encontrar yp en las siguientes ecuaciones de Cauchy-Euler por el método de variación de parámetros a) 𝑥 2 𝑦′′ − 𝑥𝑦′ = 4𝑥 2 𝑒 𝑥

Proponer la solución

𝑦 = 𝑥𝑚

𝑦′ = 𝑚𝑥 𝑚−1

Proponer la ecuación

Sustituir

𝑦 ′′ = 𝑚(𝑚 − 1)𝑥 𝑚−2 = (𝑚2 − 𝑚)𝑥 𝑚−2 𝑎𝑥 2 𝑦′′ + 𝑏𝑥𝑦 ′ + 𝑐𝑦 = 0

𝑎𝑥 2 ((𝑚2 − 𝑚)𝑥 𝑚−2) + 𝑏𝑥(𝑚𝑥 𝑚−1 ) + 𝑐𝑥 𝑚 = 0 𝑎𝑥 𝑚 (𝑚2 − 𝑚) + 𝑏𝑥 𝑚 𝑚 + 𝑐𝑥 𝑚 = 0 𝑥 𝑚 (𝑎𝑚2 − 𝑎𝑚 + 𝑏𝑚 + 𝑐) = 0 𝑎𝑚2 − 𝑎𝑚 + 𝑏𝑚 + 𝑐 = 0

𝑎𝑚2 + 𝑚(−𝑎 + 𝑏) + 𝑐 = 0

Escribiendo la ecuación caracteristica

Con los valores establecidos en la ecuación dada 𝑥2

𝑑𝑦 𝑑2𝑦 − 2𝑥 − 4𝑦 = 0 2 𝑑𝑥 𝑑𝑥

𝑎𝑚2 + 𝑚(−𝑎 + 𝑏) + 𝑐 = 0

1𝑚2 + 𝑚(−1 − 2) − 4 = 0 𝑚2 − 3𝑚 − 4 = 0

(𝑚 − 4)(𝑚 + 1) = 0 𝑚1 = 4

𝑚2 = −1

Como las raices son reales diferentes la solucion general es: 𝑦 = 𝐶1 𝑥 4 + 𝐶2 𝑥 −1

4 −1 𝑦1 𝑦2 𝑊 = | ′ 𝑦 ′ | = | 𝑥 3 𝑥 | = −𝑥 4 − 4𝑥 2 = −𝑥 2 (𝑥 2 + 4) 𝑦1 2 4𝑥 −1

MARCELA LORENA ESTRELLA PAREDES

GRUPO A

0 𝑥 −1 | = −4𝑥𝑒 𝑥 4𝑥 2 𝑒 𝑥 −1 3 0 𝑊2 = | 𝑥 2 | = 4𝑥 5 𝑒 𝑥 3𝑥 4𝑥 2 𝑒 𝑥 𝑊1 4𝑒 𝑥 −4𝑥𝑒 𝑥 𝑢1′ = 𝑥 3 + 4𝑥 = = 𝑊 −𝑥 2 (𝑥 2 + 4) 4𝑒 𝑥 = 𝑢1 = ∫ 3 𝑥 + 4𝑥 𝑊1 = |

𝑢′2 =

4𝑥 3 𝑒 𝑥 4𝑥 5 𝑒 𝑥 𝑊2 =− 2 = 2 2 𝑥 +4 𝑊 −𝑥 (𝑥 + 4)

𝑢2 = − ∫

4𝑥 3 𝑒 𝑥 = 4𝑥 3 𝑒 𝑥 (𝑥 2 + 4) + 𝑥2 + 4 𝑦𝑝 = 𝑦=

b) 𝑥 2 𝑦′′ − 4𝑥𝑦′ = 8𝑥𝑒 3𝑥

𝑙

Con los valores establecidos en la ecuación dada

𝑥 2 𝑦 ′′ − 4𝑥𝑦′ = 0

𝑎𝑚2 + 𝑚(−𝑎 + 𝑏) + 𝑐 = 0

1𝑚2 + 𝑚(−1 − 4) + 0 = 0 𝑚2 − 5𝑚 = 0 𝑚1 = 5

𝑚2 = 0

Como las raices son reales diferentes la solucion general es: 𝑦 = 𝐶1 𝑥 5 + 𝐶2

𝑦1 𝑦2 𝑥 5 1 | = −5𝑥 4 𝑊=| ′ ′| = | 𝑦1 𝑦2 5𝑥 4 0 0 𝑊1 = | 8𝑥𝑒 3𝑥

𝑊2 = | 𝑥 4 5𝑥 5

𝑢1′

=

1 | = −8𝑥𝑒 3𝑥 0

0 | = 8𝑥 6 𝑒 3𝑥 8𝑥𝑒 3𝑥

𝑊1 −8𝑥𝑒 3𝑥 8𝑒 3𝑥 = = 5𝑥 3 𝑊 −5𝑥 4

ECUACIONES DIFERENCIALES

MARCELA LORENA ESTRELLA PAREDES

GRUPO A

𝑢1 =

8

ECUACIONES DIFERENCIALES

𝑒 3𝑥 = ∫ 𝑥3

5 8 𝑥 2 𝑒 3𝑥 8𝑥 6 𝑒 3𝑥 5 = 4 =− −5𝑥 𝑊 8 2 3𝑥 𝑢2 = − ∫ 𝑥 𝑒 = 5

𝑢′2 = 𝑊2

𝑦𝑝 =

𝑦=

c) 𝑥 𝑦 − 𝑥𝑦 + 2𝑦 = 𝑥 ln 𝑥 2 ′′

′

Con los valores establecidos en la ecuación dada 𝑥2

𝑑2𝑦 𝑑𝑦 − 𝑥 + 2𝑦 = 0 2 𝑑𝑥 𝑑𝑥

𝑎𝑚2 + 𝑚(−𝑎 + 𝑏) + 𝑐 = 0

1𝑚2 + 𝑚(−1 − 1) + 2 = 0 𝑚2 − 2𝑚 + 2 = 0 (𝑚 − 1)2 = 0 𝑚1 = 𝑚2 = 1

Como las raices son reales diferentes la solucion general es: 𝑊=|

𝑦 = 𝐶1 𝑥 + 𝐶2 𝑥 ln 𝑥

𝑦1 𝑦2 𝑥 |=| 𝑦1′ 𝑦2′ 1

𝑥 ln 𝑥 | = 𝑥 + 𝑥 ln 𝑥 − 𝑥 ln 𝑥 = 𝑥 1 + ln 𝑥

0 𝑊1 = | 𝑥 ln 𝑥 𝑊2 = |

𝑢1 =

𝑦𝑝 = (−

𝑢1′ =

𝑥 1

𝑥 ln 𝑥 | = −(𝑥 ln 𝑥)2 1 + ln 𝑥 0 | = 𝑥 2 ln 𝑥 𝑥 ln 𝑥

𝑊1 −(𝑥 ln 𝑥)2 = −𝑥 ln2 𝑥 = 𝑥 𝑊

− ∫ 𝑥 ln2 𝑥 𝑢2′ =

𝑥 2 ln2 𝑥 𝑥 2 ln2 𝑥 𝑥 2 =− + − 4 2 2

𝑊2 𝑥 2 ln 𝑥 = 𝑥 ln 𝑥 = 𝑥 𝑊

𝑥 2 ln 𝑥 𝑥2 𝑢2 = ∫ 𝑥 ln 𝑥 = − 2 4

𝑥 2 ln2 𝑥 𝑥 2 ln2 𝑥 𝑥 2 𝑥 2 ln 𝑥 𝑥 2 + − )𝑥 +( − ) 𝑥 ln 𝑥 4 2 4 2 2

MARCELA LORENA ESTRELLA PAREDES

𝑦𝑝 = −

GRUPO A

𝑥 3 ln2 𝑥

ECUACIONES DIFERENCIALES

𝑥 3 ln 𝑥 𝑥 3 𝑥 3 ln2 𝑥 𝑥 3 4ln 𝑥 + − + − 2 𝑥 3 ln 𝑥 2 4 2 3 (ln 3 𝑥 − 1) 𝑥 𝑥 𝑦𝑝 = − = 4 4 4 𝑥3 (ln 𝑥 − 1) 𝑦 = 𝐶1 𝑥 + 𝐶2 𝑥 ln 𝑥 + 4...