Contante waarde een kapitaal met gebroken periodes PDF

Preview

Summary

Download Contante waarde een kapitaal met gebroken periodes PDF

Description

1. Contante waarde een kapitaal met gebroken periodes Introductie Contante-waardeberekeningen zijn het spiegelbeeld van Eindwaardeberekeningen. Bij eindwaardeberekeningen wordt van het heden naar de toekomst gerekend, bij contantewaardeberekeningen van de toekomst naar het heden. Bij contante-waardeberekeningen is de vraag welk kapitaal nu op samengestelde intrest moet worden uitgezet om op termijn de beschikking te hebben over een van tevoren vastgesteld bedrag. Bij eindwaardeberekeningen voor één kapitaal luidt de algemene vorm: Kn = K(1 + i)n waarbij: Kn = de eindwaarde van het kapitaal na n perioden; K = de beginwaarde van het kapitaal in periode 0; i = de samengestelde intrestvoet; n = het aantal perioden. Bij eindwaardeberekeningen vormt Kn steeds de onbekende grootheid, bij contante-waardeberekeningen is Kn daarentegen bekend en dient de parameter K berekend te worden. Na omzetting wordt de rekenregel dan:

In de financiële literatuur wordt hiervoor ook wel de volgende 'grote A'-schrijfwijze aangetroffen: K = Kn * An-p met: p = de samengestelde intrestvoet; n = het aantal perioden.

Voorbeeld Welk kapitaal moeten we op samengestelde intrest uitzetten om over 8,5 jaar de beschikking te hebben over € 10.000 bij een intrestvoet van 6% jaarlijks? Schematisch volgens het kasstroomdiagram:

Volgens de rekenregel krijgen we:

2. Contante waarde een kapitaal met jaarlijkse termijnen Introductie Contante-waardeberekeningen zijn het spiegelbeeld van Eindwaardeberekeningen. Bij eindwaardeberekeningen wordt van het heden naar de toekomst gerekend, bij contantewaardeberekeningen van de toekomst naar het heden. Bij contante-waardeberekeningen is de vraag welk kapitaal nu op samengestelde intrest moet worden uitgezet om op termijn de beschikking te hebben over een van tevoren vastgesteld bedrag. Bij eindwaardeberekeningen voor één kapitaal luidt de algemene vorm: Kn = K(1 + i)n waarbij: Kn = de eindwaarde van het kapitaal na n perioden; K = de beginwaarde van het kapitaal in periode 0; i = de samengestelde intrestvoet; n = het aantal perioden. Bij eindwaardeberekeningen vormt Kn steeds de onbekende grootheid, bij contante-waardeberekeningen is Kn daarentegen bekend en dient de parameter K berekend te worden. Na omzetting wordt de rekenregel dan:

In de financiële literatuur wordt hiervoor ook wel de volgende 'grote A'-schrijfwijze aangetroffen: K = Kn * An-p met: p = de samengestelde intrestvoet; n = het aantal perioden.

Voorbeeld Welk kapitaal moeten we op samengestelde intrest uitzetten om over acht jaar de beschikking te hebben over € 10.000 bij een intrestvoet van 6% jaarlijks? Schematisch volgens het kasstroomdiagram:

Volgens de rekenregel krijgen we:

3. Contante waarde eindige discontinue reeks betalingen Introductie Onder een discontinue reeks verstaan we een reeks waarbij betalingen niet periodiek, met gelijke intervallen plaatsvinden.

Voorbeeld Bereken – bij een constante intrestvoet van 5% – de contante waarde van de volgende onregelmatige reeks:  per het eind van het tweede jaar vindt een eerste betaling plaats van € 10.000;  per het eind van het vierde en per het eind van het zevende jaar wordt een bedrag van € 5.000 betaald. Schematisch volgens het kasstroomdiagram:

Volgens de algemene rekenregels krijgen we dan de volgende uitwerking:

4. Contante waarde eindige reeks met wisselende rentevoet Introductie Uitgangspunt voor deze berekening is het werkblad Berekening contante waarde van eindige reeksen met wisselende bedragen. Verschil is dat er in deze berekening sprake is van een wisselende rentevoet in plaats van groei van de jaarlijkse bedragen.

Voorbeeld Bereken de contante waarde van een dadelijk ingaande postnumerando reeks van zeven te ontvangen jaartermijnen van € 1.000. De rente bedraagt de eerste vier termijnen 5,5% en de laatste drie termijnen 6%. Schematisch volgens het kasstroomdiagram:

Oplossing: Van elk der betalingen moeten we de contante waarde berekenen per het begin van het eerste jaar:

5. Contante waarde oneindige groeireeks ntroductie Voor de contante waarde van een reeks eeuwigdurende en gelijke betalingen kunt u gebruik maken van de formule voor de limiet van de som van een oneindig afdalende reeks:

waarbij: a = de eerste term van de meetkundige reeks; r = de reden van de meetkundige reeks. Is sprake van een oplopende reeks van betalingen met een vaste groeivoet `g', dan is de volgende – aangepaste – vergelijking van toepassing:

waarbij: C = de eerste cashflow in de reeks; d = de disconteringsvoet; g = de constante groeivoet.

Voorbeeld Bereken op 1 januari 2007 de contante waarde van een eeuwigdurende reeks jaarlijkse ontvangsten die groeit met 2% en bij aanvang € 1.000 groot is. De intrestvoet is 5% en de reeks gaat in vanaf 1 januari 2008 (postnumerando!). Van elk der ontvangsten van € 1.000 moeten we dus de contante waarde berekenen per het begin van het eerste jaar. Schematisch volgens het kasstroomdiagram:

Toepassing van formule geeft:

6. Contante waarde reeks betalingen plus een eindkapitaal Introductie Er zijn twee soorten contante-waardeberekeningen:  de contante waarde van een reeks betalingen;  de contante waarde van één eindkapitaal. De contante waarde van een reeks betalingen Hiervoor geldt, uitgaande van een afdalende meetkundige reeks:

waarbij: a = de eerste term van de meetkundige reeks; r = de reden van de meetkundige reeks; n = het aantal termen van de meetkundige reeks.

De contante waarde van één eindkapitaal Hiervoor geldt:

waarbij: Kn = de eindwaarde van het kapitaal na n perioden; K = de beginwaarde van het kapitaal in periode 0; i = de samengestelde intrestvoet; n = het aantal perioden.

Voorbeeld Bereken de contante waarde van een dadelijk ingaande postnumerando reeks van zeven te ontvangen jaartermijnen elk groot € 1.000 bij een intrestvoet van 5,5% plus één eindkapitaal na acht jaar van € 10.000.

De schematische weergave volgens het kasstroomdiagram:

Van elk der betalingen van € 1.000 moeten we de contante waarde berekenen per het begin van het eerste jaar. De reeks ziet er als volgt uit:

Invulling van de formule voor de afdalende reeks geeft vervolgens:

Invulling van de formule voor het eindkapitaal na acht jaar geeft:

7. Contante waarde reeks gelijke betalingen Introductie De contante waarde van een reeks eeuwigdurende en gelijke betalingen (in de praktijk vaak in de vorm van een 'afkoopsom') kunnen we bepalen door gebruik te maken van de formule voor de limiet van de som van een oneindig afdalende reeks:

waarbij: a = de eerste term van de meetkundige reeks; r = de reden van de meetkundige reeks.

Voorbeeld 1 Bereken op 1 januari 2008 de contante waarde van een eeuwigdurende reeks jaarlijkse ontvangsten groot € 1.000 bij een intrestvoet van 5% en ingaande vanaf 1 januari 2009 (postnumerando!). Van elk der ontvangsten van € 1.000 moeten we dus de contante waarde berekenen per het begin van het eerste jaar. Schematisch volgens het kasstroomdiagram:

Toepassing van formule geeft:

Voorbeeld 2 Wat is de contante waarde van een eeuwigdurende ontvangstreeks groot € 500 op 1 januari 2008 indien de eerste betaling moet plaatsvinden op 1 januari 2015 en zo vervolgens elk jaar op 1 januari. De intrest bedraagt 6%. Schematisch volgens het kasstroomdiagram:

Toepassing van formule voor de oneindig dalende reeks geeft:

Bij de berekening in Excel van dit voorbeeld maken we 'dubbel' gebruik van de basisformule HW: één maal over de oneindige reeks minus een correctie voor de eerste zes jaar.

8. Contante waarde reeks regelmatige betalingsreeksen Introductie Bij contante-waardeberekeningen van betalingsreeksen is de vraag welke betalingen op samengestelde intrest moeten worden uitgezet om op termijn de beschikking te hebben over een vooraf vastgesteld bedrag. Bij de contante waarde van een reeks betalingen is, evenals bij de eindwaarde van een reeks, het volgende van belang.  Elk van de betalingen noemt men een termijn, terwijl het tijdsverloop tussen twee opeenvolgende termijnen als periode wordt aangeduid.  Vervallen de betalingen aan het begin van de perioden, dan spreken we van prenumerandobetalingen; vervallen ze daarentegen aan het eind van de perioden, dan spreken we van postnumerando betalingen. Ook bij de contante-waardeberekening van een regelmatige reeks betalingen rekenen we weer met de algemene formule voor een afdalende meetkundige reeks:

waarbij:

a = de eerste term van de meetkundige reeks; r = de reden van de meetkundige reeks; n = het aantal termen van de meetkundige reeks. In de financiële literatuur wordt hiervoor ook wel de volgende 'kleine a'-schrijfwijze gebruikt: CW = termijnbedrag * an-p met: p = de samengestelde intrestvoet; n = het aantal perioden.

Voorbeeld 1 Bereken de contante waarde van een dadelijk ingaande postnumerando reeks van zeven te ontvangen jaartermijnen van elk € 1.000 bij een intrestvoet van 5,5% per jaar. Schematisch volgens het kasstroomdiagram:

Van elk der betalingen van € 1.000 moeten we in dit geval de contante waarde berekenen per het begin van het eerste jaar:

Invulling van de formule voor een afdalende meetkundige reeks geeft:

Voorbeeld 2 Bereken de contante waarde van een vijf jaar uitgestelde reeks postnumerando ontvangsten groot € 400 die gedurende zes jaar wordt uitbetaald bij een intrestvoet van 4% per jaar. Schematisch volgens het kasstroomdiagram:

Hierbij passen we de formule voor de afdalende reeks 'dubbel' toe: één keer over de totale periode van elf termijnen, minus een correctie voor de eerste vijf termijnen.

9. Contante waarde van eindige reeksen met wisselende bedragen Introductie

Uitgangspunt voor deze berekening is het werkblad Berekening contante waarde van regelmatige betalingsreeksen. Verschil is dat er in deze berekening sprake is van een groei voor de bedragen met jaarlijks 2%.

Voorbeeld Bereken de contante waarde van een dadelijk ingaande postnumerando reeks van zeven te ontvangen jaartermijnen, waarbij de termijnen groeien met 2% en waarbij de eerste termijn € 1.000 bedraagt. De rente bedraagt 5,5% per jaar. Schematisch volgens het kasstroomdiagram:

Oplossing: Van elk der betalingen moeten we de contante waarde berekenen per het begin van het eerste jaar:...