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Contenido 3.6 Aplicaciones del movimiento armónico simple 1) Obtenga la longitud de un péndulo simple cuyo periodo es 1.00 s en un lugar donde g  9.82 m s 2 . 2) Un péndulo simple de 1.53 m de longitud realiza 72 oscilaciones en 180 s en cierto lugar. Encuentre la aceleración debida a la gravedad e...

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Contenido 3.6 Aplicaciones del movimiento armónico simple 1)

Obtenga la longitud de un péndulo simple cuyo periodo es 1.00 s en un lugar donde g  9.82 m s 2 .

2)

Un péndulo simple de 1.53 m de longitud realiza 72 oscilaciones en 180 s en cierto lugar. Encuentre la aceleración debida a la gravedad en ese punto.

3)

El hecho de que g varíe de un lugar a otro en la superficie terrestre atrajo la atención cuando en 1672 Jean Richer llevó un reloj de péndulo de París a Cayena, la Guayana Francesa, y descubrió que perdía 2.5 min/ día . Si g  9.81m s 2 en París, calcule g en Cayena.

4)

El periodo de un péndulo simple está dado por la serie en la ecuación m m  L  1 32   .....  . T  2 sen 2 sen 4 1  g 

22

2

2 24 2

2



a) ¿Para qué valor de  m es el segundo término de la serie igual a 0.02?

b) ¿Qué valor tiene el tercer término de la serie en esta amplitud? Resnick 27-5 ejercicio 5)

Una bola de demolición de 2500 kg oscila del extremo de una grúa, como se aprecia en la figura. El segmento oscilante del cable mide17.3 m . Encuentre el periodo de oscilación suponiendo que el sistema puede tratarse como un péndulo simple.

6)

Un aro circular de 65.3 cm de radio y 2.16 kg de masa está suspendido de un clavo horizontal. a) Calcular la frecuencia de oscilación para desplazamientos pequeños desde el equilibrio. b) ¿Cuál es la longitud del péndulo simple equivalente?

7)

Un ingeniero desea hallar la inercia rotacional de un objeto de forma irregular de 11.3 kg de masa respecto a un eje que pase por su centro de masa. El objeto está soportado con un alambre que pasa por su centro de masa y a lo largo del eje

N m . El ingeniero rad observa que este péndulo de torsión efectúa 20 ciclos completos en 48.7 s . ¿Qué deseado. El alambre tiene una constante de torsión k  0.513

valor se calcula para la inercia de rotación?

8)

9)

Un péndulo físico consta de un disco sólido uniforme de masa M  563 g y radio R  14.4 cm soportado en un plano vertical por un pivote situado a una distancia d  10.2 cm del centro del disco, como se muestra en la figura. El disco se desplaza un pequeño ángulo y luego se suelta. Halle el período del movimiento armónico simple resultante.

Una esfera sólida de 95.2 kg con un radio de14.8 cm está suspendida de un alambre vertical unido al techo de una sala. Se requiere una torca de 0.192 N  m para retorcer a la esfera en un ángulo de 0.850 rad . Halle el período de oscilación cuando la esfera se suelte desde está posición.

10) Se cuelga un aro delgado de un clavo horizontal y realiza una oscilación completa con ángulo pequeño una vez cada 2.0 s , ¿qué radio debe tener el aro?

11) Una llave inglesa de 1.80 kg está pivotada a 0.250 m de su centro de masa y puede oscilar como péndulo físico. El periodo para oscilaciones de ángulo pequeño

es de 0.90 s . a) ¿Qué momento de inercia tiene la llave respecto a un eje que pasa por el pivote?; b) Si la llave inicialmente se desplaza 0.400 rad de la posición de equilibrio, ¿qué rapidez angular tiene al pasar por dicha posición?

12) Un péndulo físico consta de una barra de un metro pivotada en un pequeño orificio taladrado a través de la barra de una distancia x de la marca de 50.0 cm . Se observa que el período de oscilación es de 2.50 s . Halle la distancia x .

13) Un péndulo físico en forma de cuerpo plano exhibe un MAS con una frecuencia de 1.5 Hz . Si el péndulo tiene una masa de 2.2 kg y el pivote se localiza a 0.35 m del CM. Calcule el momento de inercia del péndulo.

14) Una barra uniforme se halla pivoteada en un extremo. Si la barra oscila con MAS, calcule su longitud para que su período sea igual al de un péndulo simple de 1m de longitud.

15) Un péndulo consta de un disco uniforme de 10.3 cm de radio y 488 g de masa unido a una barra de 52.4 cm de longitud que tiene una masa de 272 g ; ver figura. Calcule: a) la inercia rotacional del péndulo respecto al pivote; b) ¿Cuál es la distancia entre el pivote y el centro de masa del péndulo?, c) calcule el período de oscilación para ángulos pequeños.

16) Se forma un péndulo al pivotar una barra larga de longitud L y masa m en torno a un punto en la barra que está a una distancia “ d ” sobre el centro de la varilla. a) Halle el período de pequeña amplitud de este péndulo en términos de d , L ,

m y g.

b) Demuestre que el período tiene un valor mínimo cuando d  0.289 L .

Contenido 3.7 Movimiento armónico amortiguado 17) En el sistema mostrado en la figura, el bloque tiene una masa de1.52 kg y la constante de fuerza es de 8.13 N / m . La fuerza de fricción está dada por - b ( dx / dt ) , donde b  227 g / s . Supóngase que el bloque se jala hacia un lado una distancia de 12.5 cm y luego se suelta. Calcule: a) el intervalo de tiempo necesario para que la amplitud disminuya a un tercio de su valor inicial; b) ¿Cuántas oscilaciones efectúa el bloque en este tiempo?

18) Un oscilador armónico amortiguado consta de un bloque (m  1.91 kg) , un resorte ( k  12.6 N / m) , y una fuerza de amortiguamiento F  - bv . Inicialmente, oscila

con una amplitud de 26.2 cm ; a causa del amortiguamiento, la amplitud disminuye a tres cuartas partes de este valor inicial después de cuatro ciclos completos. a) ¿Cuál es el valor de b ? b) ¿Cuánta energía se ha “perdido” durante estos cuatro ciclos?

19) Un ratón de 0.300 kg , se mueve en el extremo de un resorte con constante de fuerza k  2.50 N / m , sometido a la acción de una fuerza amortiguadora

F x  bv x . a) si b  0.900 kg / s , ¿qué frecuencias de oscilación tiene el ratón?; b)

¿con qué valor de b la amortiguación será critica?

20) Un huevo duro (cocido) de 50.0 g se mueve en el extremo de un resorte con k  25.0 N / m su desplazamiento inicial es de 0.300 m . Una fuerza amortiguadora

Fx  bvx actúa sobre el huevo, y la amplitud del movimiento disminuye a 0.100 m en 5.00 s . Calcule la constante de amortiguación b .

21) Una masa de 0.400 kg se mueve en el extremo de un resorte con k  300 N / m , sometido a la acción de una fuerza amortiguadora F x  - b . Si b  9.00 kg / s a) ¿Qué frecuencia de oscilación tiene la masa? b) ¿Con qué valor de b la amortiguación será crítica?

22) Una masa de 0.200 kg se mueve en el extremo de un resorte con k  400 N / m . Su desplazamiento inicial es de 0.300 m . Una amplitud del movimiento disminuye a 0.100 m en 5.00 s . Calcule la constante de amortiguación b .

23) Un péndulo de 1.00 m de longitud se suelta desde un ángulo inicial de 15.0 o . Después de 1000 s , debido a la fricción su amplitud se ha reducido a 5.5 0 . ¿Cuál b / 2m ? es el valor de

Contenido 3.8 Oscilaciones forzadas y resonancia 24) Una masa de 2.00 kg unida a un resorte es accionada por una fuerza externa en newton, dada por F  3.00 c os (2  t ) . Si la constante de fuerza del resorte es 20.0 N / m y no hay amortiguamiento determine: a) El período b) La amplitud del movimiento.

25) Un peso de 40.0 N se suspende de un resorte cuya constante de fuerza es de 200 N / m . El sistema es no amortiguado y se somete a una fuerza armónica de 10.0 Hz de frecuencia, lo que origina una amplitud de movimiento forzado de 2.00 cm , determine el valor máximo de la fuerza.

26)

Calcule la frecuencia de resonancia de: a) Una masa de 2 kg unida a un resorte de constante 240 N / m . b) Un péndulo simple de 1.5 m de longitud.

D. Problemas Propuestos. Contenido 4.2 Ondas viajeras 1.

Escriba una expresión que describa a una onda transversal que viaje a lo largo de una cuerda en la dirección  x con una longitud de onda de 11.4 cm , una frecuencia de 385 Hz y una amplitud de 2.13 cm .

2.

Una onda tiene una rapidez de 243 m s y una longitud de onda de 3.27 cm . Calcule a) su frecuencia y b) su período.

3.

Al mecer un bote, un niño produce ondas superficiales del agua en un lago tranquilo hasta ese momento. Se observa que el bote realiza 12 oscilaciones en 30 s , y también que en 5.0 s una cresta de onda llega a la playa situada a 15 m de distancia. Encuentre a) frecuencia, b) la velocidad, c) la longitud de onda de las olas.

4.

Una onda senoidal se propaga a través de una cuerda. Un punto tarda 178 ms en pasar del desplazamiento máximo al desplazamiento cero. La longitud de onda es 1.38 m . Determine a) el periodo, b) la frecuencia y c) la rapidez de la onda.

5.

La ecuación de una onda transversal que se desplaza por una cuerda muy larga

y   6.0 cm  sen   2.0 rad m  x 

 4.0 rad s  t 

  . Calcule a) está dada por la amplitud, b) la longitud de onda, c) la frecuencia, d) la velocidad, e) la dirección de propagación de la onda, f) la velocidad transversal máxima de una partícula de la cuerda.

6.

y   2.30 mm  sen   1822 rad m  x   588 rad s  t 

La ecuación de una onda transversal que se desplaza por una cuerda está dada

  . Calcule a) la por amplitud, b) la longitud de onda, c) la frecuencia, d) la velocidad, e) la rapidez transversal máxima de una partícula de la cuerda.

Contenido 4.3 Rapidez de onda en una cuerda estirada 7.

8.

9.

Calcule la rapidez de una onda transversal en una cuerda de 2.15 m de longitud y una masa de 62.5 g bajo la tensión de 487 N .

Ondas transversales con una rapidez de 50 m s se producen en una cuerda tensa. Se usa una cuerda de 5.0 m de longitud con una masa total de 0.06 kg . ¿Qué tensión se requiere en la cuerda?

La rapidez de una onda en una cuerda es 172 m s cuando la tensión es 123 N . ¿A qué valor debemos aumentar la tensión si queremos elevar la velocidad a

180 m s ?

10. La tensión en una cuerda de 15 m de longitud es 20 N . La rapidez de la onda transversal medida en la cuerda es de 60 m s . Calcule la masa total de la cuerda.

11. Un alambre de 10.3 m de largo y con una masa de 97.8 g , es estirado bajo una

tensión de 248 N . Si en sus extremos se generan dos pulsos separados en el

tiempo por 29.6 ms ¿dónde se encontrarán los pulsos?

y   1.8 mm  sen   23.8 rad m  x   317 rad s  t 

12. La ecuación de una onda transversal en una cuerda tiene por expresión: . La cuerda está bajo la

tensión de 16.3 N . Determine su densidad lineal de masa.

13. La cuerda 1 tiene densidad lineal de masa de 3.31 g m y la 2 una densidad de

masa lineal de 4.87 g m . Están bajo tensión debido a un bloque suspendido de masa M  511 g como se muestra en la figura (a); a) calcule la rapidez de onda

en ellas, b) El bloque se divide ahora en dos (con

M1 M 2 M

se rearregla como se indica en la figura (b). Determine rapidez de onda de las dos cuerdas sea igual.

), y el aparato

M 1 y M 2 , tal que la

 0  x  . Se incluye una gráfica del desplazamiento en función

14. Una onda transversal armónica simple se propaga a través de una cuerda hacia la dirección izquierda

de la posición en el tiempo t  0 . La tensión de la cuerda es 3.6 N y su densidad

lineal es 25 g m . Calcule a) la amplitud, b) la longitud de onda, c) la rapidez de onda, d) el periodo, e) la rapidez máxima de una partícula en la cuerda, f) Escriba la ecuación que describe a la onda viajera.

Contenido 4.4 Energía en el movimiento ondulatorio 15. Una cuerda tiene una masa de 0.18 kg y una longitud de 3.6 m . ¿Qué potencia debe suministrarse para generar ondas armónicas que tengan una amplitud de 0.1 m y una longitud de onda de 0.5 m y que viajen con una rapidez de 30 m s ?

16.

Un observador mide una intensidad de 1.13 W / m 2 a una distancia desconocida, de una fuente de ondas esféricas cuya salida de potencia se ignora. El observador camina 5.30 m acercándose a la fuente, y mide una intensidad de 2.41W m 2 en este nuevo lugar. Calcule la salida de potencia de la fuente.

17.

Una cuerda de 2.72 m de largo, tiene una masa de 263 g . Su tensión es 36.1 N . ¿Cuál debe ser la frecuencia de las ondas viajeras de 7.70 mm de amplitud, a fin de que la potencia transmitida promedio sea 85.5 W ?

18. Un alambre de piano con masa de 3.00 g y la longitud de 80.0 cm se estira con una tensión de 25.0 N . Una onda con frecuencia de 120.0 Hz y amplitud de

1.6 mm viaja por el alambre. a) Calcule la potencia media que transporta esta

onda, b) ¿Qué sucede con la potencia media si se reduce a la mitad la amplitud de la onda?

Contenido 4.6 Interferencia de ondas 19. Dos pulsos se desplazan a lo largo de una cuerda en dirección contraria, como se

muestra en la figura; a) si la rapidez de onda es 2.0 m s y si los pulsos están a una distancia de 6.0 cm , dibuje los patrones al cabo de 5.0 , 10 , 15 , 20 y 25 ms , b)

¿Qué sucede con la energía en t  15 ms ?

 x - 200 t  cm    x - 200 t  -   cm

Y1  5 sen 

20. Dos ondas armónicas se describen mediante las ecuaciones:

Y 2  5 sen Donde: x ,

Y1

Y2

está en metros y t en segundos.

a) ¿Cuál es la amplitud de la onda resultante cuando    / 6 ? y

b) ¿Para qué valor de  , la amplitud de la resultante tendrá un valor máximo?

21. Se muestra dos pulsos ondulatorios rectangulares en una cuerda estirada que viajan uno hacia el otro. Su rapidez es de 1.00 mm s y sus dimensiones se muestran en la figura. Los bordes delanteros de los pulsos están separadas

8.00 mm en t  0 . Dibuje la forma de la cuerda en t  4.00 s , t  6.00 s y t  10.0 s .

Y1  3.0 sen   x  0.60 t  cm

22. La descripción de dos ondas armónicas es:

Y2  3.0 sen   x-0.60 t  cm

Determine el desplazamiento máximo del movimiento resultante en: a) x  0.25 cm b) x  1.5 cm c) Obtenga los tres valores más pequeños de x que corresponden a antinodos.

23. ¿Qué diferencia de fase entre dos ondas viajeras idénticas en las demás dimensiones que siguen la misma dirección en una cuerda estirada, originará una onda combinada con una amplitud 1.65 veces la de la amplitud común de las dos ondas combinadas? Exprese su respuesta en grados y en radianes.

Contenido 4.7 Ondas estacionarias en una cuerda 24. La ecuación de una onda transversal que se desplaza por una cuerda está dada por y   0.15 m  sen  0.79 rad m  x  13 rad s  t  . a) ¿Cuál es desplazamiento en

x  2.3 m , t  0.16 s ? b) Escriba la ecuación de una onda que, al ser sumada a la

onda en cuestión, produciría ondas estacionarias en la cuerda, c) ¿Cuál es el desplazamiento de la onda estacionaria resultante en x  2.3 m , t  0.16 s ?

25. Una cuerda fija en ambos extremos mide 8.36 m de largo y tiene una masa de 122 g . Está sujeta a una tensión de 96.7 N y se hace vibrar: a) ¿ Qué rapidez tienen las ondas en la cuerda?, b) ¿Cuál es la longitud de onda de la onda estacionaria más larga posible?, c) Indique la frecuencia de esa onda.

26. Una onda estacionaria se forma por la interferencia de las dos ondas viajeras que se citan a continuación, cada una de las cuales tiene una amplitud A =  cm, coeficiente de propagación k = (  /2) cm-1 y frecuencia angular de 10  rad/s. a) Calcule la distancia entre los dos primeros antinodos, b) ¿Cuál es la amplitud de la onda estacionaria en x = 0.25 cm?

27. Una onda estacionaria se genera en una cuerda de 120 cm de longitud que está sujeta por sus extremos. La cuerda vibra en cuatro segmentos cuando se excita a 120 Hz. a) Determine la longitud de la onda. b) ¿Cuál es la frecuencia fundamental?

28. Una cuerda tensa tiene una longitud de 160 m y una densidad lineal de 0.015 g/cm, ¿Qué tensión en la cuerda dará como resultado una segunda armónica de 460 Hz?

29. Una cuerda de nylon de una guitarra tiene una densidad de masa lineal de 7.16

g m , y se halla bajo una tensión de 152 N. Los soportes fijos están separados por

una distancia de 89.4 cm. La cuerda vibra en el patrón de onda estacionaria que se muestra en la figura. Calcule: a) la rapidez b) la longitud de onda c) la frecuencia de las ondas componentes cuya superposición da origen a esta vibración.

y   0.520 cm sen 1.14 rad cm x  cos 137 rad s  t  .

30. Una

cuerda

vibra

según

la

ecuación

a) ¿Cuáles son la amplitud y rapidez de las ondas componentes, cuya superposición puede dar origen a esta vibración? b) Calcule la distancia entre los nodos. c) ¿Qué velocidad tiene una partícula de la cuerda en la posición x  1.47 cm en el tiempo t  1.36 s ?

31. Una cuerda de violín de 15.0 cm, fija por ambos extremos, vibra en su modo n  1

. La rapidez de las ondas en este alambre es de 250 m s , y la del sonido en el aire

es de 348 m s ¿Cuáles son?: a) la frecuencia b) la longitud de onda de la onda sonora emitida.

32. ¿Cuáles son las tres frecuencias más bajas de las ondas estacionarias en un alambre de 9.88 m de largo que tiene una masa de 0.107 kg, y que estiramos con una tensión de 236 N?

33. Un alambre de 1.48 m de largo tiene una masa de 8.62 g, y se halla bajo una tensión de 122 N. Está sostenido rígidamente en ambos extremos y se hace vibrar. Calcule: a) la rapidez de las ondas en el alambre. b) la longitud de onda de las ondas que producen ondas estacionarias de uno y dos ciclos en el alambre. c) las frecuencias de las ondas en b)

Contenido 4.8 Ondas sonoras 34. Una onda longitudinal senoidal continua se envía a lo largo de un resorte enrollado desde una fuente vibratoria conectada a él. La fuente tiene una frecuencia de 25 Hz y la distancia entre las rarefacciones sucesivas del resorte es 24 cm . a) Determine la velocidad de onda, b) Si el desplazamiento longitudinal máximo en el resorte es 0.30 cm y si la onda sigue la dirección  x, escriba la ecuación correspondiente. Suponga que la fuente se encuentra en x  0 y que el desplazamiento s  0 en la fuente cuando t  0 .

  1.48 Pa  sen 1.07  rad m  x   334  rad s  t  .

35. La

presión

en

la

onda

sonora

viajera

está

dada

por

la

Encuentre

ecuación a)

la

amplitud de presión, b) la frecuencia, c) la longitud de onda, d) la rapidez de onda.

36. Una columna de soldados, que marcha a 120 pasos por minuto, mantiene el ritmo con la música de una banda a la vanguardia . Se observa que los hombres de la retaguardia avanzan con el pie izquierdo cuando los de la banda lo hacen derecho. ¿Qué longitud aproximada tiene la columna?

37. Asiste usted a un gran concierto al aire libre y está sentado a 300 m del micrófono del escenario. Vía satélite, a todo el mundo se transmite el concierto en vivo en estéreo. Supóngase que un oyente se encuentra a 5, 000 km de distancia. ¿Quién de ustedes escucha primero la música y con qué diferencia de tiempo?

38. Los sismos generan ondas sonoras en la tierra. A diferencia del gas, hay ondas transversales S  y longitudinales P  en un sólido. Por lo regular la rapidez aproximada de las primeras es 4.5 km s y la de las segundas es 8.2...