Movimiento armonico simple y subamortiguado PDF

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Facultad de Química, UNAM Departamento de Física y Química Teórica Laboratorio de Fundamentos de Espectroscopia (1309) Semestre 2018- Grupo 02PRÁCTICAS #1, #2 Y #3: MOVIMIENTO ARMÓNICO: SIMPLE (LEY DE HOOKE Y PÉNDULO SIMPLE) Y SUBAMORTIGUADO.Profesor titular: Dra. Ivonne Rosales ChávezAlumnos: ● Gon...

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Facultad de Química, UNAM Departamento de Física y Química Teórica Laboratorio de Fundamentos de Espectroscopia (1309) Semestre 2018-1 Grupo 02

PRÁCTICAS #1, #2 Y #3: MOVIMIENTO ARMÓNICO: SIMPLE (LEY DE HOOKE Y PÉNDULO SIMPLE) Y SUBAMORTIGUADO. Profesor titular: Dra. Ivonne Rosales Chávez

●

Alumnos: González Monfil Efrén David ● López Pérez Emilia

Miércoles 04 de Octubre de 2017 INTRODUCCIÓN Un resorte es un operador elástico capaz de almacenar energía y desprenderse de ella sin sufrir deformación permanente cuando cesan las fuerzas o la tensión a las que es sometido La manera más sencilla de analizar un resorte físicamente es mediante su modelo ideal global y bajo la suposición de que éste obedece la Ley de Hooke. Se establece así la ecuación del resorte, donde se relaciona la fuerza F ejercida sobre el mismo con el alargamiento/contracción o elongación "x" producida, del siguiente modo: Donde k es la constante de elongación del sistema. Si se vence esta constante aplicando una fuerza muy grande, se puede llegar a que el resorte deje de comportarse como tal. Oscilador armónico simple Una oscilación es un movimiento en el que un cuerpo se balancea en forma de vaivén pasando siempre por la misma trayectoria. Para un sistema que presenta este movimiento se le pueden aplicar ciertos modelos que permitan describir sus propiedades, entre los que se encuentra el modelo del oscilador armónico simple. Este modelo describe un caso ideal en el que no existe pérdida de energía ni alteraciones de la trayectoria. Debidas estas condiciones es posible describir su trayectoria a partir de la solución de la siguiente ecuación diferencial:

Donde k es la constante de fuerza del resorte y m la masa acoplada al sistema. Siendo: Una solución a dicha ecuación, en la que ω es la frecuencia angular, φ es el ángulo de fase y A la amplitud /máxima. Dado que esta función se repite después de un lapso de tiempo 2π/definida como el período T en el que realiza una oscilación, ésta puede definirse como:

Oscilador armónico amortiguado Ya que el oscilador armónico simple sólo funciona para sistemas ideales, el modelo del oscilador armónico amortiguado es un mejor acercamiento a la realidad, ya que este modelo considera las fuerzas de fricción sobre el oscilador. La fuerza neta sobre el cuerpo oscilatorio es la suma de la fuerza de restitución –kx y la fuerza de amortiguamiento, la cual se asume con una forma –bv, donde v es una constante positiva la cual depende de las propiedades del agente que genera la fricción

La cual tiene como una posible solución la siguiente ecuación:

Donde

Esta ecuación representa la forma en la que el sistema disipa energía a través del tiempo

Figura 1: Movimiento armónico amortiguado. El desplazamiento x se grafica contra el tiempo t considerando que la constante de fase φ sea 0. El movimiento es oscilatorio, pero la amplitud disminuye exponencialmente con el tiempo

OBJETIVOS ● Visualizar y comprender el comportamiento del movimiento armónico simple, Ley de Hooke y péndulo simple, y del movimiento armónico subamortiguado. ● Mediante distintos resortes y diferentes masas acopladas, medir la elongación provocada por diferentes cantidades de masa (método estático), así como el periodo vinculado al proceso (método dinámico) y, a partir de estos datos, determinar el valor de la constante de rigidez asociada a cada resorte (k). ● Mediante el uso de la aplicación Phyphox, obtener el periodo de oscilación de un péndulo simple bifilar de ángulo pequeño asociado a la longitud del mismo y con ello, mediante un ajuste por cuadrados mínimos, determinar el valor de la gravedad. ● Determinar si las relaciones son lineales o no. Establecer el mecanismo para linealizar las gráficas correspondientes y realizar un ajuste por cuadrados mínimos para obtener la constante de fuerza del resorte y el valor de la gravedad, respectivamente. ● Determinar el coeficiente de amortiguamiento de aire, b. HIPÓTESIS ● Se obtendrán las constantes de restitución correspondientes a cada resorte. En el caso del método estático la relación será lineal, mientras que en el método dinámico habrá que linealizar los pares de datos.

●

●

●

El valor de aceleración de la gravedad en el lugar donde se llevó a cabo el experimento será distinto al del nivel del mar (9.81 m/s2), pues las condiciones del lugar donde se llevará a cabo el experimento son distintas . La relación entre el periodo al cuadrado, T2, y la masa multiplicada por 4π2, 4π2m, será equivalente a la relación entre el desplazamiento del resorte, x, y la componente del peso, mg, para los procesos dinámico y estático. La amplitud de cualquier resorte oscilatorio o péndulo en balanceo reales disminuirá lentamente con el tiempo hasta que las oscilaciones se detengan por completo.

MATERIAL Y EQUIPO P1. Ley de Hooke y movimiento armónico simple: ● Flexómetro y escuadras. ● Caja de resortes. ● Juego de pesas. ● Rondanas de diferentes masas. ● Masking tape. ● Soporte universal. ● Pinza de tres dedos. ● Fotocompuerta. Tabla 1. Características metrológicas de los instrumentos empleados en la práctica #1. Características

Fotocompuerta

Flexometro

Marca

SMART TIMER PASCO scientific

Truper

Modelo

ME-8930

FH-5M

Mensurando

Periodo asociado al movimiento del resorte

Elongación del resorte

Unidades

Segundo [s]

Centímetro [cm]

Valor nominal

9999999

500

Intervalo de indicación

0-9999999

0-500

Resolución

0.0001

0.05

P2. El péndulo simple: ● Teléfono inteligente con la instalación Phyphox. ● Computadora personal. ● Alambre de cobre de bajo calibre. ● Transportador. ● Regla. ● Botella de plástico, ● Soporte para el sistema (dos bancos, un palo de madera y cinta gris). Tabla 2. Características metrológicas de los instrumentos empleados en la práctica #2. Características Regla Transportador Marca OFFICE DEPOT Arly Modelo F604 5011 Mensurando

Longitud del alambre

Ángulo de inclinación para inicio de oscilación

Unidades

Centímetro [cm]

Grado [°]

Valor nominal

30

180

Intervalo de indicación

0-30

0-180

Resolución

0.05

0.5

P3. Movimiento armónico subamortiguado: ● Teléfono inteligente con la instalación Phyphox. ● Computadora personal. ● Resorte, liga o cualquier material elástico. ● Funda para celular. ● Soporte para el sistema. DESARROLLO EXPERIMENTAL P1. Ley de Hooke y movimiento armónico simple.

Figura 2: Sistema montado para el método estático Para el método estático se montó un sistema como el de la figura 2, en el cual se medirá la elongación del resorte variando la masa.

Figura 3: Sistema montado para el método dinámico En el método dinámico se adaptó una fotocompuerta para medir el periodo de oscilación del resorte, variando la masa. Ambos sistemas se montaron con el fin de conocer la constante de rigidez asociada a un resorte.

P2. El péndulo simple

Figura 4. El sistema montado para determinar el valor de la gravedad Con ayuda de un teléfono inteligente con la aplicación Phyphox dentro de la botella, se puede determinar la constante de la gravedad a partir de hacer oscilar el sistema P3. Movimiento armónico subamortiguado

Figura 5: Sistema montado para el movimiento armónico amortiguado Este sistema disipa la energía gracias a la interacción con el fluido dentro del vaso. Se disipa de forma constante. RESULTADOS Tabla 3. Medidas directas. Elongación de los resortes con base a las distintas masas. Resorte #1

Resorte #2

Masa [g]

Elongación [cm]

Masa [g]

Elongación [cm]

5.3

1.8

100.5

3.4

6.6

2.2

150.5

4.5

7.3

2.4

190.7

6

8.3

2.7

200.8

6.5

9.5

3.3

210.9

6.9

10.6

3.7

220.9

7.4

12.3

4.2

231

7.8

14.2

4.8

241

8.1

15.5

5.2

250.8

8.6

16.2

5.5

260.9

9.0

Tabla 4. Elongación del resorte, x, y peso ejercido, mg. Resorte #1

Resorte #2

Elongación [m]

mg [N]

Elongación [m]

mg [N]

0.018

0.052

0.034

0.984

0.022

0.065

0.045

1.473

0.024

0.071

0.060

1.866

0.027

0.081

0.065

1.966

0.033

0.093

0.069

2.065

0.037

0.104

0.074

2.163

0.042

0.120

0.078

2.261

0.048

0.139

0.081

2.359

0.052

0.152

0.086

2.455

0.055

0.159

0.090

2.554

Tabla 5. Cuadrados mínimos para la determinación de la constante del resorte #1. Δx [m]

mg [N]

xy

x2

ycal [y = m(x)+b]

(ycal - yi)2

0.018

0.052

9.340E-04

3.240E-04

5.268E-02

6.341E-07

0.022

0.065

1.422E-03

4.840E-04

6.412E-02

2.437E-07

0.024

0.071

1.715E-03

5.760E-04

6.984E-02

2.651E-06

0.027

0.081

2.194E-03

7.290E-04

7.842E-02

8.068E-06

0.033

0.093

3.069E-03

1.089E-03

9.557E-02

6.591E-06

0.037

0.104

3.840E-03

1.369E-03

1.070E-01

1.047E-05

0.042

0.120

5.058E-03

1.764E-03

1.213E-01

7.897E-07

0.048

0.139

6.673E-03

2.304E-03

1.385E-01

3.100E-07

0.052

0.152

7.891E-03

2.704E-03

1.499E-01

3.410E-06

0.055

0.159

8.723E-03

3.025E-03

1.585E-01

1.486E-08

Gráfica 1. Fuerza, mg, contra elongación del resorte, x para el resorte #1. m

2.859

b

0.001

Sy

0.002

Sm

0.052

Sb

0.002

R2

0.997

k

2.9

Tabla 6. Cuadrados mínimos para la determinación de la constante del resorte #2. Δx [m]

mg [N]

xy

x2

ycal [y = m(x)+b]

(ycal - yi)2

0.034

0.984

0.03345243

0.001156

1.103535100

0.014313754

0.045

1.473

0.066302775

0.002025

1.396626208

0.005893447

0.060

1.866

0.11201718

0.003600

1.796295901

0.004992426

0.065

1.966

0.12777908

0.004225

1.929519132

0.001318624

0.069

2.065

0.142465059

0.004761

2.036097717

0.000818720

0.074

2.163

0.160033214

0.005476

2.169320948

4.50234E-05

0.078

2.261

0.17639622

0.006084

2.275899533

0.000207635

0.081

2.359

0.19111059

0.006561

2.355833471

1.26489E-05

0.086

2.455

0.211158552

0.007396

2.489056702

0.001137356

0.090

2.554

0.22987899

0.008100

2.595635287

0.001715972

Gráfica 2. Fuerza, mg, contra elongación del resorte, x para el resorte #2. m

26.6450

b

0.1986

Sy

0.0617

Sm

1.1514

Sb

0.0809

R2

0.9853

k

26.6

Tabla 7. Cuadrados mínimos para la determinación de la constante del resorte #3 por el método dinámico. T2 [s2]

4π2m [Kg]

xy

x2

ycal [y = m(x)+b]

(ycal - yi)2

0.02803

0.071105

0.001993

0.0007859

0.068426

7.17811E-06

0.02895

0.080674

0.002335

0.0008378

0.078882

3.21088E-06

0.03397

0.143401

0.004871

0.0011537

0.135937

5.57088E-05

0.03517

0.151779

0.005338

0.0012368

0.149576

4.85396E-06

0.03801

0.169524

0.006443

0.0014449

0.181854

0.000152029

0.04124

0.194297

0.008012

0.0017004

0.218565

0.000588922

0.04109

0.221387

0.009096

0.0016882

0.216859

2.04947E-05

0.04288

0.226867

0.009727

0.0018384

0.237204

0.000106858

0.04461

0.258974

0.011552

0.0019896

0.256867

4.44102E-06

0.0449

0.286325

0.012856

0.0020162

0.260163

0.000684469

Gráfica 3. Periodo elevado al cuadrado, T2, contra la masa multiplicada por 4π2, 4π2m para el resorte #3. m

11.37

b

-0.2502

Sy

0.0143

Sm

0.7726

Sb

0.02961

R2

0.96

k

11.37

P2. El péndulo simple Tabla 8. Medidas directas. Periodo del movimiento a diferentes longitudes. #

L [cm]

T1 [s]

T2 [s]

T3 [s]

T4 [s]

T5 [s]

T6 [s]

T7 [s]

T8 [s]

T9 [s]

T10 [s]

T [s]

1

25.0

1.01

0.99

1.00

1.01

1.00

1.00

1.01

0.99

1.00

1.01

1.00

2

27.5

1.07

1.06

1.06

1.05

1.06

1.05

1.05

1.06

1.06

1.06

1.06

3

31.0

1.13

1.12

1.12

1.13

1.12

1.11

1.12

1.12

1.13

1.12

1.12

4

33.3

1.17

1.17

1.17

1.17

1.16

1.16

1.18

1.17

1.16

1.15

1.17

5

36.0

1.22

1.23

1.22

1.21

1.21

1.22

1.21

1.22

1.21

1.23

1.22

6

40.5

1.28

1.28

1.27

1.27

1.28

1.27

1.27

1.28

1.27

1.28

1.28

7

42.3

1.31

1.32

1.31

1.30

1.31

1.31

1.32

1.30

1.31

1.31

1.31

8

43.8

1.33

1.33

1.34

1.33

1.34

1.33

1.33

1.34

1.32

1.33

1.33

9

46.0

1.37

1.36

1.36

1.35

1.37

1.36

1.37

1.36

1.37

1.35

1.36

10

51.8

1.45

1.46

1.45

1.44

1.45

1.45

1.46

1.44

1.44

1.45

1.45

#

Sn-1

Ua

Ub

Uc

T2 [s]

1

1.00

2

1.12

3

1.26

4

1.36

5

1.48

6

1.63

7

1.72

8

1.77

9

1.86

10

2.10

Tabla 10. Cuadrados mínimos para la determinación del valor de la gravedad.. T2 [s]

L [m]

xy

x2

ycal [y = m(x)+b]

(ycal - yi)2

1.004004

0.25

0.251001

1.008024032

0.246924552

9.45838E-06

1.119364

0.275

0.3078251

1.252975764

0.275518352

2.68689E-07

1.258884

0.31

0.39025404

1.584788925

0.310100591

1.01186E-08

1.359556

0.333

0.452732148

1.848392517

0.335053739

4.21784E-06

1.483524

0.36

0.53406864

2.200843459

0.365781169

3.34219E-05

1.625625

0.405

0.658378125

2.642656641

0.401003149

1.59748E-05

1.716100

0.423

0.7259103

2.94499921

0.423428809

1.83877E-07

1.774224

0.438

0.777110112

3.147870802

0.437835762

2.69741E-08

1.855044

0.46

0.85332024

3.441188242

0.457868278

4.54424E-06

2.099601

0.518

1.087593318

4.408324359

0.518485599

2.35806E-07

g=(4 π 2 )(m )=( 4 π 2)( 0.2479)=9.79

m /s 2

m

0.248

b

0.002

Sy Sm Sb R2

0.999

g [m/s2]

9.79