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1) 

Determine las ecuaciones de las coordenadas en función del tiempo, es decir: (�) y (�). R=A Cos(θ)-> θ=wt+po x ( t )= A cos (wt + po) y ( t) = A sin ( wt + po )



Determine las ecuaciones de las componentes de la velocidad en función del tiempo, es decir: �x(�) y �y(�). Vx=w A cos(

∏ -θ) 2

Vy=

∏ -θ) 2 ∏ ∏ Vx=w A [cos( )Cos(θ)-sin( )sin θ] 2 2 ∏ -)cos(θ)+cos( -)sin(θ)] 2 Vx=-A w sin θ cos(θ) w A sin(

Vy=w A[sin(

∏ 2

Vy=A w

Vx=-A w sin(wt+po) Vy=A w cos(wt+po) 

Determine las ecuaciones de las componentes de la aceleración en función del tiempo, es decir: �x(�) y �y(�). ac=A w 2



ax=-A w 2 cos(wt+po) ay= -A w 2 sin(wt+po) Utilizando procedimientos algebraicos, deduzca las ecuaciones que relacionan a las componentes de la aceleración con las coordenadas del vector de posición: �x =(�, �, �) y �y =�(�,�,�). x ( t ) = A cos (wt + po) y ( t) = A sin ( wt + po )

ax=-A w

2

cos(wt+po)

ay= -A

w

2

sin(wt+po)

ax=- w 2 x ay=- w 2 y 

Utilizando identidades trigonométricas, deduzca las ecuaciones que relacionan a las componentes de la velocidad con las coordenadas del vector de posición: �x= (�, �,) y �y = (�,�,�). Vx=-A w sin(wt+po) Vy=A w cos(wt+po) y ( t) = A sin ( wt + po )

x ( t ) = A cos (wt + po) si n2 ( A ) +co s2 ( A ) =1

(

)

2

Vx =sin 2(wt + po) −Aw +¿

()

2

x 2 =co s (wt + po) A

( )( )

V x2 x2 + =1 A 2 w2 A2 V x 2+ x2 w 2 A 2 w2

V x 2= A 2 w2−x 2 w2 −¿ +¿ ¿ Vx=¿

( )

2

w

√ A 2−x 2

Vy =co s2 (wt + po) Aw +¿

()

y 2 =si n2 (wt + po) A

( )( )

V y2 y2 + =1 A 2 w2 A2 V y2 + y 2 w2 A2 w 2

V y 2=A 2 w2− y 2 w 2 −¿ +¿ ¿ Vy=¿ 

w

√ A 2− y 2

Utilizando identidades trigonométricas, deduzca las ecuaciones que relacionan a las componentes de la aceleración con las componentes de la velocidad: �x=(�x,�,�) y �y=�(�y,�,�). Vx=-A w sin(wt+po) Vy=A w cos(wt+po) ax=-A w 2 cos(wt+po) ay= -A w 2 sin(wt+po) si n2 ( A ) +co s2 ( A ) =1

(

)

Vx 2 =sin2(wt + po) −A w +

(

ax 2 =cos2 (wt + po) −A w2

)

(

Vx 2 ax 2 + =1 −A w −A w2

)(

)

w2 V x 2 +a x 2 =1 A 2 w2 w 2 V x2 +a x2= A 2 w 4 −¿ +¿ ¿ ax=¿

a x 2=w 2 (A 2 w2−V x 2) A 2 w2−V x2 w ¿ √¿

( )

2

(

)

Vy 2 =cos (wt + po) Aw +

2

ay =sin2 (wt + po) −A w2

( ) (

)

2

2

Vy ay + =1 2 Aw −A w

w2 V y 2 +a y 2 =1 A2 w 2 2

2

2

2

w V y +a y = A w

4

a y 2=w2 ( A2 w2 −V y 2 )

−¿ A 2 w2−V y 2 +¿ w ¿ ¿ ¿ √ ay=¿ 

Considerando que el radio de la trayectoria A = 2.00 m y que el tiempo en que la partícula da una vuelta completa sea T = 1.00 s. Represente gráficamente los comportamientos de (�) , �x (�) � �x(�), así como �(�) ,�y (�) � �y (�) para dos vueltas del recorrido.

x(t)

y(t)

v(x)

v(y)



a(x) a(y) Aplicando el cálculo diferencial deducir las ecuaciones para las componentes de la velocidad y aceleración: �x(�) , �x(�) ,�y(�) � �y(�) a partir de las ecuaciones de las coordenadas �(�) y �(�). x ( t ) = A cos (wt + po) A cos(wt + po) d ¿ dt cos ( wt + po) d A ¿ dt w ( 1 )+t ( 0) +0 d A −sin(wt + po)¿ dt Vx=−A w sin(wt + p o) d (−A w sin (wt + po ) ) dt d −w A (sin ( wt + po )) dt d −A w cos (wt + po )[w ( 1) +t ( 0 ) +0 ] dt ax= −A w2 cos(wt +po) y ( t) = A sin ( wt + po ) A sin( wt + po) d ¿ dt

sin (wt + po ) ) d A ¿ dt w (1 ) +t (0 )+0 d A cos (wt + po)¿ dt Vx =A w cos(wt +po)

d ( A w cos(wt + po) ) dt d w A (cos (wt + po ) ) dt d Aw −sin (wt + po ) [ w ( 1 )+t ( 0 ) +0] dt ax= −A w2 sin(wt + po)

A) CONCEPTOS DEL MAS (5 PUNTOS). Definir:

Periodo

Cualidad que cuantifica Tiempo que tarda un ciclo

Frecuencia

Número de ciclos en la unidad de tiempo

Frecuencia Angular

Amplitud

Fase

Equivalente en vueltas del número de oscilaciones por unidad de tiempo Valores máximos y mínimos de desplazamiento de la oscilación Argumento de la función /ángulo equivalente en el movimiento oscilatorio

Escalar o Vectorial

Unidades

Rango

segundos (s)

(0, edad del universo)

Escalar

Hz

Valores positivos

Escalar

rad s

Escalar

(pseudo vector)

o

0 y valores positivos

s−1

Escalar

Metros (m)

(0, θ del universo)

Escalar

rad

[0, 2π]

B) PREGUNTA 14.1 (Young, 2013, p. 463) (5 PUNTOS): Un objeto se mueve con MAS de amplitud A en el extremo de un resorte. Si la amplitud se duplica, ¿qué sucede con la distancia total que el objeto recorre en un período? ¿Qué sucede con el período? ¿Qué sucede con la rapidez máxima del objeto? Analice la relación entre estas respuestas. Distancia total: se duplica (en cada periodo recorre 4A). Periodo: Permanece igual/constante. No depende de la amplitud, sino de la constante k y de la masa. Rapidez máxima: Se duplica (Vmax=Aw  Vmax=2Aw)

C) EJERCICIO 14.19 (Young, 2013, p. 463) (10 PUNTOS). El desplazamiento en función del tiempo de una masa de 1.50 kg en un resorte está dado por la ecuación: x ( t ) =( 7.40 cm) cos[ ( 4.16 s−1 ) t−2.42] m=1.50 kg A=7.40 m w= (4 .16 s−1) Po=-2.42 rad Calcule: a. El tiempo que tarda una vibración completa 2π 2π w= T= =1.51s T 4.16 s−1 b. La constante de fuerza del resorte N k −1 2 2 k= w m = (4.16 s ) ∗1.5 kg = 25.9584 w= m m c. La rapidez máxima de la masa cm Vmáx =Aw = (7.40 cm)*( 4.16 s−1 )=30.784 s d. La fuerza máxima que actúa sobre la masa. m 2 2 amáx =A w = (0.074 m )∗( 4.16 s−1 ) =1.28 2 s m Fmáx = amáx *m = (1.28 2 )*(1.5 kg)= 1.92 N s e. La posición, rapidez y aceleración de la masa en t = 1.00 s -1 x ( t ) =A cos( wt+po ) = (7.40 cm) cos( 4.16 s *1s)-2.42)= -1.246 cm ¿ −1 −1 ) sin( 4.16 s *1s)-2.42)= Vx=-A w sin(wt+po)= -(7.40 cm)*( 4.16 s ¿ cm -30.34 s −1 2 cos( 4.16 s *1s)ax=-A w 2 cos(wt+po)=-(7.40cm)* (4.16 s−1 ) ¿ cm 2.42)= 21.565 s2 f. La fuerza que actúa sobre la masa en ese momento. m F=ma=(1.50kg)*(0.21565 )= 0.32 N s2

√

D) EJERCICIO 14.31 (Young, 2013, p. 465) (5 PUNTOS). Usted observa un objeto que se mueve en MAS. Cuando dicho objeto está desplazado 0.600 m a la derecha de la posición de equilibrio, tiene una velocidad de 2.20 m/s a la derecha y una aceleración de 8.40 m/s2 a la izquierda. ¿A qué distancia de este punto se desplazará el objeto, antes de detenerse momentáneamente para iniciar su movimiento a la izquierda?

¿ Amplitud −0.6 m ¿ a=−w 2 x −¿ w √ A2−x +¿ ¿ ¿ v=¿

√

w=

A=

√(

w=

A=

√(

√(

)

2

v 2 +( x) w

m s2 −0.6 m −8.4

a −x

)

2

=3.74

s

−1

)

2

m s2 2 = 0.84 m −1 +( 0.6 m ) 3.74 s 2.2

0.84 m – 0.6 m= 0.24 m

E) PROBLEMA 14.66 (Young, 2013, p. 467) (10 PUNTOS). Un objeto experimenta un MAS con un período de 0.300 s y una amplitud de 6.00 cm. En t = 0 el objeto se encuentra instantáneamente en reposo en x = 6.00 cm. Calcule el tiempo que tarda el objeto en pasar de x = 6.00 cm a x = -1.50 cm. x ( t ) = A cos (wt + po) x ( t ) = A cos (wt ) w= w=

2π T

2π 20 π = 3 0.3 s

20 π −1.50 cm t) =cos ( 3 6 cm

(

)

20 π arccos −1.5 cm = t 3 6 cm 20 π t 3 t=0.087 s

1.82=

1. SISTEMA MASA-RESORTE (50 PUNTOS) A. LEY DE HOOKE (10 PUNTOS). Acerca de la ley de Hooke:  ¿Cuál es su enunciado en forma verbal y analítica? La ley de Hooke establece que el alargamiento de un muelle es directamente proporcional al módulo de la fuerza que se le aplique, siempre y cuando no se deforme permanentemente dicho muelle. F=k(x1-x0) F es el módulo de la fuerza que se aplica sobre el muelle. k es la constante elástica del muelle, que relaciona fuerza y alargamiento. Cuanto mayor es su valor más trabajo costará estirar el muelle. Depende del muelle, de tal forma que cada uno tendrá la suya propia. x0 es la longitud del muelle sin aplicar la fuerza. x1 es la longitud del muelle con la fuerza aplicada. 

¿Cuál es su rango de validez? Es válida siempre y cuando el muelle no se deforme permanentemente.



Apoyado en el laboratorio virtual de Phet: Resortes y masas (https://phet.colorado.edu/sims/mass-spring-lab/mass-spring-lab_es.html), determine experimentalmente:  Los valores de las masas de las pesas desconocidas. Resorte 1 m g=9,8 2 s x=0.31 m N k1=9.8 m

Resorte 2 g=9,8

Resorte 2 m s2

g=9,8

x=0.16 m k2=9.8

m s2

x= 0.08 N m

k2=9.8

N m

mrojo=0.31 kg



mamarillo= 0.16 kg

mverde= 0.08kg

Las constantes de los resortes 1 y 2. F=kx F-W=0  kx-mg=0  k=

mg x

W=mg Resorte 1 m=0.1kg m g=9,8 2 s x=0.1 m N k1=9.8 m



Resorte 2 m=0.25 kg g=9,8

m s2

x=0.25 m k2=9.8

Una escala cuantitativa para el resorte 3 F-W=0  kx-mg=0  k= k (m=0.1 kg)-duro m g=9,8 s2

mg x

N m

x=0.02 m N k=49 m k (m=0.05 kg)-medio m g=9,8 s2 x=0.05 m N k=9.8 m k (m=0.05 kg)-suave m g=9,8 s2 x=0.26 m N k=1.88 m



La aceleración de la gravedad del planeta X N m x=0.09 m m= 0.25 kg k1=9.8

g=3.538

m s2

B. PERÍODO EN EL SISTEMA MASA-RESORTE (10 PUNTOS): Apoyado en el laboratorio virtual de Phet: Resortes y masas (https://phet.colorado.edu/sims/massspring-lab/mass-spring-lab_es.html), para fricción y aceleración de la gravedad nula, determine experimentalmente: 

La dependencia del período de la oscilación con relación a la masa (mínimo 3 mediciones) m T =2 π T =√ m k Tabla 1. Periodo vs raíz cuadrada de la masa Medición Tiempo (s) Número de Masa (g) Raíz Periodo (s) oscilacione cuadrada de s masa (g^1/2) 1 10 10 250 15.8113883 1 2 6 10 100 10 0.6 3 4 10 50 7.07106781 0.4 2

√



La dependencia del período de la oscilación con relación a la constante del resorte (mínimo 3 mediciones) 1 m T= T =2 π √k k

√

Tabla 2. Periodo vs inverso de raíz cuadrada de la constante del resorte Medición Tiempo Oscilacione K (N/m) Inverso de Periodo (s) s raíz de k (s) (N/m)^-1/2 1 4 10 49 0.142857142 0.4 9 2 9.99 10 9.8 0.319438282 0.999 5 3 23.11 10 1.88 0.729324957 2.311 5



Con base en observaciones (no mediciones) ¿Cómo cambia el período del oscilador con la aceleración de la gravedad y amplitud? ¿Cómo se comporta el sistema cuando la aceleración de la gravedad es nula?

Se observa que el resorte se comporta como horizontal cuando la gravedad es nula. De igual manera, se observa que el periodo no depende ni de la amplitud ni aceleración, sino de la masa y la constante del resorte. C. ENERGÍA EN EL SISTEMA MASA-RESORTE (10 PUNTOS): Apoyado en el laboratorio virtual de Phet: Resortes y masas (https://phet.colorado.edu/sims/massspring- lab/mass-spring-lab_es.html): Para fricción y aceleración de la gravedad nula, determine analíticamente y verifique con base en observaciones:  ¿En qué posiciones las energías cinética y potencial son nulas y máximas? Cada vez que pasa por la posición de equilibrio, es cinética máxima. Cuando el resorte está totalmente estira, se observa la energía potencial máxima. Mientras no está oscilando, no se observa ni energía cinética ni potencial.



¿En qué posiciones la aceleración y la rapidez son nulas y máximas? Cuando se encuentra en equilibrio la velocidad es nula y la aceleración máxima. Cuando se encuentra totalmente estirado, su velocidad es máxima y aceleración nula.



¿Qué cantidades físicas se relacionan con las energías cinética y potencial?

Para fricción nula y aceleración de la gravedad no nula, determine analíticamente y verifique con base en observaciones ¿cómo se comportan las energías potenciales gravitatoria y elástica, así como la cinética en las posiciones de equilibrio y amplitudes?

Energía gravitatoria: se observa que aumenta conforme se va comprimiendo el resorte (máxima en el punto de equilibrio), y disminuye a medida que se estira. Energía elástica: es nula en el punto de equilibrio, y va aumentando conforme se estira/deforma el resorte. Energía cinética en equilibrio: En la posición de equilibrio se distingue nula. Energía cinética en la amplitud: se observa que la energía cinética en este punto es mínima, pero existe.

Para fricción no nula, obtenga un escenario para una oscilación subamortiguada y otro para una oscilación sobreamortiguada. ¿Qué cantidades físicas determinan que la oscilación sea subamortiguada o sobreamortiguada y cómo? La fricción determina el tipo de oscilación amortiguadora. Fricción casi nula Tabla 3. Oscilaciones sobreamortiguadas

Medición 1 2 3 4 5 6 7

Tiempo (s) 0.011 0.045 0.056 0.072 1.008 1.03 1.69

Posición (cm) 25 3.5 3.95 30 7 40 2

Gráfico posión vs tiempo Posicón (cm)

50 40 30 20 10 0 0

0.2 0.4 0.6 0.8

1

1.2 1.4 1.6 1.8

Tiempo (s) Fricción máxima Tabla 4. Oscilaciones subamortiguadas Medición Tiempo (s) Posición (cm) 1 0.012 25 2 0.051 9 3 0.061 15 4 0.084 9.5 5 1.038 9 6 2.071 9.5

Gráfico posición vs tiempo 0.3

Posición (cm)

0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 0 0

0.5

1

1.5

2

2.5

Tiempo (s)

D. PREGUNTA 14.4 (Young, 2013, p. 463) (5 PUNTOS). Una caja que contiene un guijarro se conecta a un resorte horizontal ideal y oscila sobre una mesa de aire sin fricción. Cuando la caja ha alcanzado su distancia máxima a partir del punto de equilibrio, repentinamente el guijarro se sale sin perturbar la caja. ¿Las siguientes características del movimiento aumentarán, disminuirán o permanecerán iguales en el movimiento subsecuente de la caja? Justifique su respuesta:

    

Frecuencia. Aumenta, debido a que es inversamente proporcional al periodo Período. Disminuye Amplitud. Disminuye, existe una mayor deformación del muelle Energía cinética de la caja. Permanece constante La rapidez máxima de la caja. Disminuye, ya que es directamente proporcional a la masa

E. PREGUNTA 14.19 (Young, 2013, p. 463) (5 PUNTOS) Un deslizador está conectado a un resorte ideal fijo y oscila sobre una pista de aire horizontal sin fricción. Se coloca una moneda encima del deslizador y oscila con éste. ¿En qué puntos del movimiento es máxima la fuerza de fricción sobre la moneda? ¿En qué puntos es mínima? Justifique sus respuestas. La fuerza de friccion es la que mantiene acoplada a la moneda con la masa. F s=µs N=ma k x a=− m −k x F s=ma= m m F s=−k x La fricción es máxima en las amplitudes. La fricción es mínima en la posición de equilibrio.

( )

( )

F. PROBLEMA 14.72 (Young, 2013, p. 468) (10 PUNTOS). Un bloque de masa M descansa en una superficie sin fricción y está conectado a un resorte horizontal de constante de fuerza k. El otro extremo del resorte está fijo a una pared (figura 14.72). Un segundo bloque de masa m está sobre el primero. El coeficiente de fricción estática entre los bloques μs. Determine la amplitud máxima que no permite que el bloque superior resbales. Si la aceleración del sistema es menor que μsg, entonces los bloques se moverán juntos sin que el bloque de arriba se deslice. Fuerza máxima aplicada=( m + M ) a a=μ s g F max=( m + M ) μ s g La fuerza de restitución es kA kA=( m+ M ) μ s g ( m+ M ) μ s g A= k A=amplitud de oscilación...