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Apuntes movimiento armonico forzado...

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Tercera Parte: Oscilaciones Forzadas Las oscilaciones forzadas se producen cuando se aplican fuerzas exteriores sobre un sistema vibratorio. Dicha fuerza exterior puede ser un simple impulso instantáneo, una oscilación mantenida, o incluso puede estar causada por fuerzas de inercia. Después de un cierto tiempo, la oscilación natural del sistema (régimen transitorio) desaparece por la presencia de fenómenos de resistencia, mientras que la oscilación estacionaria, debida a la fuerza exterior, tiene su misma frecuencia y perdura en el tiempo. El régimen transitorio tiene importancia práctica sólo al principio del movimiento, cuando la oscilación natural del sistema no ha sido amortiguada apreciablemente. Aunque en la práctica siempre existe cierto amortiguamiento, es interesante estudiar el caso límite de las oscilaciones forzadas con amortiguamiento cero por su sencillez y porque las conclusiones que pueden extraerse de este modelo matemático son válidas en presencia de amortiguamiento.

1. Oscilación forzada no amortiguada Según la ley de Newton, la ecuación de movimiento es d 2x m 2 kx F0 cos t dt Las fuerzas que actúan sobre el sistema son la fuerza restauradora del muelle, y la fuerza exterior de variación armónica. Introduciendo la frecuencia del sistema no perturbado, 0

escribimos esta ecuación como un MAS d 2x 2 0x dt 2

k m F0 cos t m

Solución de esta ecuación. En general, cuando el lado izquierdo depende de la variable x y el derecho no, la solución puede escribirse como la suma x xg x p siendo x g la solución general de la ecuación con el lado derecho igual a cero d2 x 2 0 0x dt 2 y x p una solución particular de la ecuación general d 2x F0 2 x cos t 0 dt 2 m En nuestro caso, sabemos que la solución general es xg Acos 0t

donde las constantes A, dependen de las condiciones iniciales del movimiento. Para encontrar la solución particular, suponemos que la respuesta del sistema a la fuerza exterior es proporcional a ésta. Dicho de otra forma, esperamos que la

respuesta del sistema sea lineal con la perturbación exterior que recibe. Con esto, la solución particular será de la forma x p C cos t Introduciendo x p en la ecuación del movimiento, se satisface 2

C cos t C

2 0 cos

F0 cos t m

t

Despejando la amplitud C , C

m( que es la amplitud del movimiento forzado.

F0 2 0

2

)

Por tanto, la masa m realiza el movimiento F0 1 x A cos 0t cos t 2 2 m 0 Es la composición de una oscilación libre (primer término) y una oscilación de arrastre debido a la fuerza exterior (segundo término).

2. Resonancia Fijándonos en la solución particular x p vemos que si la frecuencia

de la

fuerza exterior coincide con la frecuencia natural 0 del sistema, la amplitud de la oscilación forzada tiende a infinito C si 0 Es el fenómeno de la resonancia. Físicamente expresa el hecho de que cuando 0 , toda la energía comunicada al sistema por la fuerza exterior es almacenada por el sistema, con lo que la amplitud crece sin límite. Veremos más adelante que si 0 la potencia media (energía transferida por ciclo) es cero, la energía del sistema se conserva y la amplitud del movimiento se mantiene constante. Cualquier sistema físico sufre algún tipo de amortiguamiento debido al rozamiento. En ese caso, se mantiene el fenómeno de la resonancia, pero la amplitud de la oscilación forzada no tiende a infinito, llega a ser muy grande, pero se mantiene finita.

3. Régimen transitorio y permanente En cualquier sistema real existen fuerzas de rozamiento que hacen que la energía se disipe, se transforme en otras formas de energía (calor). Como la fuerza exterior actúa indefinidamente, es la oscilación libre (primer término de la solución) la que pierde energía y tiende a remitir. Por tanto, en la etapa inicial, cuya duración depende de la intensidad de la amortiguación, los dos movimientos (libre y forzado) son importantes. Es el régimen transitorio. Después de un tiempo suficientemente

largo, el único movimiento presente es la oscilación forzada de frecuencia régimen permanente o estacionario.

. Es el

4. Desfase respecto a la fuerza exterior En el régimen permanente, 1

F0 m

x C cos t

2 0

2

cos t

y de aquí se observa que a) Si 0 , la amplitud C del movimiento forzado es positiva. La partícula y la fuerza exterior están en fase, y oscilan en el mismo sentido. b) Si 0 , la amplitud C del movimiento forzado es negativa. La partícula y la fuerza exterior están en desfase, y oscilan en sentido contrario.

5. Potencia absorbida por un oscilador forzado Durante el intervalo de tiempo dt , la fuerza exterior realiza un trabajo dW sobre el sistema dW Fext dx siendo dx el desplazamiento del sistema en ese tiempo. La potencia instantánea suministrada al sistema por la fuerza exterior será, entonces dW dx P Fext Fext V dt dt siendo V la velocidad del sistema. Para un oscilador forzado, en el régimen permanente, hemos visto que Fext F0 cos t x

F0 m

1 2 0

2

cos t

F0 1 sen t 2 2 m 0 con lo cual, la potencia instantánea recibida por el sistema es F02 1 P sen t cos t 2 2 m V

0

Dicha potencia es positiva, es decir, el sistema absorbe energía por la acción de la fuerza exterior, cuando sen t cos t 0 . Y el sistema cede energía al exterior, en contra del efecto de la fuerza exterior, cuando sen t cos t 0 . La potencia media recibida en un ciclo de oscilación de período T 2

P

1 T Pdt T 0

0

es

ya que el valor medio del producto seno-coseno es nulo, donde el período de oscilación es. Esto quiere decir que en un ciclo completo, el sistema ni gana ni pierde energía, y así la oscilación mantiene una amplitud constante. Esto es cierto en el régimen permanente. En el régimen transitorio, el amortiguamiento existente, por pequeño que sea, produce una potencia negativa, y la oscilación libre pierde intensidad paulatinamente hasta anularse.

6. Movimiento generado por fuerzas de inercia Un caso importante en el estudio de la oscilación forzada ocurre cuando la fuerza exterior aplicada al sistema es una fuerza de inercia. El sistema se ve arrastrado por estar ligado a un punto exterior en movimiento. El movimiento será la combinación de la oscilación libre del sistema respecto de su punto de equilibrio y del movimiento de arrastre del punto de equilibrio. Supongamos que el punto de cos t . Si m es la masa del equilibrio se ve obligado a moverse según xeq sistema, la fuerza de inercia debida al movimiento del punto de equilibrio es Fext mx&&eq m 2 cos t con lo cual el estudio de este tipo de movimiento es análogo al caso general, con la sustitución directa F0 m 2 2

C

2 0

2

Problemas Resueltos 6.15 Determinar las condiciones iniciales de movimiento para que un sistema oscilatorio sometido a la fuerza exterior F0 cos Ot no tenga régimen transitorio. El movimiento general es suma de la oscilación libre y la oscilación forzada. La primera corresponde el régimen transitorio, y la segunda al régimen estacionario. Debemos determinar cuáles son las condiciones iniciales para la variable espacial y la velocidad para que no exista oscilación libre. Tenemos F0 x t Acos 0t cos t 2 2 m( 0 ) F0 x& t A sen 0t sen t 2 m( 02 ) Las condiciones iniciales son x0

x 0

A cos

V0

x& 0

A

0 sen

F0 m(

2 0

2

)

de donde despejamos el valor A que determina la amplitud del régimen transitorio (oscilación libre) A

x0

2

F0 m(

2 0

2

V 02 2

)

Para que dicha amplitud sea cero, es necesario que F0 x0 2 2 ) m( 0 V0

0

6.16 Una masa puntual m está ensartada en un anillo vertical de radio R, y oscila libremente respecto de su punto de equilibrio situado en el punto más bajo del anillo. Se aplica un momento de fuerza exterior que hace oscilar al anillo respecto de su centro en la forma 0 cos t el ángulo de giro. Determinar el movimiento general de la masa m, y siendo bajo que circunstancias dicho movimiento entra en resonancia, detallando dicho fenómeno. Los momentos de fuerza sobre la masa m se deben a su peso y a la fuerza de inercia generada por el movimiento del punto de equilibrio, resultando M mgR sen mR2 && cos siendo el ángulo de giro de la masa respecto del punto de equilibrio. Suponiendo que es pequeño, sen cos 1 la ley de Newton para la rotación nos da la ecuación de movimiento en la forma mR 2 && mgR mR2 &&

&&

g R

&&

2 0

cos t

La solución general es combinación de una oscilación libre de frecuencia g 0 R y una oscilación forzada, con la misma frecuencia que el movimiento forzado del anillo, 2 0 cos

0t

0 2 0

2

cos t

El movimiento entra en resonancia cuando la frecuencia exterior es igual que la frecuencia de la oscilación libre. En este caso se produce cuando g 2 R

y dicho fenómeno se observa por que la amplitud de la masa m crece indefinidamente. Es decir, la masa deja de oscilar respecto del punto de equilibrio y comienza un movimiento de libración, dando vueltas completas alrededor del anillo en una misma dirección. Pregunta: En el caso de que se produzca, la resonancia la amplitud del movimiento tiende a ser grande. Pero al deducir la ecuación de movimiento hemos supuesto que el ángulo de giro es pequeño. ¿Tiene validez la conclusión anterior sobre el fenómeno de resonancia cuando el ángulo de giro no se supone pequeño?

6.17 Un péndulo, formado por una masa puntual m unida a una cuerda de longitud L, se ve arrastrado en su punto de suspensión S por el movimiento xS cos t . Determinar bajo que condiciones el movimiento resultante del péndulo puede interpretarse como un movimiento oscilatorio forzado según la descripción teórica desarrollada anteriormente, y deducir en ese caso, el valor de la frecuencia exterior para que la amplitud de movimiento del péndulo sea a) mayor que 2 , b) menor que . 2 En primer lugar, el movimiento forzado se produce cuando la fuerza exterior está dirigida en la dirección de movimiento. La fuerza exterior se debe a la fuerza de inercia debida al movimiento de S y está dirigida según el eje x. Sólo cuando el movimiento del péndulo se encuentre en esta dirección podremos hablar de un movimiento forzado, según nuestro modelo teórico. Y esto ocurre para ángulos pequeños de giro. En ese caso, podemos aplicar la ley de Newton para la traslación del péndulo, resultando la ecuación de movimiento g && &&S mx m x mx L que resolvemos como g 2 && && x x xS cos t L La solución general es suma de un movimiento de oscilación libre (régimen transitorio) y un movimiento forzado (régimen permanente), en la forma 2

x t

Acos

0t

2 0

2 cos

t

siendo 0

g L

la frecuencia de la oscilación libre. Para que el movimiento sea forzado exclusivamente es necesario que esté ausente el régimen transitorio, es decir, A 0 , condición que equivale, como hemos visto anteriormente, a

2

x0

2 0

2

0

V0

Cuando el movimiento es forzado, la amplitud de oscilación del péndulo (amplitud espacial, no angular) está dada por 2

C

2 0

2

Para que sea mayor que 2 , sin especificar si el movimiento está en fase o en desfase con el movimiento del punto de suspensión, se debe cumplir 2 2 0

2

2

con la solución 2 2 0 0 3 Análogamente, para el segundo caso, amplitud menor que

2

, encontramos la

solución 1 3

0

6.18 Un péndulo de masa m está unido a un dispositivo oscilador mediante un muelle de constante k. Un extremo del muelle se fija al péndulo a una distancia a del punto de suspensión, y el otro se fija al dispositivo. La oscilación del péndulo se considera horizontal (ángulo de giro pequeño). Si el dispositivo genera un movimiento oscilatorio x d A cos t , determinar el movimiento del péndulo en el régimen estacionario. Considérese que el muelle está en reposo cuando el péndulo está en su posición de equilibrio, y el dispositivo apagado. Considerando sólo el movimiento en dirección horizontal, aplicando la ley de Newton para la traslación, la ecuación de movimiento es g mx&& m x k x a x d L siendo x a el desplazamiento horizontal del punto del péndulo donde está fijado el muelle. Para ángulos pequeños, a xa x L con lo cual podemos escribir g ka k kA && x x xd cos t L mL m m

En el régimen estacionario, el movimiento del péndulo tiene la misma frecuencia que el dispositivo, y es de la forma x C cos t Introduciendo esta expresión en la ecuación del movimiento, encontramos la amplitud del movimiento forzado k m C A g ka 2 L mL

6.19 Un muelle de constante k tiene un extremo unido a una pared y el otro a una masa puntual m. El sistema oscila sobre un suelo horizontal sin fricción, pero está sometido a una fuerza de rozamiento con el aire, de la forma F x&2 . El sistema se perturba de la siguiente manera. Cuando la masa se encuentra en el punto de retroceso más alejado de la pared se le comunica instantáneamente la velocidad V0 , y esto ocurre en cada ciclo. Determinar el valor de la velocidad comunicada para que la amplitud de oscilación de la masa se mantenga constante. La amplitud del movimiento de la masa se conserva constante si en cada ciclo la potencia media es cero. Es decir, en cada ciclo la suma de la potencia media de la fuerza de rozamiento y la potencia media del impulso recibido debe ser cero. Suponemos que el movimiento de la masa sigue la ley x A cos 0t con lo cual, la potencia media debida a la fuerza de rozamiento es (calculada en el tema de oscilaciones amortiguadas) 2 2 E A 0 Proz T 2 En cada impulso, la masa adquiere un momento mV0 , por lo que la fuerza media en un ciclo, debida al impulso recibido, es mV0 F T Con esto, la potencia media debida al impulso recibido es 2 mV0 Pimp FV0 T y si la oscilación mantiene una amplitud constante debe ser porque la potencia media absorbida por el oscilador es nula P Proz Pimp 0 2

mV0 T

2

A 2

2 0

Considerando que la frecuencia de oscilación es igual que la frecuencia de la oscilación libre

k m obtenemos el valor de la velocidad del impulso necesario en la forma 2 0

2

A kT 2m2

V0

Cuestión : Resolver este problema si el rozamiento sólo se produce con el suelo horizontal, y puede considerarse como un rozamiento seco.

7. Movimiento forzado amortiguado Cuando existe rozamiento, sólo estudiamos el régimen permanente puesto que el régimen transitorio decae rápidamente. En este caso, la oscilación del sistema sigue teniendo la misma frecuencia que la fuerza exterior, pero se ve retrasada por la presencia del rozamiento. En otras palabras, la cesión de energía al sistema por la fuerza exterior no es instantánea, ya que para que el sistema pueda absorber la energía necesaria para mantener su movimiento, la fuerza exterior debe suministrarla en exceso, para contrarrestar la pérdida por rozamiento. Por tanto, en el régimen permanente, la oscilación del sistema sigue la ley x C cos t Para encontrar C , introducimos este dato en la ecuación de movimiento d2x dt2

2

dx dt

2 x 0

F0 cos t m

obteniendo F0 cos t m Desarrollando las funciones trigonométricas, e igualando sus coeficientes en cada lado, obtenemos dos ecuaciones que al resolverse nos dan la amplitud del movimiento F0 1 C 2 m 2 2 2 2 0 C

2

cos

t

2

C sen

2 0 C cos

t

t

y el desfase entre el movimiento y la fuerza exterior 2 arctan 2 2 0

Introduciendo, como se hizo anteriormente, el coeficiente de amortiguamiento dado por 0

la amplitud del movimiento forzado amortiguado adquiere la expresión

C

1

F0 m 02

2 2

2

1

2 0

cuya gráfica representamos amortiguamiento

para

0

distintos

valores

del

coeficiente

0

5

0.1 4

m

2 0

F0

C 3

0 .2 2

1

0.5 0

0.5

1

1.5

2

0

El desfase con la fuerza exterior tiene la expresión 2 0

arctan

2

1 0

y su gráfica correspondiente es

p 0

0.1

p €3€4€€€€€

0 .5

0. 2

p €2€€€ 0. 5

p €4€€€

0.2 0.1

0 0

0.5

1

0

1.5

2

de

Resonancia De forma análoga cuando no hay rozamiento, la resonancia establece que la respuesta del sistema al impulso exterior es máxima. Cuando existe rozamiento, la resonancia puede ser en amplitud, cuando C alcanza su valor máximo, o en potencia, cuando la potencia media suministrada por la fuerza exterior es máxima. En este último caso se introduce el concepto ya conocido del factor de calidad Q, que se interpreta como el parámetro que define la transmisión efectiva de energía al sistema. Cuanto mayor sea Q, la anchura de la resonancia en potencia será menor (ver después) y la transferencia de energía será más eficaz. Resonancia en amplitud La condición corresponde al mínimo del denominador de C. Esto es, 0

C

2

1 2

F0 m 02 2

1 2

1

Potencia cedida al sistema La potencia instantánea cedida por la fuerza impulsora es P FextV C F0 cos t sen t y su valor medio en un ciclo de oscilación es 1 P C F0 sen 2 Cuestión: Demostrar que la potencia absorbida por la fuerza de rozamiento es igual a la potencia cedida y de signo contrario, de forma que la potencia total es cero, y el sistema mantiene su movimiento. Resonancia en potencia La potencia media cedida al sistema puede escribirse también P

F02 m 0

2

1 2 2

2

1

3/2 0

2 0

0

representada en la siguiente gráfica 0

14

12 10

m

P 0

F02

0.1

8

6 4

0.2 2

0.6

0.8

1

1.2

0

1.4

La frecuencia a la que la potencia media cedida al sistema se hace máxima es 1 1 2 2 9 4 2 4 4 max 0 2 El caso que más nos interesa corresponde a una fuerza de rozamiento débil, cuando el factor de calidad se hace grande. En este caso, la frecuencia del máximo es prácticamente igual a la frecuencia de la oscilación libre max

0

y dicho máximo satisface F02 8m 0 2 Para caracterizar la curva de potencia de la manera más simple posible, se toman dos parámetros, uno de ellos es la altura o valor máximo. El otro parámetro caracteriza la anchura de la campana que se define como la distancia entre las frecuencias a las cuales la potencia media cedida se hace la mitad del valor máximo. Dichas frecuencias en el caso de una fuerza de rozamiento débil valen Pmax

0

22 / 3 1

1

y expresado en función del factor de calidad 0
...