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Análisis Numérico – Catedrático: Lic. Ángel Rivera

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Diseño De Ventana GUI Para La Resolución De Un Sistema Amortiguado y Forzado 

A. Resumen - Si aplicamos a un oscilador armónico amortiguado una fuerza impulsora que varíe periódicamente con frecuencia angular w, el movimiento resultante se llama oscilación forzada, o bien, oscilación impulsada. Por lo que este comportamiento esta modelado por una ecuación diferencial de segundo orden no homogénea, para el cual se ha implementado un método numérico para su resolución con apoyo del sistema de cómputo numérico MATLAB

Palabras claves – Ecuación diferencial, fuerza Impulsora, método numérico.

I.

INTRODUCCION

El amortiguamiento se define como la capacidad de un sistema o cuerpo para disipar energía cinética en otro tipo de energía, es un parámetro fundamental en el desarrollo de modelos matemáticos que permiten el estudio y análisis vibratorio. MATLAB es un sistema de cómputo numérico que ofrece un entorno de desarrollo integrado con un lenguaje de programación propio, en el cual es posible usar su entorno para representar métodos matemáticos necesarios para la resolución de problemas en este caso el método numérico de Runge-Kutta con el fin de obtener las condiciones analíticas y gráficas apropiadas. El proyecto diseñado es con el fin de calcular el desplazamiento en los sistemas de masa-resorte amortiguados forzados modelado matemáticamente con una ecuación diferencial de segundo orden no homogénea con una solución discreta.

II. OBJETIVOS

General

Resolver la ecuación diferencial del sistema amortiguado forzado mediante un método numérico. B.

Específicos

1. Utilizar el método numérico Runge-Kutta, para la resolución de una ecuación diferencial de Segundo orden no homogénea 2. Diseñar el interfaz gráfico interactivo de la solución de la ecuación diferencial en sistema MATLAB III. MARCO TEÓRICO

En un sistema masa-resorte, el tipo de oscilación más sencillo sucede cuando la fuerza de restitución F x es directamente proporcional al desplazamiento x con respecto al equilibrio. La constante de proporcionalidad entre F x y x es la constante de fuerza k. Por lo que fuerza de restitución ejercida por un resorte ideal es: F x =−kx Ec .(1 ) La disminución de la amplitud causada por fuerzas disipativas se denomina amortiguamiento, y el movimiento correspondiente se llama oscilación amortiguada. Así, sobre el cuerpo actúa una fuerza adicional debida a la fricción: ΣF x =−kx −aV x Ec . (2) Donde a es la intensidad de la fuerza amortiguadora y por supuesto el signo menos indica que la fuerza va en dirección opuesta a la velocidad. Aplicando la segunda ley de Newton a la Ec. (2): dx d2 x =m 2 Ec .(3) dt dt Si resolvemos esta ecuación diferencial podemos describir el movimiento de x, con un a relativamente despreciable. −kx−a

−a t ( 2 m) cos [ w' +ϕ] Ec .(4) x= A e

Los métodos de Runge-Kutta tienen el error local de truncamiento de orden alto como los métodos de Taylor, pero permiten prescindir del cálculo y evaluación de las derivadas de f (t, y).

Donde w’ es la frecuencia angular de la oscilación

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Análisis Numérico – Catedrático: Lic. Ángel Rivera

k

a2 − 4 m Ec .(5) m Apreciamos de Ec. (5) y Ec. (6) que a medida el valor de a aumenta la amplitud disminuirá más rápidamente. El caso especial donde a=2 √km Ec .(5.1) Se denomina amortiguamiento critico ya que la frecuencia angular se vuelve cero, el sistema ya no oscila, sino que vuelve a su posición de equilibrio sin oscilar cuando se le desplaza y suelta. Si se da el caso donde w '=

√

a>2 √ km Ec .(5.2) Se denomina sobreamortiguamiento crítico, Aquí tampoco hay oscilación, pero el sistema regresa al equilibrio más lentamente que con amortiguamiento crítico. Cuando b es menor que el valor crítico, como en la ecuación 4, la condición se llama subamortiguamiento. El sistema oscila con amplitud constantemente decreciente. La ilustración 1 es una ; la cual gráfica de Ec. (4) para el caso =0 ϕ muestra que, cuanto mayor sea el valor de b, la amplitud disminuirá más rápidamente.

una fuerza impulsora que varíe periódicamente con frecuencia angular w d , el movimiento resultante se llama oscilación forzada, por lo que deberíamos agregar una nueva fuerza positiva ( en dirección de la velocidad) a la Ec. (3) que nos permitirá compensar la pérdida por la amortización a la cual denotaremos como f(t) por lo que obtendríamos: 2

f (t)=m

d x dx + a + kx Ec .(6) dt d t2

La cual representa una ecuación diferencial no homogénea, cuya respuesta está dada por una solución particular y una complementaria. X ( t )=X p + X c Ec .(7) Para la aplicación de métodos numéricos en la solución de ecuaciones diferenciales del tipo Ec. (3) introducimos el método de Runge-Kutta de orden 4. Los métodos de Runge-Kutta son aplicable para ecuaciones diferenciales de orden superior. IV.

EXPERIMENTO

Problema: Un sistema amortiguado y forzado resorte-masa, tiene la ecuación diferencial ordinaria siguiente para su movimiento: m

| |

dx dx d2 x +kx =F 0 Sen (wt ) +a 2 dt dt dt

Donde; Masa (m) = 2 Kg Termino de amortiguamiento (a) = 5

( )

N/

m s

2

Constante elástica (k) = 6 N/m Ilustración 1. Grafica de desplazamiento contra tiempo para un oscilador con poco amortiguamiento.

Un oscilador amortiguado aislado dejará de moverse tarde o temprano; no obstante, podemos mantener una oscilación de amplitud constante aplicando una fuerza que varíe con el tiempo periódica o cíclicamente, con periodo y frecuencia definidos Llamamos a esta fuerza adicional fuerza impulsora. Si aplicamos a un oscilador armónico amortiguado

F (¿¿ 0)=2.5 N ¿ Frecuencia angular ( w ) = 0.5 rad/s Amplitud de fuerza impulsora

x: Es el desplazamiento a partir de la posición de equilibrio en metros (m). t: Es el tiempo en segundos (s). Las condiciones iniciales son: Velocidad inicial ( V 0 = 0m/s Desplazamiento inicial ( x 0 ) = 1 m

Análisis Numérico – Catedrático: Lic. Ángel Rivera

Periodo de tiempo a considerar 0 ≤t ≤15 (s) V. MODELO MATEMÁTICO

Los métodos de Runge-Kutta (RK) surgen como una mejora del método de Euler, el método de Euler Modificado es un método RK de orden 3, Los métodos RK tienen el error local de truncamiento de orden alto como los métodos de Taylor, pero permiten prescindir del cálculo y evaluación de las derivadas de f (t, y). En general los métodos de Runge-Kutta de orden 4 (RK4) es el que se usa de manera común, y es el modelo base para la estructura del programa desarrollado en MATLAB. La solución del experimento presentado se basa en el método RK4.

3

x ( t 0 ) =x0

(dxdt ) =V

0

t0

Una ecuación diferencial de segundo orden es equivalente a un sistema de dos ecuaciones diferenciales de primer orden, por lo que aplicaremos el mismo esquema. VI. SIMULACIÓN EN MATLAB

El programa está basado en las iteraciones del método RK4 por lo que nos permite un desarrollo más rápido del problema. 1. Se inicia el programa estableciendo los parámetros del problema.

Iteraciones RK4 para Ecuaciones Diferenciales de primer orden: dx =f (t , x ) dt w 0=α ti, wi ) k 1=hf ¿

Ilustración 2 Casillas para los valores del problema

(

1 h ,w + k 2 i 2 1

)

(

1 h , wi + k 2 2 2

)

k 2=hf t i+ k 3=hf t i+

2. Se ingresan los parámetros del método RungeKutta.

k 4=hf ( t i+ h , wi +k 3 ) 1 x ( t +h) =wi + ( k 1 +2 k 2+ 2 k 3+ k 4 ) 6 Ecuaciones Diferenciales de Segundo Grado Una ecuación diferencial de segundo orden de la forma d x2 =f (t , x , v ) dt Con condiciones iniciales:

Ilustración 3casillas para valores del método numérico Runge-Kutta

3. El programa nos devuelve un resultado con las tablas de aproximaciones y sus graficas respectivas.

Análisis Numérico – Catedrático: Lic. Ángel Rivera Para w = 2 rad/s

Ilustración 4 Tabla de Aproximaciones

Ilustración 6 tabla de aproximaciones

Ilustración 5 Graficas de resultados x-t Ilustración 7 grafica de resultados x-t

4. Repetimos los pasos anteriores en los cuales lo que variamos será el paso 1 la frecuencia angular(w) y nos da los siguientes resultados.

Para w = 1 rad/s

4

Análisis Numérico – Catedrático: Lic. Ángel Rivera Para w = 5 rad/s

Ilustración 8 tabla de resultados

Ilustración 9 grafca de resultados x-t

lustración 10 grafica de resultados x-t

Ilustración 11 tabla de resultados

Ilustración 12 grafica de resultados x-t

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Análisis Numérico – Catedrático: Lic. Ángel Rivera VII. CONCLUSIONES

1. Los sistemas amortiguados forzados masaresorte son posibles de modelarse mediante un sistema de ecuaciones diferenciales de orden uno y ser resueltos con los diferentes métodos numéricos existentes para estos casos como ser el método de Runge-Kutta.para sistemas de orden dos. 2. Con los diferentes resultados obtenidos podemos observar en cada una de las graficas que la frecuencia angular determina la forma que tendrá cada una de ellas en el tiempo, mientras que la gráfica de desplazamiento mostro un comportamiento parecido en todas muy poco variable. VIII.

BIBLIOGRAFÍA

Young, H.(Ed.) (2013) Física Universitaria Vol. 2 (13ra ed. (pp. 439-459) Burden, R. (Ed) Análisis Numérico (7ma ed. (pp. 256-272))

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