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corrections td sur les polynômes...

Description

Travaux dirigés - Polynômes

Chaque feuille de TD correspond à un cours en amphi et se décompose de la façon suivante : – les pré-requis à connaître avant de s’attaquer aux exercices (et donc avant de venir en TD), – les objectifs d’apprentissage des exercices présents dans la feuille, – des exercices classiques qu’il convient de savoir faire après le TD, – des exercices complémentaires qui peuvent remplacer ou compléter les exercices classiques. À l’issue du TD, il est primordial de vérifier que les objectifs d’apprentissage ont bien été acquis et que les exercices classiques ont été compris. Les exercices proposés en complément permettent de s’entraîner en dehors du TD, seul ou en groupe, de façon à consolider les compétences acquises. Ils peuvent également être vus en TD et remplacer un exercice classique lorsque l’enseignant trouve cela pertinent. Il est aussi possible de s’exercer en travaillant sur des livres d’exercices disponibles à la Bibliothèque Universitaire. Les références présentes dans le polycopié de cours proposent en général un grand nombre d’exercices corrigés. Les exercices marqués par le symbole  sont des exercices pour lesquels l’aspect raisonnement l’emporte sur l’aspect calculatoire. Il est inutile de lire ou d’apprendre la correction d’un exercice sans avoir pris le temps d’y réfléchir. Ces corrections sont là pour vous permettre de vérifier vos résultats et vous donner des idées de rédaction. Faites cependant attention au fait que les exercices ne sont pas tous corrigés de façon détaillée. Merci de signaler à votre enseignant toute erreur que vous trouverez.

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TD n°16 Pré-requis : – Maîtriser les opérations algébriques élémentaires

Objectifs : – Maîtriser les opérations sur les degrés – Connaître la notion de divisibilité pour des polynômes

– Savoir poser une division euclidienne

– Savoir effectuer une division euclidienne avec des polynômes Exercice 1 1. Donner les degrés du quotient et du reste de la division euclidienne de 1 + X + X 2 + X 3 par 2 + X . En déduire la forme du quotient et du reste. 2. Calculer le reste et le quotient de la division euclidienne de 1 + X + X 2 + X 3 par 2 + X .

3. Poser la division euclidienne de X 4 + 52 X 3 − X 2 + 2X + 1 par 2X 2 − 3X + 2. Exercice 2

L’objectif de cet exercice est de déterminer le reste R de la division euclidienne de X n + X + 1 par (X − 1)2 . 1. Quel est le degré de R ? En déduire la forme de R .

2. Démontrer que R satisfait le système suivant : ( 3 n+1

= =

R(1), R ′ (1).

3. Conclure en déterminant R . Exercice 3 Déterminez tous les réels a et b tel que le polynôme X 2 − aX + 1 divise X 4 − X + b . Compléments Exercice 4 Effectuez la division euclidienne de X 5 + 3X 4 + 5X 3 + X − 1 par X 3 − 2X + 1 Exercice 5.  Pour a 6= b, sachant que le reste de la division de P ( X ) par (X − a) est 1 et que celui de la division de P (X ) par ( X − b) est −1 quel est le reste de la division de P ( X ) par (X − a)(X − b) ? Exercice 6.  1. Soient P et Q deux polynômes. Montrez que pour tout entier k, P − Q divise P k − Q k . 2. En déduire que pour tout P ∈ K [X ], P − X divise P(P) − P .

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Solution de l’exercice 1 1. La division euclidienne s’écrit 1 + X + X 2 + X 3 = (2 + X )Q( X ) + R ( X ), avec Q( X ) et R( X ) deux polynômes tels que deg(R ) < deg (2+ X) = 1. Ainsi R( X ) = r est une constante. De plus, 1 + X + X 2 + X 3 − R( X ) = (2+ X )Q ( X ) donc 3 = deg(1 − r + X + X 2 + X 3 ) = deg((2 + X )Q (X )) = deg(2+ X ) + deg(Q ) =

1 + deg(Q) et ainsi deg(Q) = 2. On a alors Q(X ) = aX 2 + b X + c avec a 6= 0.

2. On pose la division euclidienne

X3 + X2 + X +1

X +2

(X 3 + 2X 2 )

− −

−X 2 + X + 1

(− X 2 − 2X )

X2 − X +3

3X + 1

−

(3 X + 6) −5

On trouve ainsi que le quotient de la division euclidienne de 1 + X + X 2 + X 3 par 2 + X est X 2 − X + 3 et que le reste est −5. On peut donc écrire 1 + X + X 2 + X 3 = (X 2 − X + 3)(2 + X ) − 5.

3. Le quotient de la division euclidienne est

1 2 2 X + 2X

+ 2 et le reste est 4 X − 3.

Solution de l’exercice 2 1. Le polynôme R a un degré strictement plus petit que deg((X − 1)2 ) = 2, c’est-à-dire deg R É 1. Ainsi, R s’écrit R(x) = aX + b avec a et b dans R (pourquoi ?).

2. En écrivant la division euclidienne de X n + X +1 par ( X − 1)2 , on trouve X n + X + 1 = Q(X )(X − 1)2 + R ( X), où Q est le quotient de la division euclidienne et R est le reste. En substituant 1 à X , on trouve 3 = 1 n + 1 + 1 = Q(1)(1 − 1)2 + R(1) = R (1). En dérivant l’égalité X n + X + 1 = Q (X )( X − 1) 2 + R( X ), on trouve nX n−1 + 1 = Q ′( X )(X − 1)2 + Q( x)2( X − 1) + R ′ (X) = (Q ′ (X )(X − 1) + 2Q(X ))(X − 1) + R ′ (X ). Ainsi, en substituant 1 à X, on obtient n + 1 = R ′ (1), ce qui donne le système souhaité.

3. Comme R (X ) = aX + b , on a R (1) = a + b et R ′(1) = a donc a = n + 1 et b = 2 − n. On trouve donc R ( X ) = (n + 1) X + 2 − n. Solution de l’exercice 3 Comme les deux polynômes considérés sont unitaires, il suffit de chercher les polynômes unitaires (s’en assurer) P tels que (X 2 − aX + 1)P (X) = X 4 − X + b. En calculant le degré de chaque côté de l’égalité, on trouve 2 + deg(P) = 4 et ainsi deg(P) = 2. On en déduit que P s’écrit P(X ) = X 2 + c X + d pour des nombres réels c et d. Développons : X 4 − X + b = ( X 2 − aX + 1)P( X ) = (X 2 − aX + 1)( X 2 + c X + d) = X 4 + (c − a)X 3 + (d − ac + 1)X 2 + (c − ad)X + d. En identifiant les coefficients, on trouve le système suivant :  a 0 = c − a,     b 0 = d − ac + 1, ⇔   −1 −1 = c − ad,       b b = d.     

= = =

=

c, a 2 − 1, a(1 − b), d.

La troisième équation nous assure que b 6= 1 et on peut donc écrire a = b−1 1 . En remplaçant a dans la deuxième équation, on obtient alors l’équation (b +1)(b − 1)2 = 1, qui est équivalente à l’équation b 3 − b 2 − b = b( b 2 − b − 1) =0.

4 p

p

1− 5 1+ 5 Les solutions de cette équation sont b = 0, b = 2 et b = 2 . En utilisant l’équation a = b−11 , on trouve les trois couples (a, b) de solutions suivants : Ã Ã p ! p ! 2 1− 5 1+ 5 2 et . (−1, 0), − p , p , 2 2 1+ 5 −1 + 5

On remarque que, dans les deux derniers couples solutions, a = b .

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TD n°17 Pré-requis : – Maîtriser les opérations sur les degrés – Connaître la notion de divisibilité pour des polynômes – Savoir effectuer une division euclidienne – Savoir dériver un polynôme

Objectifs : – Savoir exhiber certains diviseurs d’un polynôme à l’aide de ses racines – Savoir déterminer la multiplicité d’une racine – Savoir utiliser les racines d’un polynôme pour le factoriser

Exercice 7 1. Calculer les racines du polynôme P(X ) = X 2 + X + 1.

2. Le polynôme P est il un diviseur de (X 8 + 1)8 − X 8 ?

3. Le polynôme P est il un diviseur de (X 5 + 1)5 − X 5 ? Exercice 8 On suppose que 2 est racine de

P(X ) = X 6 − 3X 5 − 4 X 4 + 16 X 3 − 16X . Déterminer sa multiplicité et factoriser P sur R. Exercice 9.  Démontrez qu’un polynôme P ∈ K[ X] admet a ∈ K comme racine double si, et seulement si, P(a) = 0, P ′( a) = 0 et P ′′(a) 6= 0. Compléments Exercice 10 Pour quelles valeurs de n le polynôme (X + 1)n − X n − 1 est-il divisible par X 2 + X + 1 ? (Indication : on pourra utiliser le fait que les racines complexes deX 2 + X + 1 = 0 sont des racines de l’unité qu’on pourra expliciter.) Exercice 11 Soit P le polynôme de Z[X ] suivant :P ( X ) = aX n+1 + b X n +1. Déterminez les coefficients a, b dans Z de façon que (X − 1)2 divise P. Même question avec le polynôme X 2 + 1. Exercice 12 Factoriser sur C les polynômes P(X ) = X 6 + X 5 +2 X 4 + 2X 3 + X 2 + X et Q( X ) = 2 X 5 − 3X 4 −3 X 3 +14 X 2 −14 X + 4. (Indication : le polynôme Q possède la racine 1 + i.)

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Solution de l’exercice 7 1. Il y a plusieurs solutions pour trouver les racines du polynôme P(X) = X 2 + X + 1. Une première est de remarquer que X 3 − 1 = (X − 1)(X 2 + X + 1) (il suffit de développer la formule pour s’en assurer). Nous 2i π 4i π connaissons les racines de X 3 − 1, ce sont les racines 3ème de l’unité, c’est-à-dire 1, e 3 et e 3 . Nous notons 2i π parfois j = e 3 (attention à ne pas confondre avec le j en physique qui correspond au i qui est une racine carrée de −1 en mathématiques). Ainsi les racines 3ème de l’unité sont 1, j et j2 et les racines de P sont j et j2 . ∆ = 1 2 −4 · 1 · 1 = −3. Ses racines Une autre façon de trouver les racines de P est de calculer p p le discriminant p p −1+ i 3 = j et −1− i 3 = j2 . carrées sont i 3 et − i 3. D’où les racines de P sont 2 2

2. Pour que P soit un diviseur de (X 8 + 1)8 − X 8 , il faut et il suffit que les racines de P soient racines de ( X 8 + 1)8 − X 8 avec au moins la même multiplicité. Comme P n’a que deux racines simples j et j2 , il suffit de regarder si j et j2 sont racines de (X 8 + 1)8 − X 8 . On remarque que j2 + 1 = − j et on calcule tout d’abord j3 = 1, j4 = j, j5 = j2 , j6 = 1, j7 = j et j8 = j2 , puis ( j8 + 1)8 − j8 = ( j2 + 1)8 − j8 = (− j)8 − j8 = 0. De la même façon ¡ 28 ¢8 ¡ ¢8 ¡ ¢8 ( j ) + 1 − j2 = ( j16 + 1)8 − j16 = ( j + 1)8 − j = − j2 − j = j − j = 0.

Finalement, le polynôme P(X ) = X 2 + X + 1 divise (X 8 + 1)8 − X 8 .

3. Le raisonnement est le même pour cette question. On calcule

( j5 + 1)5 − j5 = ( j2 + 1)5 − j2 = (− j)5 − j2 = − j2 − j2 = −2 j2 6= 0. Ainsi, le polynôme P(X ) = X 2 + X + 1 ne divise pas (X 5 + 1)5 − X 5 . Solution de l’exercice 8 Nous proposons deux méthodes pour résoudre cet exercice. La première consiste à effectuer des divisions euclidiennes successives. Comme 2 est une racine de P , nous savons que la division euclidienne de P (X) par X − 2 donne un reste nul. Pour savoir si 2 est une racine d’ordre au moins 2, nous effectuons la division euclidienne de P (X) par ( X − 2)2. Nous obtenons le quotient Q 1 (X ) = X 4 + X 3 −4 X 2 − 4X et un reste R 1 (X) = 0. Nous avons donc P(X ) = (X − 2)2 Q 1 (X) et la racine 2 est donc d’ordre au moins 2. La division euclidienne de Q 1 (X) par X − 2 donne pour quotient Q 2 (X )= X 3 + 3X 2 + 2X et pour reste R 2(X ) = 0. Nous obtenons donc que la racine 2 est de multiplicité au moins 3. Comme Q 2(2) 6= 0, nous avons que 2 n’est pas racine de Q 2 ou encore que X − 2 ne divise pas Q 2 (X ). Finalement, 2 est racine d’ordre exactement 3 de P . Le seconde méthode consiste à utiliser le résultat du cours, démontré en partie dans l’exercice 9. La racine 2 est d’ordre 3 si et seulement si nous avons P(2) = 0, P ′(2) = 0, P ′′ (2) = 0 et P (3)(2) 6= 0. Quelques calculs nous permettent donc d’arriver au résultat souhaité. Il ne nous reste plus qu’à factoriser le polynôme P . Nous avons vu avec la première méthode que P (X) = (X − 2)3(X 3 + 3X 2 +2 X). Il ne reste donc plus qu’à factoriser Q 2 (X ) = X 3 + 3X 2 + 2X . Nous voyons que X divise Q 2 (X ) (0 est une racine évidente) et nous écrivons Q 2 (X ) = X ( X 2 +3 X + 2). Il ne reste plus qu’à factoriser X 2 + 3 X + 2, ce qui ce fait à l’aide du discriminant du polynôme ∆ = 9 − 8 = 1. Nous avons finalement P(X ) = X (X − 2)3 (X + 1)( X + 2). Solution de l’exercice 9 – Supposons tout d’abord que P admet a pour racine double. Alors on a que ( X − a)2 divise P (X ) et (X − a ) 3 ne divise pas P(X ). Il existe donc un polynôme Q tel que P(X ) = Q(X)(X − a)2 et Q(a) 6= 0. Calculons ¡ ¢ maintenant P (a ) et P ′ (a). On a P (a) = Q(a)(a − a)2 = 0 et P ′( X) = (X − a ) Q ′ (X )(X − a) + 2Q(X ) . En sub¡ ¢ stituant a à X, on trouve P ′(a ) = (a − a) Q ′ (a)(a − a) + 2Q(a ) = 0. Il nous suffit maintenant de calculer ¡ ¢ ¡ ¢ P ′′( a). On a P ′′( X ) = Q ′ (X )(X − a) + 2Q(X ) +( X − a) Q ′′( X )(X − a) + Q ′ ( X ) + 2Q ′ (X ) . On trouve alors P ′′ (a) = ¡ ′ ¢ ¡ ′′ ¢ Q (a)(a − a) + 2Q(a ) + (a − a) Q (a)(a − a) + 3Q ′ (a) = 2Q(a) 6= 0 par hypothèse sur Q .

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– Supposons maintenant que P(a) = 0, P ′(a ) = 0 et P ′′ (a) 6= 0. Comme P (a ) = 0, nous savons que X − a divise P(X ). Il existe donc un polynôme Q tel que P( X) = ( X − a) Q(X). Nous avons alors P ′ ( X) = Q(X ) + ( X − a)Q ′( X). On trouve donc P ′( a) = Q (a). Par hypothèse, P ′ (a) = 0, on en déduit donc que a est racine de Q et ainsi que X − a divise Q(X ). Mais alors il existe un polynôme R tel que Q( X) = ( X − a)R (X). Nous obtenons ¡ ¢ donc P (X ) = (X − a )2 R( X ). Le calcul de la dérivée seconde de P donne P ′′ (X ) = R ′ (X )(X − a) + 2R(X ) + (X − ¡ ¢ ¡ ′′ ¢ ¡ ¢ a) R (X )( X − a) + 3R ′ (X ) . Comme P ′′(a ) 6= 0, on obtient 0 6= R ′ (a)(a − a) + 2R(a) +(a −a) R ′′(a)(a − a) + 3R ′ (a ) = 2R (a ). Finalement, on a P( X) = ( X − a)2 R ( X) avec R (a) 6= 0, ce qui correspond au fait que a est racine double de P .

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TD n°18 Pré-requis : – Savoir reconnaître des racines évidentes – Savoir calculer la multiplicité d’une racine – Savoir trouver les racines d’un polynôme de degré 2 à coefficients réels ou complexes et le factoriser – Maîtriser les nombres complexes (conjugué, partie réelle, module)

Objectifs : – Connaître les polynômes irréductibles de C et de R – Savoir décomposer sur C et sur R certains polynômes en produit d’irréductibles – Connaître les relations entre nombre de racines et degré d’un polynôme

Exercice 13 1. Le polynôme P(X ) = 4X 2 − 3X + 1 est-il irréductible sur C ? Sur R ?

2. Donner le nombre de racines complexes et réelles du polynôme P .

3. Le polynôme Q(X ) = X 3 + 3 X 2 − 1 est-il irréductible sur C ? Sur R ? En calculant Q pour quelques valeurs, en déduire son nombre de racines réelles. 4. Soit R un polynôme de degré n avec n Ê 3. Que peut-on dire quant à l’irréductibilité deR sur R et sur C ? Si de plus n est impair, que peut-on ajouter ? Exercice 14 p p p 1. Démontrer que z1 = 32+i est racine du polynôme P (X ) = X 4 − 3X 3 + 3X −1. Donnez, sans calcul, une autre racine complexe de ce polynôme. p 2. Effectuer la division euclidienne du polynôme P(X) par le polynôme Q(X ) = X 2 − 3X + 1, puis déterminez les 4 racines de P(X ).

3. Quelle est la décomposition de P (X) en polynômes irréductibles dans C [X ] ? Quelle est la décomposition de P(X ) en polynômes irréductibles dans R[X ] ? Exercice 15 Décomposer en produit de facteurs irréductibles dans C [X ], puis dans R [X ], les polynômes ci-dessous : 1. P(X ) = X 5 − 1. 3. R(X ) = X 3 − 8. 2. Q(X ) = X 13 − 1.

4. S(X ) = X 5 + 1.

Compléments Exercice 16 Factoriser sur C, puis sur R, les polynômes suivants en produits de polynômes irréductibles : 1 + X + X 2 + X 3, Exercice 17.  Factoriser X 8 + X 4 + 1 sur R.

1 + X + X 2 + X 3 + X 4,

1 + X + X 2 + X 3 + X 4 + X 5.

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Solution de l’exercice 13 1. Le polynôme P n’est pas irréductible sur C car il est de degré > 1. Par contre, il est irréductible sur R car son discriminant est négatif. 2. Le polynôme P n’a pas de racine réelle mais il possède deux racines complexes que l’on peut s’amuser à déterminer. 3. Le polynôme Q n’est pas irréductible sur C car il est de degré > 1. Il n’est pas irréductible non plus sur R car il est de degré > 2. Par un résultat du cours, le polynômeQ possède trois racines complexes mais on ne sait pas a priori si elles sont réelles. Par le cours, nous savons aussi que Q (X ) est soit un produit de trois polynômes à coefficients réels de degré 1, soit le produit d’un polynôme à coefficients réels de degré 1 et d’un polynôme à coefficients réels de degré 2, irréductible. Dans le premier cas, le polynôme possède trois racines réelles (avec multiplicité), dans le deuxième cas, il n’en possède qu’une. En calculant Q (−1) = 1, Q(0) = −1 et Q (1) = 3 et en utilisant le théorème des valeurs intermédiaires, on voit que le polynôme Q possède au moins deux racines : une entre − 1 et 0, l’autre entre 0 et 1. Il en possède donc trois. On aurait aussi pu se contenter des valeurs en −1 et 0 et de la limite de la fonction q(x) = x3 + 3x2 − 1 en −∞. 4. Comme n > 2, le polynôme R n’est pas irréductible sur C ou sur R. De la même façon qu’à la question précédente, en utilisant soit la décomposition en produit de polynômes irréductibles vue en cours, soit un raisonnement sur les limites en ±∞ , on peut montrer que le polynôme admet au moins une racine réelle lorsque n est impair. Solution de l’exercice 14 1. Il suffit de calculer P( z1) et de voir que l’on trouve 0. Le polynôme P est à coefficient réel. Si z1 est racine de P, on a donc que z1 est racine de P (il faut savoir le démontrer, comment fait-on ?). P Q donne le quotient X 2 − 1 et le reste 0. On a donc P(X) = (X 2 −1)( X 2 − 2. La p division euclidienne de ppar p 2 2 3X + 1)+ 0 = (X − 1)(X − 3X + 1). De plus, on a (X − z1)( X − z1 ) = X 2 − 3X + 1 et X 2 −1 = (X −1)( X + 1). Finalement, P(X ) = (X − 1)(X + 1)( X − z1 )( X − z1 ) et les quatre racines de P sont −1, 1, z1 et z1 . 3. La décomposition de P dans C[ X] est P (X ) = (X − 1)( X + 1)( X − z1 )( X − z1) tandis que la décomposition de p P dans R[X ] est P(X) = (X − 1)( X + 1)(X 2 − 3X + 1). En effet, les polynômes irréductibles de C[ X] sont les polynômes de degré 1 et les polynômes irréductibles de R [X] sont les polynômes de degré 1 et les polynômes p de degré 2 de discriminant strictement négatif (ce qui est le cas pour le polynôme X 2 − 3X + 1). Solution de l’exercice 15 ´ ³ Q 2k π 1. La factorisation de P s’obtient à l’aide des racines 5 e de l’unité. Dans C[X ], on trouve P(X ) = 4k=0 X − e i 5 . La factorisation dans R[X] s’obtient en regroupant les racines complexes conjuguées. On trouve P (X) = ¢ ¡ ¡ ¢ ¢¡ ¡ ¢ (X − 1) X 2 − 2 cos 25π + 1 X 2 − 2 cos 45π + 1 . ´ ³ Q 2k π 2. La factorisation de Q se fait avec les racines 13e de l’unité. Dans C [X ], on trouve Q (X) = k12=0 X − e i 13 . en regroupant les racines complexes conjuguées. On trouve Q(X ) = La factorisation ´ ´ ³ dans R[X] ³ s’obtient Q π 1 . + (X − 1) × 6k=1 X 2 − 2 cos 2k 13

3. Les racines du polynômes R sont les racines 3e de 8, c’est-à-dire les nombres complexes z = ρ e iθ tels que p 3 8 = z3 = ρ 3 e i3θ . En identifiant le module des deux côtés de l’égalité, on trouve ρ = 8 = 2. L’égalité e i3θ = 2k π i0 1 = e se résout en 3 θ = 0 + 2k π pour un certain k ∈ Z, c’est-à-dire θ = 3 pour un certain k ∈ Z. On obtient 2π

4π

2π

4π

trois solutions différentes qui sont 1, e i 3 et e i³3 . Finalement, les racines de R sont 2, 2e i 3 et 2e i 3 . La ´³ ´ 2π i 43π i 3 X − 2e factorisation dans C[X] est donc R (X) = (X − 2) X − 2e . Dans R[X ], on trouve en regroupant les racines complexes conjuguées la factorisation R(X ) = (X − 2)( X 2 + 2X + 4).

4. Ici,³ il faut faire attention. La décomposition de S s’obtient à l’aide des racines 5 e de −1, c’est-à-dire les ´ e

i

2k π+ π 5 5

, pour k variant de 0 à 4.

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TD n°19 Objectifs : – savoir effectuer des calculs élémentaires sur les fractions rationnelles – savoir décomposer dans C( X ) (resp. R( X )) une fraction rationnelle de deux polynômes de C[X ] (resp. R[X ])

Pré-requis : – savoir utiliser la factorisation des polynômes – savoir effectuer la division euclidienne de deux polynômes – savoir rechercher les racines communes à deux polynômes Exercice 18

Écrire, sans chercher à la calculer, la forme de la décomposition en éléments simples sur R. 7 X 8 − 9X 7 + 2 X 6 + 3 X 5 − 3 X 4 − 3 X 3 − 3 X 2 − 18 X − 5 . ( X + 2)( X − 1)2 ( X 2 + X + 1)2 Exercice 19. Décomposer en éléments simples sur R et sur C les fractions rationnelles suivantes : 1 (X − 1)( X + 1)( X − 2)( X + 3)

,

X 2 − 3X + 4 X2 +4

,

X (X − 1)2

1 . X4 −1

,

Exercice 20 Décomposer la fraction rationnelle suivante en éléments simples sur C, sur R X 5 + 4X 4 − 6 X 3 + 4X 2 − X + 2 . (X 2 + 1)( X − 1)2 Compléments Exercice 21 Décomposer en éléments simples les fractions rationnelles (pour les ...